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- Statistical Machine Learning 统计机器学习
- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
- Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Poisson Arrivals See Time Averages
For a Poisson arrival process, for every time interval of length $\Delta t$ with $\Delta t$ small, the probability of an arrival during that interval is the same regardless of the course of the arrival process before this time interval. Roughly speaking, Poisson arrival times are completely random on the time axis. This is the intuitive explanation for the following characteristic property of a Poisson arrival process:
the long-run fraction of the customers who find the system in a particular state = the long-run fraction of the time the system is in that state.
In other words,
if the arrival process is a Poisson process, the probability distribution of the system’s state right before an arrival time is the same as the probability distribution of the system’s state at an arbitrary time if the system has reached steady state.
This property is known as “Poisson Arrivals See Time Averages” (the PASTA property) and means that if we can calculate one of the two probability distributions mentioned above, we automatically have the other one provided that the arrival process is a Poisson process. ${ }^2$ The general proof of the PASTA property is quite deep; we do not give it here. For a queueing system with Poisson arrivals, a simple proof of the PASTA property can be given for the particular case that the evolution of the number of customers in the system is described by a continuous-time Markov chain; see Section 8.7.1. However, by the PASTA property, the result that the equilibrium distribution of the number of customers present right before an arrival time is equal to the equilibrium distribution of the number of customers present at an arbitrary time also holds for queueing models with generally distributed service times if the customer arrivals follow a Poisson process.
An explicit proof of the PASTA property for a birth and death process is as follows.
Theorem 9.1 (PASTA for the birth and death process). Consider a birth and death process ${X(t)}$ with constant birth rates $\lambda_j=\lambda$ for all $j \in I$. Then for all $i \in I$
$p_i=$ long-run fraction of customers who find $i$ other customers upon arrival
$=$ long-run fraction of the time that $i$ customers are present in the system
$=\pi_i$
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Regenerative Stochastic Processes
A stochastic process ${X(t)}$ is a collection of random variables indexed by either a discrete or a continuous time parameter. Discrete-time Markov chains and continuous-time Markov chains are examples of stochastic processes. A stochastic process ${X(t)}$ is called regenerative if there exists a time $T_1$ with $\mathbb{E}\left[T_1\right]>0$ such that, probabilistically, the continuation of the stochastic process from time $T_1$ on is a repetition of the process starting at time $T_0=0$. The existence of a regeneration time $T_1$ directly implies the existence of similar regeneration times $T_2, T_3, \ldots$. Each of the time intervals $\left(T_0, T_1\right),\left(T_1, T_2\right),\left(T_2, T_3\right), \ldots$ is called a cycle of the regenerative process. In most queueing systems, the queue length process $\left{L_q(t), t \geq 0\right}$ is regenerative with regeneration times the times at which a customer arrives and finds no other customers present; the waiting time process $\left{W_n, n=1,2, \ldots\right}$ is also regenerative with regeneration indices the indices of the customers who find no other customers present upon arrival. Now, suppose that the regenerative process ${X(t)}$ has a well-defined cost structure such that the costs in consecutive cycles are independent and identically distributed. If we assume that both the length of a cycle and the total cost within a cycle have finite expected values, then the following simple, but extremely useful, formula holds:
Average cost formula: If $C(t)$ is the total cost during $[0, t)$, then the long-run average cost per unit of time is given by
$$
\lim {t \rightarrow \infty} \frac{C(t)}{t}=\frac{\mathbb{E}[\text { total cost during a cycle }]}{\mathbb{E}[\text { length of a cycle }]} \quad \text { with probability } 1 . $$ Let us outline a proof. Let $L_i=T_i-T{i-1}$ be the length of the $i$ th cycle and $C_i$ the total cost during the $i$ th cycle. Define the random variable $N(t)$ as the number of completed cycles in $[0, t)$; that is, $\sum_{i=1}^{N(t)} L_i \leq t<\sum_{i=1}^{N(t)+1} L_i$. If, for convenience, we assume that the total costs are nonnegative, then we also have $\sum_{i=1}^{N(t)} C_i \leq C(t) \leq \sum_{i=1}^{N(t)+1} C_i$. This gives $$ \frac{\sum_{i=1}^{N(t)} C_i}{\sum_{i=1}^{N(t)+1} L_i} \leq \frac{C(t)}{t} \leq \frac{\sum_{i=1}^{N(t)+1} C_i}{\sum_{i=1}^{N(t)} L_i} \text { for every } t>0 \text {. }
$$
The random variables $L_1, L_2, \ldots$ are independent and identically distributed, as are the random variables $C_1, C_2, \ldots$ By the strong law of large numbers, $\lim {n \rightarrow \infty}(1 / n) \sum{i=1}^n L_i=\mathbb{E}\left[L_1\right]$ with probability 1 and $\lim {n \rightarrow \infty}(1 / n) \sum{i=1}^n C_i=$ $\mathbb{E}\left[C_1\right]$ with probability 1 . Moreover, we have $\lim _{t \rightarrow \infty} N(t)=\infty$. Dividing the numerator and denominator in both the left-hand side and the right-hand side of the displayed inequality by $N(t)$ and taking $t \rightarrow \infty$ gives the average cost formula.
运筹学代考
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Poisson Arrivals See Time Averages
对于泊松到达过程，对于每个长度的时间间隔丁吨和丁吨小，无论在此时间间隔之前的到达过程如何，该时间间隔内到达的概率都是相同的。粗略地说，泊松到达时间在时间轴上是完全随机的。这是对泊松到达过程的以下特征的直观解释：
发现系统处于特定状态的客户的长期分数 = 系统处于该状态的时间的长期分数。
换句话说，
如果到达过程是泊松过程，则系统在到达时间之前的状态概率分布与系统达到稳态时任意时刻系统状态的概率分布相同。
这个属性被称为“Poisson Arrivals See Time Averages”（PASTA 属性），这意味着如果我们可以计算出上述两个概率分布之一，那么如果到达过程是泊松过程，我们就会自动得到另一个。2PASTA 性质的一般证明相当深刻；我们不在这里给它。对于具有泊松到达的排队系统，可以针对特定情况给出 PASTA 属性的简单证明，即系统中顾客数量的演变由连续时间马尔可夫链描述；参见第 8.7.1 节。然而，根据 PASTA 性质，到达时间之前出现的顾客数量的均衡分布等于任意时间出现的顾客数量的均衡分布的结果也适用于具有一般分布服务时间的排队模型如果客户到达遵循泊松过程。
生死过程的 PASTA 属性的明确证明如下。
定理 9.1（生死过程的 PASTA）。考虑一个出生和死亡的过程X(吨)出生率不变升j=升对全部j∈我. 那么对于所有人我∈我
p我=找到的客户的长期部分我其他客户抵达时
=长期的一小部分时间我客户存在于系统中
=π我
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Regenerative Stochastic Processes
随机过程 $X(t)$ 是由离散或连续时间参数索引的随机变量的集合。离散时间马尔可夫链和连续时间马尔可 夫链是随机过程的例子。随机过程 $X(t)$ 如果存在时间，则称为再生 $T_1$ 和 $\mathbb{E}\left[T_1\right]>0$ 这样，从概率上 讲，随机过程从时间开始的延续 $T_1$ on 是从 time 开始的过程的重复 $T_0=0$. 再生时间的存在 $T_1$ 直接暗示 存在相似的再生时间 $T_2, T_3, \ldots$ 每个时间间隔 $\left(T_0, T_1\right),\left(T_1, T_2\right),\left(T_2, T_3\right), \ldots$ 称为再生过程的循 环。在大多数排队系统中，队列长度过程 $\backslash$ left ${L$ L $q(t), t \backslash g e q$ O、right $}$ 是再生的，再生时间是客户到达并且 没有其他客户在场的时间；等待时间过程 \left{W_n, $n=1,2, \backslash \mid d o t s \backslash r i g h t}$ 也也是再生的，再生指数是在到达时 发现没有其他顾客在场的顾客的指数。现在，假设再生过程 $X(t)$ 具有明确定义的成本结构，使得连续周 期中的成本是独立且均匀分布的。如果我们假设一个周期的长度和一个周期内的总成本都有有限的期望 值，那么下面这个简单但非常有用的公式成立:
平均成本公式：如果 $C(t)$ 是期间的总成本 $[0, t)$ ，则单位时间的长期平均成本为
$$
\lim t \rightarrow \infty \frac{C(t)}{t}=\frac{\mathbb{E}[\text { total cost during a cycle }]}{\mathbb{E}[\text { length of a cycle }]}
$$
with probability 1.
让我们概述一个证明。让 $L_i=T_i-T i-1$ 是的长度 $i$ 第 循环和 $C_i$ 期间的总费用 $i$ 第周期。定义随机变 量 $N(t)$ 作为完成周期的数量 $[0, t)$; 那是， $\sum_{i=1}^{N(t)} L_i \leq t<\sum_{i=1}^{N(t)+1} L_i$. 如果为了方便起见，我们假 设总成本是非负的，那么我们也有 $\sum_{i=1}^{N(t)} C_i \leq C(t) \leq \sum_{i=1}^{N(t)+1} C_i$. 这给 $$ \frac{\sum_{i=1}^{N(t)} C_i}{\sum_{i=1}^{N(t)+1} L_i} \leq \frac{C(t)}{t} \leq \frac{\sum_{i=1}^{N(t)+1} C_i}{\sum_{i=1}^{N(t)} L_i} \text { for every } t>0
$$
随机变量 $L_1, L_2, \ldots$ 是独立同分布的，随机变量也是如此 $C_1, C_2, \ldots$.根据强大数定律， $\lim n \rightarrow \infty(1 / n) \sum i=1^n L_i=\mathbb{E}\left[L_1\right]$ 概率为 1 和lim $n \rightarrow \infty(1 / n) \sum i=1^n C_i=\mathbb{E}\left[C_1\right]$ 概率为 1 。此外，我们有 $\lim _{t \rightarrow \infty} N(t)=\infty$. 将显示的不等式左侧和右侧的分子和分母除以 $N(t)$ 并采 取 $t \rightarrow \infty$ 给出平均成本公式。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。