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数学代写|运筹学作业代写operational research代考|SOME PERSPECTIVES ON SOLVING INTEGER PROGRAMMING PROBLEMS
It may seem that IP problems should be relatively easy to solve. After all, linear programming problems can be solved extremely efficiently, and the only difference is that IP problems have far fewer solutions to be considered. In fact, pure IP problems with a bounded feasible region are guaranteed to have just a finite number of feasible solutions.
Unfortunately, there are two fallacies in this line of reasoning. One is that having a finite number of feasible solutions ensures that the problem is readily solvable. Finite numbers can be astronomically large. For example, consider the simple case of BIP problems. With $n$ variables, there are $2^n$ solutions to be considered (where some of these solutions can subsequently be discarded because they violate the functional constraints). Thus, each time $n$ is increased by 1 , the number of solutions is doubled. This pattern is referred to as the exponential growth of the difficulty of the problem. With $n=10$, there are more than 1,000 solutions $(1,024)$; with $n=20$, there are more than $1,000,000$; with $n=30$, there are more than 1 billion; and so forth. Therefore, even the fastest computers are incapable of performing exhaustive enumeration (checking each solution for feasibility and, if it is feasible, calculating the value of the objective value) for BIP problems with more than a few dozen variables, let alone for general IP problems with the same number of integer variables. Sophisticated algorithms, such as those described in subsequent sections, can do somewhat better. In fact, Sec. 12.8 discusses how some algorithms have successfully solved certain vastly larger BIP problems. The best algorithms today are capable of solving many pure BIP problems with a few hundred variables and some considerably larger ones (including certain problems with several tens of thousands of variables). Nevertheless, because of exponential growth, even the best algorithms cannot be guaranteed to solve every relatively small problem (less than a hundred binary or integer variables). Depending on their characteristics, certain relatively small problems can be much more difficult to solve than some much larger ones.
The second fallacy is that removing some feasible solutions (the noninteger ones) from a linear programming problem will make it easier to solve. To the contrary, it is only because all these feasible solutions are there that the guarantee can be given (see Sec. 5.1) that there will be a corner-point feasible (CPF) solution [and so a corresponding basic feasible (BF) solution] that is optimal for the overall problem. This guarantee is the key to the remarkable efficiency of the simplex method. As a result, linear programming problems generally are тисh easier to solve than IP problems.
Consequently, most successful algorithms for integer programming incorporate the simplex method (or dual simplex method) as much as they can by relating portions of the IP problem under consideration to the corresponding linear programming problem (i.e., the same problem except that the integer restriction is deleted). For any given IP problem, this corresponding linear programming problem commonly is referred to as its LP relaxation. The algorithms presented in the next two sections illustrate how a sequence of LP relaxations for portions of an IP problem can be used to solve the overall IP problem effectively.
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|THE BRANCH-AND-BOUND TECHNIQUE AND ITS APPLICATION TO BINARY INTEGER PROGRAMMING
Because any bounded pure IP problem has only a finite number of feasible solutions, it is natural to consider using some kind of enumeration procedure for finding an optimal solution. Unfortunately, as we discussed in the preceding section, this finite number can be, and usually is, very large. Therefore, it is imperative that any enumeration procedure be cleverly structured so that only a tiny fraction of the feasible solutions actually need be examined. For example, dynamic programming (see Chap. 11) provides one such kind of procedure for many problems having a finite number of feasible solutions (although it is not particularly efficient for most IP problems). Another such approach is provided by the branch-and-bound technique. This technique and variations of it have been applied with some success to a variety of OR problems, but it is especially well known for its application to IP problems.
The basic concept underlying the branch-and-bound technique is to divide and conquer. Since the original “large” problem is too difficult to be solved directly, it is divided into smaller and smaller subproblems until these subproblems can be conquered. The dividing (branching) is done by partitioning the entire set of feasible solutions into smaller and smaller subsets. The conquering (fathoming) is done partially by bounding how good the best solution in the subset can be and then discarding the subset if its bound indicates that it cannot possibly contain an optimal solution for the original problem.
We shall now describe in turn these three basic steps – branching, bounding, and fathoming-and illustrate them by applying a branch-and-bound algorithm to the prototype example (the California Manufacturing Co. problem) presented in Sec. 12.1 and repeated here (with the constraints numbered for later reference).
Maximize $Z=9 x_1+5 x_2+6 x_3+4 x_4$,
subject to
(1) $6 x_1+3 x_2+5 x_3+2 x_4 \leq 10$
(2) $\quad x_3+x_4 \leq 1$
(3) $-x_1+x_3 \leq 0$
(4) $-x_2+x_4 \leq 0$
and
(5) $\quad x_j$ is binary, for $j=1,2,3,4$.
运筹学代考
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|SOME PERSPECTIVES ON SOLVING INTEGER PROGRAMMING PROBLEMS
IP问题似乎相对容易解决。毕竟，线性规划问题可以非常有效地解决，唯一的区别是IP问题需要考虑的解决方案要少得多。事实上，具有有界可行域的纯IP问题保证只有有限个可行解。
不幸的是，在这种推理中有两个谬误。其一，有限数量的可行解决方案确保问题易于解决。有限的数字可以大到天文数字。例如，考虑一个简单的BIP问题。对于$n$变量，需要考虑$2^n$的解决方案(其中一些解决方案随后可能被丢弃，因为它们违反了功能约束)。因此，每次$n$增加1，解决方案的数量就增加一倍。这种模式被称为问题难度的指数增长。当n=10时，有1000多个解$(1,024)$;当$n=20$时，有超过1,000,000$;当$n=30$时，有超过10亿;等等。因此，即使是最快的计算机也无法对超过几十个变量的BIP问题执行穷举枚举(检查每个解决方案的可行性，如果可行，则计算目标值的值)，更不用说具有相同数量整数变量的一般IP问题了。复杂的算法，如后面几节中描述的，可以做得更好。事实上，第12.8节讨论了一些算法如何成功地解决某些更大的BIP问题。当今最好的算法能够解决许多只有几百个变量的纯BIP问题和一些相当大的问题(包括某些有几万个变量的问题)。然而，由于指数增长，即使是最好的算法也不能保证解决每一个相对较小的问题(少于一百个二进制或整数变量)。根据它们的特点，某些相对较小的问题可能比一些大得多的问题更难解决。
第二个谬论是，从线性规划问题中删除一些可行解(非整数解)将使其更容易解决。相反，只有因为所有这些可行解都存在，才能保证(见5.1节)存在一个对整个问题最优的角点可行(CPF)解[以及相应的基本可行(BF)解]。这种保证是单纯形法具有显著效率的关键。因此，线性规划问题通常比IP问题тисh更容易解决。
因此，大多数成功的整数规划算法通过将所考虑的IP问题的部分与相应的线性规划问题(即，除了删除整数限制之外的相同问题)联系起来，尽可能多地结合了单纯形方法(或对偶单纯形方法)。对于任何给定的IP问题，这个相应的线性规划问题通常被称为它的LP松弛。接下来的两节中介绍的算法说明了如何使用IP问题部分的LP松弛序列来有效地解决整个IP问题。
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|THE BRANCH-AND-BOUND TECHNIQUE AND ITS APPLICATION TO BINARY INTEGER PROGRAMMING
由于任何有界纯IP问题只有有限个可行解，因此很自然地要考虑使用某种枚举过程来寻找最优解。不幸的是，正如我们在前一节所讨论的，这个有限的数字可能是，而且通常是非常大的。因此，必须巧妙地构造任何枚举过程，以便实际上只需要检查可行解决方案的一小部分。例如，动态规划(见第11章)为具有有限数量可行解的许多问题提供了一种这样的过程(尽管它对大多数IP问题不是特别有效)。分支绑定技术提供了另一种这样的方法。这种技术和它的变体已经成功地应用于各种OR问题，但它在IP问题上的应用尤其出名。
分支定界技术的基本概念是分而治之。由于原来的“大”问题太难直接解决，所以它被分成越来越小的子问题，直到这些子问题可以被征服。划分(分支)是通过将整个可行解集划分为越来越小的子集来完成的。征服(探索)部分是通过限定子集中的最佳解可以有多好来完成的，然后如果它的边界表明它不可能包含原始问题的最优解，则丢弃该子集。
现在，我们将依次描述这三个基本步骤——分支、边界和分析——并通过将分支和边界算法应用于第12.1节提出的原型示例(加利福尼亚制造公司问题)来说明它们，并在这里重复(约束编号供稍后参考)。
最大化$Z=9 x_1+5 x_2+6 x_3+4 x_4$，
以
(1) $6 x_1+3 x_2+5 x_3+2 x_4 \leq 10$
(2) $\quad x_3+x_4 \leq 1$
(3) $-x_1+x_3 \leq 0$
(4) $-x_2+x_4 \leq 0$
和
(5) $\quad x_j$为二进制，为$j=1,2,3,4$。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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