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常微分方程是为一个或多个独立变量的函数及其导数定义的方程。y’=x+1是一个常微分方程的例子。
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- Statistical Machine Learning 统计机器学习
- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
- Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|First order autonomous equations
Let us look at the simplest (nontrivial) case of a first-order autonomous equation and let us try to find the solution starting at a certain point $x_0$ at time $t=0$ :
$$
\dot{x} f(x), \quad x(0) \quad x_0, \quad f \in C(\mathbb{R})
$$
We could of course also ask for the solution starting at $x_0$ at time $t_0$. However, once we have a solution $\phi(t)$ with $\phi(0)=x_0$, the solution $\psi(t)$ with $\psi\left(t_0\right)=x_0$ is given by a simple shift $\psi(t)=\phi\left(t-t_0\right)$ (this holds in fact for any autonomous equation – compare Problem 1.8).
This equation can be solved using a small ruse. If $f\left(x_0\right) \neq 0$, we can divide both sides by $f(x)$ and integrate both sides with respect to $t$ :
$$
\int_0^t \frac{\dot{x}(s) d s}{f(x(s))}=t \text {. }
$$
Abbreviating $F(x)=\int_{x_0}^x \frac{d y}{f(y)}$ we see that every solution $x(t)$ of $(1.20)$ must satisfy $F(x(t))=t$. Since $F(x)$ is strictly monotone near $x_0$, it can be inverted and we obtain a unique solution
$$
\phi(t)=F^{-1}(t), \quad \phi(0)=F^{-1}(0)=x_0,
$$
of our initial value problem. Here $F^{-1}(t)$ is the inverse map of $F(t)$.
Now let us look at the maximal interval of existence. If $f\left(x_0\right)>0$ (the case $f\left(x_0\right)<0$ follows analogously), then $f$ remains positive in some interval $\left(x_1, x_2\right)$ around $x_0$ by continuity. Define $T_{+}=\lim {x \uparrow x_2} F(x) \in(0, \infty], \quad$ respectively $\quad T{-}=\lim {x \downarrow x_1} F(x) \in[-\infty, 0)$. (1.23) Then $\phi \in C^1\left(\left(T{-}, T_{+}\right)\right)$and $$ \lim {t \uparrow T{+}} \phi(t)=x_2, \quad \text { respectively } \quad \lim {t \downarrow T{-}} \phi(t)=x_1 . $$ In particular, $\phi$ exists for all $t>0$ (resp. $t<0$ ) if and only if
$$
T_{+}=\int_{x_0}^{x_2} \frac{d y}{f(y)}=+\infty,
$$
that is, if $1 / f(x)$ is not integrable near $x_2$. Similarly, $\phi$ exists for all $t<0$ if and only if $1 / f(x)$ is not integrable near $x_1$.
Now let us look at some examples.
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Finding explicit solutions
We have seen in the previous section, that some differential equations can be solved explicitly. Unfortunately, there is no general recipe for solving a given differential equation. Moreover, finding explicit solutions is in general impossible unless the equation is of a particular form. In this section I will show you some classes of first-order equations which are explicitly solvable.
The general idea is to find a suitable change of variables which transforms the given equation into a solvable form. Hence we want to review this concept first. Given the point with coordinates $(t, x)$, we may change to new coordinates $(s, y)$ given by
$$
s=\sigma(t, x), \quad y=\eta(t, x) .
$$
Since we do not want to lose information, we require this transformation to be invertible.
A given function $\phi(t)$ will be transformed into a function $\psi(s)$ which has to be obtained by eliminating $t$ from
$$
s=\sigma(t, \phi(t)), \quad \psi=\eta(t, \phi(t)) .
$$
Unfortunately this will not always be possible (e.g., if we rotate the graph of a function in $\mathbb{R}^2$, the refiult might not be the graph of a function). To avoid this problem we restrict our attention to the special case of fiber preserving transformations
$$
s=\sigma(t), \quad y=\eta(t, x)
$$
(which map the fibers $t=$ const to the fibers $s=$ const). Denoting the inverse transform by
$$
t=\tau(s), \quad x=\xi(s, y),
$$
a straightforward application of the chain rule shows that $\phi(t)$ satisfies
$$
\dot{x}=f(t, x)
$$
if and only if $\psi(s)=\eta(\tau(s), \phi(\tau(s)))$ satisfies
$$
\dot{y}=\dot{\tau}\left(\frac{\partial \eta}{\partial t}(\tau, \xi)+\frac{\partial \eta}{\partial x}(\tau, \xi) f(\tau, \xi)\right),
$$
where $\tau=\tau(s)$ and $\xi=\xi(s, y)$.
常微分方程代写
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|First order autonomous equations
让我们看一下一阶自治方程的最简单 (非平凡) 情况，让我们尝试从某个点开始找到解 $x_0$ 有时 $t=0$ :
$$
\dot{x} f(x), \quad x(0) \quad x_0, \quad f \in C(\mathbb{R})
$$
我们当然也可以要求解决方案从 $x_0$ 有时 $t_0$. 但是，一旦我们有了解决方案 $\phi(t)$ 和 $\phi(0)=x_0$ ，解决方案 $\psi(t)$ 和 $\psi\left(t_0\right)=x_0$ 由一个简单的移位给出 $\psi(t)=\phi\left(t-t_0\right)$ (这实际上适用于任何自治方程一一比较问题 1.8) 。
这个方程可以用一个小技巧来解决。如果 $f\left(x_0\right) \neq 0$ ，我们可以将两边除以 $f(x)$ 并整合双方关于 $t$ :
$$
\int_0^t \frac{\dot{x}(s) d s}{f(x(s))}=t .
$$
缩写 $F(x)=\int_{x_0}^x \frac{d y}{f(y)}$ 我们看到每个解决方案 $x(t)$ 的 $(1.20)$ 必须满足 $F(x(t))=t$. 自从 $F(x)$ 附近是严格单调的 $x_0$ ，它可以被反转，我们得到一个唯一的解决方案
$$
\phi(t)=F^{-1}(t), \quad \phi(0)=F^{-1}(0)=x_0,
$$
我们的初值问题。这里 $F^{-1}(t)$ 是的逆映射 $F(t)$.
现在让我们看看存在的最大间隔。如果 $f\left(x_0\right)>0$ (案子 $f\left(x_0\right)<0$ 类似地遵循)，然后 $f$ 在一段时间内保持积 极 $\left(x_1, x_2\right)$ 大约 $x_0$ 通过连续性。定义 $T_{+}=\lim x \uparrow x_2 F(x) \in(0, \infty]$, 分别 $T-=\lim x \downarrow x_1 F(x) \in[-\infty, 0)$. (1.23) 那么 $\phi \in C^1\left(\left(T-, T_{+}\right)\right)$和 $\lim t \uparrow T+\phi(t)=x_2, \quad$ respectively $\quad \lim t \downarrow T-\phi(t)=x_1$. 尤其是， $\phi$ 为所有人而存在 $t>0$ (分别。 $t<0$ ) 当且仅当
$$
T_{+}=\int_{x_0}^{x_2} \frac{d y}{f(y)}=+\infty
$$
也就是说，如果 $1 / f(x)$ 附近不可积 $x_2$. 相似地， $\phi$ 为所有人而存在 $t<0$ 当且仅当 $1 / f(x)$ 附近不可积 $x_1$. 现在让我们看一些例子。
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Finding explicit solutions
我们在上一节中已经看到，一些微分方程可以显式求解。不幸的是，没有解决给定微分方程的通用方法。此外，除 非方程具有特定形式，否则通常不可能找到明确的解。在本节中，我将向您展示一些明确可解的一阶方程。
总体思路是找到合适的变量变化，将给定方程转换为可解形式。因此，我们想先回顾一下这个概念。给定坐标点 $(t, x)$ ，我们可能会改变到新的坐标 $(s, y)$ 由
$$
s=\sigma(t, x), \quad y=\eta(t, x) .
$$
由于我们不想至失信息，因此我们要求这种转换是可逆的。
给定函数 $\phi(t)$ 将转化为函数 $\psi(s)$ 这必须通过消除来获得 $t$ 从
$$
s=\sigma(t, \phi(t)), \quad \psi=\eta(t, \phi(t)) .
$$
不幸的是，这并不总是可能的（例如，如果我们在 $\mathbb{R}^2$ ，结果可能不是函数图)。为了避免这个问题，我们将注意 力限制在纤维保留变换的特殊情况上
$$
s=\sigma(t), \quad y=\eta(t, x)
$$
(映射纤维 $t=$ const 到纤维 $s=$ 常量)。将逆变换表示为
$$
t=\tau(s), \quad x=\xi(s, y),
$$
链式法则的直接应用表明 $\phi(t)$ 满足
$$
\dot{x}=f(t, x)
$$
当且仅当 $\psi(s)=\eta(\tau(s), \phi(\tau(s)))$ 满足
$$
\dot{y}=\dot{\tau}\left(\frac{\partial \eta}{\partial t}(\tau, \xi)+\frac{\partial \eta}{\partial x}(\tau, \xi) f(\tau, \xi)\right),
$$
在哪里 $\tau=\tau(s)$ 和 $\xi=\xi(s, y)$.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。