### 金融代写|金融微积分代写Finance Calculus代考|MATH205

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• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 金融代写|金融微积分代写Finance Calculus代考|Probability Spaces

1. De Morgan’s Law. Let $A_{i}, i \in I$ where $I$ is some, possibly uncountable, indexing set. Show that
(a) $\left(\bigcup_{i \in I} A_{i}\right)^{c}=\bigcap_{i \in I} A_{i}^{c}$.
(b) $\left(\bigcap_{i \in I} A_{i}\right)^{c}=\bigcup_{i \in I} A_{i}^{c}$.
Solution:
(a) Let $a \in\left(\bigcup_{i \in I} A_{i}\right)^{c}$ which implies $a \notin \bigcup_{i \in I} A_{i}$, so that $a \in A_{i}^{c}$ for all $i \in I$. Therefore,
$$\left(\bigcup_{i \in I} A_{i}\right)^{c} \subseteq \bigcap_{i \in I} A_{i}^{c} .$$
On the contrary, if we let $a \in \bigcap_{i \in I} A_{i}^{c}$ then $a \notin A_{t}$ for all $i \in I$ or $a \in\left(\bigcup_{i \in I} A_{t}\right)^{c}$ and hence
$$\bigcap_{i \in I} A_{i}^{c} \subseteq\left(\bigcup_{i \in I} A_{i}\right)^{c} \text {. }$$
Therefore, $\left(\bigcup_{i c I} A_{i}\right)^{c}=\bigcap_{i c I} A_{i}^{c}$.
(b) From (a), we can write
$$\left(\bigcup_{i \in I} A_{i}^{c}\right)^{c}=\bigcap_{i \in I}\left(A_{i}^{c}\right)^{c}=\bigcap_{i \in I} A_{i}$$
Taking complements on both sides gives
$$\left(\bigcap_{i \in I} A_{i}\right)^{c}=\bigcup_{i \in I} A_{i}^{r}$$
2. Let $\mathscr{F}$ be a $\sigma$-algebra of subsets of the sample space $\Omega$. Show that if $A_{1}, A_{2}, \ldots \in \mathscr{F}$ then $\bigcap_{i=1}^{\infty} A_{i} \in \mathscr{F}_{\text {. }}$.

Solution: Given that $\mathscr{F}$ is a $\sigma$-algebra then $A_{1}^{c}, A_{2}^{c}, \ldots \in \mathscr{F}$ and $\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}^{c} \in \mathscr{F}$. Furthermore, the complement of $\bigcup_{i-1}^{\infty} A_{i}^{c}$ is $\left(\bigcup_{i-1}^{\infty} A_{i}^{c}\right)^{c} \in \mathscr{F}$.

Thus, from De Morgan’s law (see Problem 1.2.1.1, page 4) we have $\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}^{c}\right)^{c}=$ $\bigcap_{i=1}^{\infty}\left(A_{i}^{c}\right)^{c}=\bigcap_{i=1}^{\infty} A_{i} \in \mathscr{F}$

## 金融代写|金融微积分代写Finance Calculus代考|Discrete and Continuous Random Variables

1. Bernoulli Distribution. Let $X$ be a Bernoulli random variable, $X \sim \operatorname{Bernoulli}(p), p \in[0,1]$ with probability mass function
$$\mathbb{P}(X=1)=p, \quad \mathbb{P}(X=0)=1-p .$$
Show that $\mathrm{E}(X)=p$ and $\operatorname{Var}(X)=p(1-p)$.
Solution: If $X \sim \operatorname{Bernoulli}(p)$ then we can write
$$\mathbb{P}(X=x)=p^{x}(1-p)^{1-x}, \quad x \in{0,1}$$
and by definition
$$\begin{gathered} \mathbb{E}(X)=\sum_{x=0}^{1} x \mathbb{P}(X=x)=0 \cdot(1-p)+1 \cdot p=p \ \mathbb{E}\left(X^{2}\right)=\sum_{x=0}^{1} x^{2} \mathbb{P}(X=x)=0 \cdot(1-p)+1 \cdot p=p \end{gathered}$$
and hence
$$\mathbb{F}(X)=p, \quad \operatorname{Var}(X)=\mathbb{F}\left(X^{2}\right)-\mathbb{F}(X)^{2}=p(1-p)$$
2. Binomial Distribution. Let $\left{X_{i}\right}_{i=1}^{n}$ be a sequence of independent Bernoulli random variables each with probability mass function
3. $$4. \mathbb{P}\left(X_{i}=1\right)=p, \quad \mathbb{P}\left(X_{i}=0\right)=1-p, \quad p \in[0,1] 5.$$
6. and let
7. $$8. X=\sum_{i=1}^{n} X_{i} . 9.$$
10. Show that $X$ follows a binomial distribution, $X \sim \operatorname{Binomial}(n, p)$ with probability mass function
11. $$12. \mathbb{P}(X=k)=\left(\begin{array}{l} 13. n \ 14. k 15. \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}, \quad k=0,1,2, \ldots, n 16.$$
17. such that $\mathrm{E}(X)=n p$ and $\operatorname{Var}(X)=n p(1-p)$.
18. Using the central limit theorem show that $X$ is approximately normally distributed, $X \div$ $\mathcal{N}(n p, n p(1-p))$ as $n \rightarrow \infty$.

## 金融代写|金融微积分代写Finance Calculus代考|Probability Spaces

1. 来自摩根定律。晩的 $A_{i}, i \in I$ 在哪里 $I$ 是一些可能不可数的索引集。证明
(a) $\left(\bigcup_{i \in I} A_{i}\right)^{c}=\bigcap_{i \in I} A_{i}^{c}$.
(二) $\left(\bigcap_{i \in I} A_{i}\right)^{c}=\bigcup_{i \in I} A_{i}^{c}$.
解决方案：
(a) 让 $a \in\left(\bigcup_{i \in I} A_{i}\right)^{c}$ 这意味着 $a \notin \bigcup_{i \in I} A_{i}$ ，以便 $a \in A_{i}^{c}$ 对所有人 $i \in I$. 所以，
$$\left(\bigcup_{i \in I} A_{i}\right)^{c} \subseteq \bigcap_{i \in I} A_{i}^{c} .$$
相反，如果我们让 $a \in \bigcap_{i \in I} A_{i}^{c}$ 然后 $a \notin A_{t}$ 对所有人 $i \in I$ 或者 $a \in\left(\bigcup_{i \in I} A_{t}\right)^{c}$ 因此
$$\bigcap_{i \in I} A_{i}^{c} \subseteq\left(\bigcup_{i \in I} A_{i}\right)^{c} .$$
所以， $\left(\bigcup_{i c I} A_{i}\right)^{c}=\bigcap_{i c I} A_{i}^{c}$.
(b) 从 (a)，我们可以写出
$$\left(\bigcup_{i \in I} A_{i}^{c}\right)^{c}=\bigcap_{i \in I}\left(A_{i}^{c}\right)^{c}=\bigcap_{i \in I} A_{i}$$
两边取补码
$$\left(\bigcap_{i \in I} A_{i}\right)^{c}=\bigcup_{i \in I} A_{i}^{r}$$
2. 让 $\mathscr{F}$ 做一个 $\sigma$ – 样本空间子集的代数 $\Omega$. 证明如果 $A_{1}, A_{2}, \ldots \in \mathscr{F}$ 然后 $\bigcap_{i=1}^{\infty} A_{i} \in \mathscr{F} .$.
解决方案: 鉴于 $\mathscr{F}$ 是一个 $\sigma$-然后代数 $A_{1}^{c}, A_{2}^{c}, \ldots \in \mathscr{F}$ 和 $\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}^{c} \in \mathscr{F}$. 此外，补 $\bigcup_{i-1}^{\infty} A_{i}^{c}$ 是 $\left(\bigcup_{i-1}^{\infty} A_{i}^{c}\right)^{c} \in \mathscr{F}$
因此，根据德摩根定律 (参见问题 1.2.1.1，第 4 页)，我们有 $\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}^{c}\right)^{c}=\bigcap_{i=1}^{\infty}\left(A_{i}^{c}\right)^{c}=\bigcap_{i=1}^{\infty} A_{i} \in \mathscr{F}$

## 金融代写|金融微积分代写Finance Calculus代考|Discrete and Continuous Random Variables

1. 伯努利分布。让 $X$ 是一个伯努利随机变量， $X \sim \operatorname{Bernoulli}(p), p \in[0,1]$ 具有概率质量函数
2. $$3. \mathbb{P}(X=1)=p, \quad \mathbb{P}(X=0)=1-p . 4.$$
5. 显示 $\mathrm{E}(X)=p$ 和 $\operatorname{Var}(X)=p(1-p)$.
6. 解决方案: 如果 $X \sim \operatorname{Bernoulli}(p)$ 然后我们可以写
7. $$8. \mathbb{P}(X=x)=p^{x}(1-p)^{1-x}, \quad x \in 0,1 9.$$
10. 并且根据定义
11. $$12. \mathbb{E}(X)=\sum_{x=0}^{1} x \mathbb{P}(X=x)=0 \cdot(1-p)+1 \cdot p=p \mathbb{E}\left(X^{2}\right)=\sum_{x=0}^{1} x^{2} \mathbb{P}(X=x)=0 \cdot(1-p)+1 13.$$
14. 因此
15. $$16. \mathbb{F}(X)=p, \quad \operatorname{Var}(X)=\mathbb{F}\left(X^{2}\right)-\mathbb{F}(X)^{2}=p(1-p) 17.$$
18. 二项分布。让 $\$ left {X_{{i}\right } } _ { – } { i = 1 } \wedge { n } \text { 是一系列独立的伯努利随机变量，每个变量都具有概率质量函数 }
19. $\$ \$$20. \ \$$
21. 然后让
22. $\$ \$$23. X=Isum_{i=1}^{n} X_{i}。 24. \ \$$
25. 显示 $X$ 服从二项分布， $X \sim \operatorname{Binomial}(n, p)$ 具有概率质量函数
26. $\$ \$$27. Imathbb {P}(X=k)=\operatorname{left}(\mathrm{lbegin}{\operatorname{array}}{} 28. n \backslash 29. k 30. lend{array } \right } ) p ^ { \wedge } { k } ( 1 – p ) ^ { \wedge } { n k } \text { , Iquad } k = 0 , 1 , 2 , \backslash \text { dots, } n 31. \ \$$
32. 这样 $\mathrm{E}(X)=n p$ 和 $\operatorname{Var}(X)=n p(1-p)$.
33. 使用中心极限定理表明 $X$ 近似正态分布， $X \div \mathcal{N}(n p, n p(1-p))$ 作为 $n \rightarrow \infty$.

## 广义线性模型代考

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。