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泛函分析，数学分析的分支，处理函数，或函数的函数。它作为一个独立的领域出现在20世纪，当时人们意识到不同的数学过程，从算术到微积分程序，表现出非常相似的特性。
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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The Hermite Polynomials
In this section we prove that the Hermite polynomials form an orthonormal basis for $L^2(\mathbb{R}, \gamma)$, where $\gamma$ is the standard Gaussian measure on $\mathbb{R}$. This is the Borel probability measure on $\mathbb{R}$ which is given, for Borel sets $B \subseteq \mathbb{R}$, by
$$
\gamma(B)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_B \exp \left(-\frac{1}{2} x^2\right) \mathrm{d} x
$$
The Hermite polynomials will resurface in Chapters 9,13 , and 15 in connection with the spectral theorem, the Ornstein-Uhlenbeck semigroup, and second quantisation, respectively.
Definition 3.31. For $n \in \mathbb{N}$ the Hermite polynomials $H_n: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ are defined by the identity
$$
H(t, x):=\exp \left(t x-\frac{1}{2} t^2\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n !} H_n(x), \quad t, x \in \mathbb{R}
$$
The first five Hermite polynomials are given by
$$
\begin{aligned}
& H_0(x)=1 \
& H_1(x)=x \
& H_2(x)=x^2-1 \
& H_3(x)=x^3-3 x
\end{aligned}
$$
$$
H_4(x)=x^4-6 x^2+3 .
$$
By induction one shows that
$$
H_n(x)=\sum_{k=0}^{\lfloor n / 2\rfloor} \frac{(-1)^k}{2^k} \frac{n !}{k !(n-2 k) !} x^{n-2 k}, \quad n \in \mathbb{N} .
$$
Proposition 3.32. The Hermite polynomials have the following properties:
(i) $H_n(-x)=(-1)^n H_n(x)$;
(ii) $H_{n+2}(x)=x H_{n+1}(x)-(n+1) H_n(x)$;
(iii) $H_{n+1}^{\prime}(x)=(n+1) H_n(x)$;
(iv) $H_n$ is a monic polynomial of order $n$.
Proof Property (i) follows from the identity $H(t,-x)=H(-t, x)$, (ii) from the identity $\frac{\partial H}{\partial t}(t, x)=(x-t) H(t, x)$, and (iii) from $\frac{\partial H}{\partial x}(t, x)=t H(t, x)$. Assertion (iv) follows from
(ii) and the fact that $H_0(x)=1$.
数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Tensor Bases
Let $\mu_j$ be a finite Borel measure on a compact metric space $K_j$ for each $j=1, \ldots, k$, and let $K=K_1 \times \cdots \times K_k$ and $\mu=\mu_1 \times \cdots \times \mu_k$ be their products. If $\left(f_n^{(j)}\right){n \geqslant 1}$ is an orthonormal basis for $L^2\left(K_j, \mu_k\right)$ for each $j=1, \ldots, k$, then the functions $$ f_n(x):=f{n_1}^{(1)}\left(x_1\right) \cdots f_{n_k}^{(k)}\left(x_k\right), \quad n \in{1,2, \ldots}^k
$$
form an orthonormal basis for $L^2(K, \mu)$. Orthonormality being clear, in view of Theorem 3.21 it remains to check that the span of the functions $f_n$ is dense. This follows from the fact that $C(K)$ is dense in $L^2(K, \mu)$ by the observation in Remark 2.31 and the fact that functions of the form $g(x):=g^{(1)}\left(x_1\right) \cdots g^{(k)}\left(x_k\right)$ with $g^{(j)} \in C\left(K_j\right)$ for all $j=1, \ldots, k$ are dense in $C(K)$ by Example 2.10. Since each of the functions $g^{(j)}$ can be approximated in $L^2\left(K_j, \mu_j\right)$ by linear combinations of the functions $f_n^{(j)}, g$ can be approximated in $L^2(K, \mu)$ by linear combinations of the functions $f_n$.
This is a special case of a more general construction involving tensor products of Hilbert spaces (see Chapters 14 and 15 , in particular $(14.3)$ ): if $\left(h_n^{(j)}\right){n \geqslant 1}$ is an orthonormal basis for the Hilbert space $H_j, j=1, \ldots, k$, then the vectors $$ h_n(x):=h{n_1}^{(1)} \otimes \cdots \otimes h_{n_k}^{(k)}, \quad n \in{1,2, \ldots}^k,
$$
form an orthonormal basis for the Hilbert space tensor product $H=H_1 \otimes \cdots \otimes H_k$.
泛函分析代写
数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The Hermite Polynomials
在本节中，我们将证明 Hermite 多项式构成了以下的标准正交基 $L^2(\mathbb{R}, \gamma)$ ， 在哪里 $\gamma$ 是标准高斯测度 $\mathbb{R}$. 这是 Borel 概率测度 $\mathbb{R}$ 这是给定的，对于 Borel 集 $B \subseteq \mathbb{R}$ ，经过
$$
\gamma(B)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_B \exp \left(-\frac{1}{2} x^2\right) \mathrm{d} x
$$
Hermite 多项式将在第 9、13 章和第 15 章中重新出现，分别与谱定理、Ornstein-Uhlenbeck 半群和二 次量化相关。
定义 3.31。为了 $n \in \mathbb{N}$ 埃尔米特多项式 $H_n: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 由身份定义
$$
H(t, x):=\exp \left(t x-\frac{1}{2} t^2\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n !} H_n(x), \quad t, x \in \mathbb{R}
$$
前五个 Hermite 多项式由下式给出
$$
\begin{gathered}
H_0(x)=1 \quad H_1(x)=x H_2(x)=x^2-1 \quad H_3(x)=x^3-3 x \
H_4(x)=x^4-6 x^2+3 .
\end{gathered}
$$
通过归纳表明
$$
H_n(x)=\sum_{k=0}^{\lfloor n / 2\rfloor} \frac{(-1)^k}{2^k} \frac{n !}{k !(n-2 k) !} x^{n-2 k}, \quad n \in \mathbb{N}
$$
提案 3.32。Hermite 多项式具有以下性质:
$$
\begin{aligned}
& \text { (i) } H_n(-x)=(-1)^n H_n(x) \text {; } \
& \text { (二) } H_{n+2}(x)=x H_{n+1}(x)-(n+1) H_n(x) \text {; } \
& \text { (三) } H_{n+1}^{\prime}(x)=(n+1) H_n(x) \text {; }
\end{aligned}
$$
(四) $H_n$ 是阶的一元多项式 $n$.
证明属性 (i) 从恒等式得出 $H(t,-x)=H(-t, x)$ ，(ii) 从身份 $\frac{\partial H}{\partial t}(t, x)=(x-t) H(t, x)$ ，以及
(iii) 来自 $\frac{\partial H}{\partial x}(t, x)=t H(t, x)$. 断言 (iv) 从
(ii) 得出，事实是 $H_0(x)=1$.
数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Tensor Bases
让 $\mu_j$ 是坚度量空间上的有限 Borel 测度 $K_j$ 每个 $j=1, \ldots, k$ ，然后让 $K=K_1 \times \cdots \times K_k$ 和 $\mu=\mu_1 \times \cdots \times \mu_k$ 成为他们的产品。如果 $\left(f_n^{(j)}\right) n \geqslant 1$ 是正交基 $L^2\left(K_j, \mu_k\right)$ 每个 $j=1, \ldots, k_r$ 那 么函数
$$
f_n(x):=f n_1^{(1)}\left(x_1\right) \cdots f_{n_k}^{(k)}\left(x_k\right), \quad n \in 1,2, \ldots{ }^k
$$
形成正交基础 $L^2(K, \mu)$. 正交性很清楚，鉴于定理 3.21，仍然要检查函数的跨度 $f_n$ 是密集的。这是因为 $C(K)$ 密集在 $L^2(K, \mu)$ 通过备注 2.31 中的观察以及表格的功能这一事实
$g(x):=g^{(1)}\left(x_1\right) \cdots g^{(k)}\left(x_k\right)$ 和 $g^{(j)} \in C\left(K_j\right)$ 对全部 $j=1, \ldots, k$ 密集在 $C(K)$ 通过示例 2.10。
由于每个函数 $g^{(j)}$ 可以近似为 $L^2\left(K_j, \mu_j\right)$ 通过函数的线性组合 $f_n^{(j)}, g$ 可以近似为 $L^2(K, \mu)$ 通过函数的 线性组合 $f_n$.
这是涉及莃尔伯特空间张量积的更一般构造的特例（参见第 14 章和第 15 章，特别是(14.3)）： 如果 $\left(h_n^{(j)}\right) n \geqslant 1$ 是莃尔伯特空间的正交基 $H_j, j=1, \ldots, k$, 那么向量
$$
h_n(x):=h n_1^{(1)} \otimes \cdots \otimes h_{n_k}^{(k)}, \quad n \in 1,2, \ldots{ }^k,
$$
形成希尔伯特空间张量积的正交基 $H=H_1 \otimes \cdots \otimes H_k$.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。