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数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Bestimmung effizienter Punkte
Da ein multikriterielles lineares Problem gewöhnlich keine perfekte Lösung besitzt und die in den vorangegangenen Abschnitten vorgestellten Methoden entweder nur einen optimalen Punkt eines einkriteriellen Problems bestimmen können oder auf nichtlineare Probleme führen, wird in diesem Abschnitt ein umfassenderer Lösungsansatz vorgestellt. Er stellt die algorithmische Behandlung von $M K P$ zunächst zurück und versucht stattdessen, eine sinnvolle Verallgemeinerung des Konzepts eines optimalen Punkts vom einkriteriellen auf den multikriteriellen Fall anzugeben, bevor solche Punkte dann in einem zweiten Schritt berechnet werden.
Dazu erinnern wir daran, dass im einkriteriellen Fall (also für den Fall einer Zielfunktion; $p=1$ ) ein Punkt $x^* \in \mathbb{M}$ Maximalpunkt von $F$ auf $\mathbb{M}$ heißt, wenn
$$
F(x) \leq F\left(x^\right) \text { für alle } x \in \mathbb{M} $$ gilt. Der Ansatz, diese Ungleichungen zwischen den Zahlen $F(x)$ und $F\left(x^\right)$ im Fall $p \geq 1$ auf komponentenweise Ungleichungen zwischen den Vektoren $F(x)$ und $F\left(x^\right)$ zu verallgemeinern, liefert keine brauchbare Definition eines Optimalpunkts von $M K P$, da solche Punkte $x^$ gerade die perfekten Lösungen sind. Wie bereits erwähnt existiert bei konkurrierenden Zielen aber üblicherweise keine perfekte Lösung (beispielsweise in Abb. 2.5).
Allerdings ist die Definition eines Maximalpunkts im einkriteriellen Fall zu den Bedingungen $x^* \in \mathbb{M}$ und
$$
F(x)>F\left(x^\right) \text { für kein } x \in \mathbb{M} $$ äquivalent, was bei der Verallgemeinerung auf komponentenweise strikte Ungleichungen zwischen den Vektoren $F(x)$ und $F\left(x^\right)$ durchaus zu einer sinnvollen Definition führt. Sie fasst als ,optimal” nämlich einen zulässigen Punkt $x^*$ auf, der sich nicht durch einen anderen zulässigen Punkt gleichzeitig in allen Zielkriterien verbessern lässt. In Abbildung $2.5$ besitzen genau die Punkte $x^1, x^3, x^4$ und $x^6$ diese Eigenschaft. Solche Punkte werden als schwach effizient oder schwach Pareto-optimal bezeichnet.
Das Konzept der schwach effizienten Punkte filtert aus $\mathbb{M}$ diejenigen Punkte heraus, die für einen Anwender von grundsätzlichem Interesse sind, denn Punkte ohne diese Eigenschaft lassen sich in jeder Zielfunktion durch einen anderen zulässigen Punkt verbessern. Allerdings ist dieses Konzept nicht vollständig befriedigend, da etwa in Abbildung $2.5$ der Punkt $x^1$ schwach effizient, aber trotzdem in Anwendungen uninteressant ist. Beim Übergang von $x^1$ zu $x^3$ verbessert sich nämlich der Zielfunktionswert $F_1$, während derjenige von $F_2$ nicht sinkt.
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Bestimmung aller effizienten Punkte bei zwei Zielfunktionen
Im bikriteriellen Fall (also für $p=2$ ) lassen sich alle effizienten Punkte mithilfe der parametrischen Optimierung bestimmen. Gegeben sei also das Problem $$
\begin{aligned}
\max \quad F(x) &=\left(\begin{array}{l}
F_1(x) \
F_2(\ddot{x})
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
\left(c^1\right)^{\boldsymbol{\top}} x \
\left(c^2\right)^{\boldsymbol{\top}} \ddot{x}
\end{array}\right) \
\text { s.t. } \quad A x &=b \
x & \geq 0 .
\end{aligned}
$$
Um das Problem zu lösen, nutzt man die Beziehung aus Satz $2.6$ und stellt ein lineares Optimierungsproblem mit der Zielfunktion $\left(\lambda_1 c^1+\lambda_2 c^2\right)^{\top} x$ und den Parametern $\lambda_1, \lambda_2>0$ auf. Da sich optimale Punkte bei Multiplikation der Zielfunktion mit einer positiven Zahl nicht ändern, lassen sich die beiden Parameter durch die Wahl
$$
t=\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}
$$
zu einem Parameter reduzieren, und man betrachtet stattdessen die Zielfunktion $\left((1-t) c^1+t c^2\right)^{\top} x$ mit $t \in(0,1)$. Mit den Wahlen $c=c^1$ und $\gamma=c^2-c^1$ erhält man das Optimierungsproblem
$$
\begin{array}{cc}
\max & (c+t \gamma)^{\boldsymbol{\top}} x \
\text { s.t. } & A x=b \
& x \geq 0
\end{array}
$$
mit parameterabhängiger Zielfunktion wie in Abschnitt 2.2.2. Um die Menge aller effizienten Punkte zu bestimmen, ist dieses lineare Optimierungsproblem für das Parameterintervall $T=(0,1)$ zu lösen.
Das Verfahren zur Bestimmung aller effizienten Punkte im Fall zweier Zielfunktionen ist in Algorithmus $2.7$ abgebildet. Es berechnet der Einfachheit halber Optimalpunkte für das abgeschlossene Intervall $T=[0,1]$, um mit dem Parameterwert $t=0$ starten zu können. Zur Bestimmung des Outputs werden allerdings nur die Parameter $t \in(0,1)$ genutzt. Weitere Details sowie eine Verallgemeinerung des Simplex-Algorithmus auf multikriterielle lineare Optimierungsprobleme findet man in [14].
运筹学代考
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Bestimmung effizienter Punkte
由于多目标线性问题通常没有完美的解决方案，并且前面章节中介绍的方法只能确定单目标问题的最佳点或导致 非线性问题，因此本文提出了一种更全面的解决方法部分。它提供了算法处理 $M K P$ 首先返回并尝试对从单标 准到多标准情况下的最佳点的概念进行有意义的概括，然后在第二步中计算这些点之前。
我们提醒您，在单标准情况下（即对于目标函数的情况； $p=1$ ) 一点 $x^* \in \mathbb{M}$ 的最大点 $F$ 上 $\mathbb{M}$ 意味着如果
$F(x) \backslash$ leq F\left(x^\right) \text ${$ für alle $} x \backslash$ in $\backslash m a t h b b{M}$
适用。方法，这些数字之间的不平等 $F(x)$ 和 $\mathrm{FI}$ 左( $\left(\mathrm{x}^{\wedge}(\right.$ 右) 在这种情况下 $p \geq 1$ 关于向量之间的分量不等式 $F(x)$ 和 $\mathrm{F}\left(\frac{1}{1}\right.$ ( $\left(\mathrm{x}^{\wedge} \backslash\right.$ 右) 概括并没有提供最佳点的有用定义 $M K P$ ，因为这样的点 $\mathrm{x}^{\wedge}$ 是完美的解决方案。如前所述，通常没 有针对竞争目标的完美解决方案 (例如图 2.5)。
但是，在单标准情况下，最大点的定义是条件之一 $x^* \in \mathbb{M}$ 和
$F(x)>F \backslash l$ eft $\left(x^{\wedge} \backslash\right.$ right) $\backslash$ text ${$ for no $} x \backslash$ in $\backslash m a t h b b{M}$
等价的，当推广到向量之间的分量严格不等式时就是这种情况 $F(x)$ 和 $\mathrm{F} \backslash$ 左( $\left(\mathrm{x}^{\wedge}\right.$ 右) 导致有意义的定义。即，它将 允许的点概括为”最优”。 $x^*$ 不能同时通过所有目标标准中的另一个允许点来改进。在图中 $2.5$ 恰恰有分 $x^1, x^3, x^4$ 和 $x^6$ 这个属性。这样的点称为弱有效或弱帕累托最优。
滤除弱有效点的概念 $\mathbb{M}$ 那些用户最感兴趣的点，因为没有这个属性的点可以通过每个目标函数中的另一个允许 的点来改进。然而，这个概念并不完全令人满意，如图所示 $2.5$ 重点 $x^1$ 效率低下，但在应用程序中仍然无趣。当 从 $x^1$ 至 $x^3$ 目标函数值提高 $F_1$ ，而来自 $F_2$ 不下沉。
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Bestimmung aller effizienten Punkte bei zwei Zielfunktionen
在双标准情况下 (即对于 $p=2$ ) 所有有效点都可以使用参数优化来确定。所以问题给出
$$
\max \quad F(x)=\left(F_1(x) F_2(\ddot{x})\right)=\left(\left(c^1\right)^{\top} x\left(c^2\right)^{\top} \ddot{x}\right) \text { s.t. } \quad A x \quad=b x \geq 0 .
$$
为了解决这个问题，人们使用定理中的关系 $2.6$ 并提出一个具有目标函数的线性优化问题 $\left(\lambda_1 c^1+\lambda_2 c^2\right)^{\top} x$ 和 参数 $\lambda_1, \lambda_2>0$ 上。由于目标函数乘以正数时最优点不变，因此可以选择改变两个参数
$$
t=\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}
$$
减少到一个参数并考虑目标函数 $\left((1-t) c^1+t c^2\right)^{\top} x$ 和 $t \in(0,1)$. 随着选举 $c=c^1$ 和 $\gamma=c^2-c^1$ 我们得到 优化问题
$$
\max (c+t \gamma)^{\top} x \text { s.t. } A x=b \quad x \geq 0
$$
与第 2.2.2 节中的参数相关的目标函数。确定所有有效点的集合就是这个参数区间的线性优化问题 $T=(0,1)$ 解 决。
在算法中给出了在两个目标函数的情况下确定所有有效点的过程2.7如图。为方便起见，它会计算完整区间的最 佳点 $T=[0,1]$ 使用参数值 $t=0$ 能够开始。但是，只有参数用于确定输出 $t \in(0,1)$ 用过的。在 [14] 中可以找 到更多细节和单纯形算法对多目标线性优化问题的推广。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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