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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Elementary Properties of the Weak* Topology
When $X$ is a Banach space and $Y$ is a dense subspace, the dual spaces $X^$ and $Y^$ are canonically isomorphic because every bounded linear functional on $Y$ extends uniquely to a bounded linear functional on $X$. The extension has the same norm as the original linear functional on $Y$ and hence the canonical isomorphism $X^* \rightarrow Y^:\left.x^ \mapsto x^\right|_Y$ is an isometry. However, the wcak topologics of $X^$ and $Y^$ may diffcr dramatically. Namcly, by part (i) of Theorem $3.12$ the space of weak* conlinuous linear funclionals on $Y^$ can be identified with the original normed vector space $Y$ and so may be much smaller than the space of weak continuous linear functionals on $X^$. In other words, the completion of a normed vector space is a Banach space and both spaces have the same dual space, however, their weak topologies differ. Thus great care must be taken when dealing with the weak* topology of the dual space of a normed vector space versus that of the dual space of a Banach space.
Corollary 3.25 (Weak* Continuous Linear Functionals). Let $X$ be a real normed vector space and let $\Lambda: X^* \rightarrow \mathbb{R}$ be a linear functional on its dual space. Then the following are equivalent.
(i) $\Lambda$ is continuous with respect to the weak ${ }^$ topology on $X^$.
(ii) The kernel of $\Lambda$ is a weak* closed linear subspace of $X^$. (iii) $\Lambda$ belongs to the image of the inclusion $\iota: X \rightarrow X^{ }$ in (2.39), i.e. there exists an element $x \in X$ such that $\Lambda\left(x^\right)=\left\langle x^, x\right\rangle$ for all $x^ \in X^*$.
Proof. This follows directly from part (i) of Theorem $3.12$ and the definition of the weak* topology in Example 3.9.
Corollary 3.26 (Weak* Closure of a Subspace). Let. $X$ he a real normed. vector space and let $E \subset X^$ be a lincar subspace of its dual spacc. Then the following holds. (i) The linear subspace $\left({ }^{\perp} E\right)^{\perp}$ is the weak $k^$ closure of $E$.
(ii) $E$ is weak $k^$ closed if and only if $E=\left({ }^{\perp} E\right)^{\perp}$ (iii) $E$ is weak ${ }^$ dense in $X^$ if and only if ${ }^{\perp} E={0}$. Proof. By Corollary $3.25$ the pre-annihilator of $E$ is the space of weak continuous linear functionals on $X^$ that vanish on $E$. Hence part (i) follows from part (ii) of Theorem 3.12. Part (ii) follow directly from (i). Part (iii) follows from (i) and the fact that any subset $S \subset X$ satisfies $S^{\perp}=X^$ if and only if $S \subset{0}$ by Corollary 2.35. This proves Corollary $3.26$.
数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The Banach–Alaoglu Theorem
We prove two versions of the Banach-Alaoglu Theorem. The first version holds for separable normed vector spaces and asserts that every bounded sequence in the dual space has a weak* convergent subsequence.
Theorem 3.30 (Banach-Alaoglu: The Separable Case).
Let $X$ be a separable real normed vector space. Then every bounded sequence in the dual space $X^$ has a weak convergent subsequence.
Proof. Let subset $D=\left{x_1, x_2, x_3, \ldots\right} \subset X$ be a countable dense subset and let $\left(x_n^\right){n \in \mathbb{N}}$ be a bounded sequence in $X^$. Then the standard diagonal sequence argument shows that there is a subsequence $\left(x{n_i}^\right){i \in \mathbb{N}}$ such that the sequence of real numbers $\left(\left\langle x{n_i}^, x_k\right\rangle\right){i \in \mathbb{N}}$ converges for every $k \in \mathbb{N}$. More precisely, the sequence $\left(\left\langle x_n^, x_1\right\rangle\right){n \in \mathbb{N}}$ is bounded and hence has a convergent subsequence $\left(\left\langle x_{n_{i, 1}}^, x_1\right\rangle\right){i \in \mathbb{N}}$. Since the sequence $\left(\left\langle x{n_{i, 1}}^, x_2\right\rangle\right){i \in \mathbb{N}}$ is bounded it has a convergent subsequence $\left(\left\langle x{n_{i, 2}}^, x_2\right\rangle\right){i \in \mathbb{N}}$. Continue by induction and use the axiom of dependent choice (see page 10) to construct a sequence of subsequences $\left(x{n_{i, k}}\right){i \in \mathbb{N}}$ such that, for every $k \in \mathbb{N},\left(x{n_{i, k+1}}\right){i \in \mathbb{N}}$ is a subsequence of $\left(x{n_{i, k}}\right){i \in \mathbb{N}}$ and the sequence $\left(\left\langle x{n_{i, k}}^, x_k\right\rangle\right){i \in \mathbb{N}}$ converges. Now consider the diagonal subsequence $x{n_i}^:=x_{n_{i, i}}^$. Then the sequence $\left(\left\langle x_{n_i}^, x_k\right\rangle\right)_{i \in \mathbb{N}}$ converges for every $k \in \mathbb{N}$ as claimed.
With this understood, it follows from the equivalence of (ii) and (iii) in Theorem 2.5, with $Y=\mathbb{R}$ and $A_i$ replaced by the bounded linear functional $x_{n_i}^: X \rightarrow \mathbb{R}$, that there exists an element $x^ \in X^$ such that $\left\langle x^, x\right\rangle=$ $\lim {i \rightarrow \infty}\left\langle x{n_i}^, x\right\rangle$ for all $x \in X$. Hence the sequence $\left(x_{n_i}^\right)_{i \in \mathbb{N}}$ converges to $x^$ in the weak topology as claimed. This proves Theorem $3.30$.
Example 3.31. This example shows that the hypothesis that $X$ is separable cannot be removed in Theorem 3.30. The Banach space $X=\ell^{\infty}$ with the supremum norm is not separable. For $n \in \mathbb{N}$ define the bounded linear functional $\Lambda_n: \ell^{\infty} \rightarrow \mathbb{R}$ by $\Lambda_n(x):=x_n$ for $x=\left(x_i\right){i \in \mathbb{N}} \in \ell^{\infty}$. Then the sequence $\left(\Lambda_n\right){n \in \mathbb{N}}$ in $X^$ does not have a weak convergent subsequence. To see this, let $n_1<n_2<n_3<\cdots$ be any sequence of positive integers and define the sequence $x=\left(x_i\right){i \in \mathbb{N}} \in \ell^{\infty}$ by $x_i:=1$ for $i=n{2 k}$ with $k \in \mathbb{N}$ and by $x_i:=-1$ otherwise. Then $\Lambda_{n_k}(x)=x_{n_k}=(-1)^k$ and hence the sequence of real numbers $\left(\Lambda_{n_k}(x)\right){k \in \mathbb{N}}$ does not converge. Thus the subsequence $\left(\Lambda{n_k}\right)_{k \in \mathbb{N}}$ in $X^$ does not converge in the weak topology.
泛函分析代写
数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Elementary Properties of the Weak* Topology
什么时候 $X$ 是巴拿赫空间，并且 $Y$ 是稠密子空间，对偶空间 $\mathrm{X}^{\wedge}$ 和是^是规范同构的，因为每个有界线 性泛函 $Y$ 唯一地扩展到有界线性泛函 $X$. 扩展具有与原始线性泛函相同的范数 $Y$ 因此规范同构 的不同。Namcly，由定理的 (i) 部分 $3.12$ 上的弱连续线性泛函的空间是^可以用原始赋范向量空间 来标识 $Y$ 因此可能比上的弱连续线性泛函空间小得䏧 $\mathrm{X}^{\wedge}$. 换言之，赋范向量空间的补全是一个Banach 空间，两个空间具有相同的对偶空间，但弱拓扑不同。因此，在处理赋范向量空间的对偶空间与 Banach 空间的对偶空间的弱拓扑时，必须格外小心。
推论 $3.25$ (弱连续线性泛函）。让 $X$ 是实数珷范向量空间，令 $\Lambda: X^ \rightarrow \mathbb{R}$ 是其对偶空间上的线性 泛函。那么以下是等价的。
(我) $\Lambda$ 对于弱者是连续的 {}$^{\wedge}$ 拓扑上 $\mathrm{X}^{\wedge}$.
(ii) 内核 $\Lambda$ 是一个弱封闭线性子空间 $\mathrm{X}^{\wedge}$. (三) $\Lambda$ 属于包含的形象 $\iota: X \rightarrow X$ 在 (2.39) 中，即存在一个 元素 $x \in X$ 这样 $\backslash$ Lambda\left( $\left(\mathrm{x}^{\wedge} \backslash\right.$ right $)=\backslash$ left $\backslash$ langle $\mathrm{x}^{\wedge}, \mathrm{x} \backslash$ right $\backslash$ rangle 对全部 $x^{\in} X^$.
证明。这直接来自定理的 (i) 部分 $3.12$ 以及示例 $3.9$ 中 weak* 拓扑的定义。
推论 $3.26$ (子空间的弱*闭包) 。让。 $X$ 他是一个真正的规范。向量空间并让E子集X^是其对偶 spacc 的线性子空间。然后以下内容成立。(i) 线性子空间 $\left({ }^{\perp} E\right)^{\perp}$ 是弱者 $\mathrm{k}^{\wedge}$ 关闭 $E$.
(二) $E$ 弱 $\mathrm{k}^{\wedge}$ 关闭当且仅当 $E=\left({ }^{\perp} E\right)^{\perp}$ (三) $E$ 弱 {}$^{\wedge}$ 密密麻麻 $\mathrm{X}^{\wedge}$ 当且仅当 ${ }^{\perp} E=0$. 证明。通过推论
$3.25$ 的预歼化者 $E$ 是上的弱连续线性泛函空间 $\mathrm{X}^{\wedge}$ 消失在 $E$. 因此，第 (i) 部分来自定理 $3.12$ 的第 (ii) 部 分。第 (ii) 部分直接来自 (i)。第 (iii) 部分来自 (i) 以及任何子集的事实 $S \subset X$ 满足 $\mathrm{S}^{\wedge}{\backslash p e r p}=\mathrm{X}^{\wedge}$ 当且仅 当 $S \subset 0$ 根据推论 2.35。这证明了推论 $3.26$.
数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The Banach–Alaoglu Theorem
我们证明了 Banach-Alaoglu 定理的两个版本。第一个版本适用于可分离赋范向量空间，并断言对偶空 间中的每个有界序列都有一个弱*收敛子序列。
定理 $3.30$ (Banach-Alaoglu：可分格) 。
让 $X$ 是一个可分实赋范向量空间。那么对偶空间 $\$ X^{\wedge} \$$ 中的每一个有界序列都有一个弱收敛子序列。
\eft $\left(X_{_} n^{\wedge} \backslash r i g h t\right){n \backslash i n \backslash m a t h b b{N}}$ 是一个有界序列 X^. 那么标准对角序列论证表明有一个子序列
序列 $\left(\left\langle x_n^{\prime} x_1\right\rangle\right) n \in \mathbb{N}$ 是有界的，因此有一个收敛的子序列 $\left(\left\langle x_{n_{i, 1}}^{\prime} x_1\right\rangle\right) i \in \mathbb{N}$. 由于顺序
$\left(\left\langle x n_{i, 1} x_2\right\rangle\right) i \in \mathbb{N}$ 是有界的，它有一个收敛的子序列 $\left(\left\langle x n_{i, 2}{ }^{\prime} x_2\right\rangle\right) i \in \mathbb{N}$. 继续归纳并使用依赖选择 公理 (参见第 10 页) 来构造子序列序列 $\left(x n_{i, k}\right) i \in \mathbb{N}$ 这样，对于每个 $k \in \mathbb{N},\left(x n_{i, k+1}\right) i \in \mathbb{N}$ 是的 子序列 $\left(x n_{i, k}\right) i \in \mathbb{N}$ 和顺序 $\left(\left\langle x n_{i, k} x_k x_k\right\rangle\right) i \in \mathbb{N}$ 收敛。现在考虑对角子序列 $\mathrm{x}\left{\mathrm{n}{-} \mathrm{i}^{\wedge}:=\mathrm{x} _\left{\mathrm{n} _{i, \mathrm{i}}^{\wedge} \text {. 然 }\right.\right.$ 后顺序 $\left(\left\langle x{n_i} x_k\right\rangle\right){i \in \mathbb{N}}$ 收敛于每个 $k \in \mathbb{N}$ 正如所声称的那样。 有了这个理解，就可以从定理 $2.5$ 中 (ii) 和 (iii) 的等价性得出， $Y=\mathbb{R}$ 和 $A_i$ 替换为有界线性泛函 $x{n_i}^{:} X \rightarrow \mathbb{R}$ ，存在一个元素 $X{ }^{\mathrm{x}^{\wedge} \text { 在 } \mathrm{X}^{\wedge}}$ 这样 $\left\langle x^{\prime} x\right\rangle=\lim i \rightarrow \infty\left\langle x n_i{ }^{\prime} x\right\rangle$ 对全部 $x \in X$. 因此序列 Veft(X_{n_i $\left.}^{\wedge} \backslash r i g h t\right){i \backslash$ \in \mathbb ${\mathrm{N}}}$ 收敛于 $\mathrm{x}^{\wedge}$ 在所声称的弱拓扑中。这证明定理3.30.
示例 3.31。这个例子表明假设 $X$ 在定理 $3.30$ 中是不可分离的。巴拿赫空间 $X=\ell^{\infty}$ 与最高规范密不 可分。为了 $n \in \mathbb{N}$ 定义有界线性泛函 $\Lambda_n: \ell^{\infty} \rightarrow \mathbb{R}$ 经过 $\Lambda_n(x):=x_n$ 为了 $x=\left(x_i\right) i \in \mathbb{N} \in \ell^{\infty}$. 然后顺序 $\left(\Lambda_n\right) n \in \mathbb{N}$ 在 $\mathrm{X}^{\wedge}$ 没有弱收敛子序列。为了看到这一点，让 $n_1<n_2<n_3<\cdots$ 是任何正 整数序列并定义序列 $x=\left(x_i\right) i \in \mathbb{N} \in \ell^{\infty}$ 经过 $x_i:=1$ 为了 $i=n 2 k$ 和 $k \in \mathbb{N}$ 并通过 $x_i:=-1$ 否 则。然后 $\Lambda_{n_k}(x)=x_{n_k}=(-1)^k$ 因此实数序列 $\left(\Lambda_{n_k}(x)\right) k \in \mathbb{N}$ 不收敛。因此后续 $\left(\Lambda n_k\right)_{k \in \mathbb{N}}$ 在 $\mathrm{X}^{\wedge}$ 不收敛于弱拓扑。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。