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课程介绍：
Risk is an intrinsic element in financial markets. Its quantitative modelling and
understanding is a cornerstone of modern financial theory, as it is essential to
many activities like choosing investment strategies, calculating capital requirements and creating new financial products.
This module aims to study quantitatively (by using several mathematical tools
from probability, optimisation, linear algebra,…) the effects of market risk under some modelling assumptions. We will pay particular attention to the effects
associated to decision making for investors and regulators. Important aspects
related to the implementation of these concepts will be highlighted.
| Attribute | Detail |
|---|---|
| Year | 2022-2023 |
| Code | MATH0094 |
| Value | 15 UCL credits (= 7.5 ECTS) |
| Term | 1 |
| Structure | On Campus |
| Assessment | In-class test with programming component (20%) and a final examination (80%) |
| Pre-requisites | None |
| Lecturers | Dr C Garcia Trillos |
MATH0094 Market Risk and Portfolio Theory市场风险和投资组合理论课程内容（摘要）
C. The Simplest Notion of Equilibrium—The Standard Capital Asset Pricing Model
The most widely used model to explain asset prices is known as the standard capital
asset pricing model (CAPM). Developed independently by three well-known financial
economists, it is often referred to as the Sharpe-Lintner-Mossin capital asset pricing
model in honor of its discoverers. While alternative models that explain why expected
10
returns differ across assets have been produced in recent years (discussed in later
sections of this appendix), the standard CAPM still plays a central role in the financial
community.
- Underlying Assumptions
The CAPM is a model that describes how investors should behave and how prices and
returns at which markets clear are set. Before discussing the model in more detail, it is
worthwhile specifying the assumptions underlying the CAPM.
The first assumption behind the CAPM is that there are no transaction costs.
There is no cost (friction) of buying or selling any asset. If transaction costs were
present, the expected return from owning any asset and the desirability of owning it
would be function of whether or not the investor already owned it. Thus, to include
transaction costs in the model add a great deal of complexity. While transaction costs
may be large enough to play a role in the decision-making process of the small investor
or in affecting the alternative investments that are close substitutes (as discussed in the
previous and later sections of this appendix), they are sufficiently small for enough
(large) investors that they should have only a minor effect on equilibrium prices.
The second assumption behind the CAPM is that assets are infantile divisible.
This means that investors could take any position in an investment, regardless of the
size of their wealth. For example, they can buy $1 of IBM stock. While this is not
strictly true for the small investor, given the opportunity to hold commingled funds
and mutual funds it is not an unrealistic assumption.
The third assumption is the absence of personal income tax. This means, for
example, that the individual is indifferent to the form (dividends or capital gains) in
which the return on the investment is received. This is a realistic assumption for
pension and other tax-exempt funds.
The fourth assumption is that an individual’s or institution’s purchases or sales
cannot affect the price of a stock. This is analogous to the assumption of perfect
C. 最简单的均衡概念–标准资本资产定价模型
解释资产价格最广泛使用的模型是标准资本资产定价模型（CAPM）。
资产定价模型（CAPM）。该模型由三位著名的金融
通常被称为夏普-林特纳-莫辛资本资产定价模型，以纪念其发现者。
以纪念其发现者。虽然有其他模型可以解释为什么预期
10
尽管近年来出现了解释不同资产预期收益不同原因的替代模型（将在本附录后面的章节中讨论
的讨论），但标准 CAPM 仍然在金融界发挥着核心作用。
的核心作用。
- 基本假设
CAPM 模型描述了投资者应如何行为，以及市场清算的价格和收益如何设定。
回报率。在对该模型进行更详细的讨论之前，有必要说明一下 CAPM 的基本假设。
CAPM 的基本假设。
CAPM 的第一个假设是不存在交易成本。
买卖任何资产都没有成本（摩擦）。如果存在交易成本
存在，那么拥有任何资产的预期收益以及拥有该资产的可取性
将是投资者是否已经拥有该资产的函数。因此
交易成本会增加模型的复杂性。虽然交易成本
虽然交易成本可能足够大，足以在小投资者的决策过程中发挥作用
或影响作为近似替代品的替代投资（如本附录前后部分所述）。
对足够多的（大）投资者来说，交易成本已经小到足以影响他们的决策。
(大）投资者而言，它们的影响足够小，因此对均衡价格的影响应该很小。
CAPM 背后的第二个假设是资产是可分割的。
这意味着投资者可以在一项投资中持有任何头寸，无论其财富大小。
他们的财富大小。例如，他们可以购买 1 美元的 IBM 股票。虽然这
虽然这对小投资者来说并非完全正确，但如果有机会持有混合基金和共同基金
和共同基金的机会，这并非不切实际的假设。
第三个假设是没有个人所得税。这意味着
例如，个人对投资收益的形式（股息或资本利得）并不关心。
投资收益的形式。对于
对于养老金和其他免税基金来说，这是一个现实的假设。
第四个假设是个人或机构的购买或出售
不会影响股票价格。这类似于完美投资假设。
知识点： financial markets in discrete time离散时间金融市场
Proposition 2.1. Constant repayments. Assuming that the loan is completely repaid at the beginning of year $N+1$, the amount $m$ refunded every year is given by
$$
m=\frac{r(1+r)^N A}{(1+r)^N-1}=\frac{r}{1-(1+r)^{-N}} A .
$$
Proof. Denoting by $A_k$ the amount owed by the borrower at the beginning of year $\mathrm{n}^o k=1,2, \ldots, N$ with $A_1=A$, the amount $m$ refunded at the end of the first year can be decomposed as
$$
m=r A_1+\left(m-r A_1\right),
$$
into $r A_1$ paid in interest and $m-r A_1$ in principal repayment, i.e. there remains
$$
\begin{aligned}
A_2 & =A_1-\left(m-r A_1\right) \
& =(1+r) A_1-m,
\end{aligned}
$$
to be refunded. Similarly, the amount $m$ refunded at the end of the second year can be decomposed as
$$
m=r A_2+\left(m-r A_2\right),
$$
into $r A_2$ paid in interest and $m-r A_2$ in principal repayment, i.e. there remains
$$
\begin{aligned}
A_3 & =A_2-\left(m-r A_2\right) \
& =(1+r) A_2-m \
& =(1+r)\left((1+r) A_1-m\right)-m \
& =(1+r)^2 A_1-m-(1+r) m
\end{aligned}
$$
to be refunded. After repeating the argument we find that at the beginning of year $k$ there remains
$$
\begin{aligned}
A_k & =(1+r)^{k-1} A_1-m-(1+r) m-\cdots-(1+r)^{k-2} m \
& =(1+r)^{k-1} A_1-m \sum_{i=0}^{k-2}(1+r)^i \
& =(1+r)^{k-1} A_1+m \frac{1-(1+r)^{k-1}}{r}
\end{aligned}
$$
to be refunded, i.e.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。