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统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Design-Based Variance Estimation
When $\left(X_i, Y_i\right)$ values are available for SRSWOR of size $n$ an alternative to the ratio estimator for $\bar{Y}$ is the regression estimator
$$
t_r=\bar{y}+b(\bar{X}-\bar{x}) .
$$
Here $b$ is the sample regression coefficient of $y$ on $x$. Its variance $V_p\left(t_r\right)$ and mean square error $M_p\left(t_r\right)$ are both approximated by
$$
V=\frac{1-f}{n} \frac{1}{N-1} \sum_1^N D_i^2
$$
where
$$
\begin{aligned}
D_i & =\left(Y_i-\bar{Y}\right)-B\left(X_i-\bar{X}\right) \
B & =\sum_1^N\left(Y_i-\bar{Y}\right)\left(X_i-\bar{X}\right) / \sum_1^N\left(X_i-\bar{X}\right)^2 .
\end{aligned}
$$
The errors in these approximations are neglected for large $n$ and $N$ although for $n, N$, and $X$ at hand it is difficult to guess the magnitudes of these errors. However, there exists evidence that $t_r$ may be more efficient than the ratio estimator $\bar{t}R$ in many situations in terms of mean square error (cf. DENG and Wu, 1987). Writing $$ \begin{aligned} d_i & =\left(Y_i-\bar{y}\right)-b\left(X_i-\bar{x}\right), \ v{l r} & =\frac{1-f}{n(n-2)} \sum_s d_i^2
\end{aligned}
$$
is traditionally taken as an estimator for $V$. DENG and WU (1987) consider a class of generalized estimators
$$
v_g=\left[\frac{\bar{X}}{\bar{x}}\right]^g v_{l r}
$$
统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Model-Based Variance Estimation
Besides these ad hoc variance estimators, hardly any others are known to have been proposed as estimators for $V$ with a design-based approach. However, some rivals have emerged from the least squares linear predictive approach.
Suppose $Y, X$ are conformable to the model $\mathcal{M}_{10}^{\prime}$ (cf. section 4.1.2) for which the following is tenable:
$$
\begin{aligned}
E_m\left(Y_i\right) & =\alpha+\beta X_i, \alpha \neq 0, V_m\left(Y_i\right)=\sigma^2, \
C_m\left(Y_i, Y_j\right) & =0, i \neq j .
\end{aligned}
$$
Then the BLUP for $\bar{Y}$ is $\mathrm{t}_r$ and
$$
\begin{aligned}
B_m\left(t_r\right) & =E_m\left(t_r-\bar{Y}\right)=0 \
V_m\left(t_r-\bar{Y}\right) & =\frac{1-f}{n}\left[1+\frac{(\bar{X}-\bar{x})^2}{(1-f) g(s)}\right] \sigma^2=\phi(s) \sigma^2, \text { say, }
\end{aligned}
$$
writing
$$
g(s)=\frac{1}{n} \sum_s\left(X_i-\bar{x}\right)^2 .
$$
Then, for
$$
\hat{\sigma}^2=\frac{1}{(n-2)} \sum_s d_i^2
$$
we have
$$
E_m\left(\hat{\sigma}^2\right)=\sigma^2
$$
Consequently,
$$
v_L=\phi(s) \hat{\sigma}^2=\frac{1-f}{n(n-2)}\left[1+\frac{(\bar{X}-\bar{x})^2}{(1-f) g(s)}\right] \sum_s d_i^2
$$
is an $m$-unbiased estimator for $V_m\left(t_r-\bar{Y}\right)$ under $\mathcal{M}{10}^{\prime}$. The term $$ h(s)=\frac{(X-\bar{x})^2}{(1-f) g(s)} $$ in $v_L$ vanishes if the sample is balanced, that is, $\bar{x}=\bar{X}$, and for a balanced sample $V_m\left(t_r-\bar{Y}\right)$ is the minimal under $\mathcal{M}{10}^{\prime}$.
In general,
$$
v_L=(1+h(s)) v_{l r} \geq v_{l r}
$$
with equality only for a balanced sample. If a balanced sample is drawn, then the classical design-based estimator $v_{l r}$ based on it becomes $m$-unbiased for $V_m\left(t_r-\bar{Y}\right)$.
抽样调查代考
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当大小为$n$的SRSWOR的$\left(X_i, Y_i\right)$值可用时，$\bar{Y}$的比率估计器的替代方法是回归估计器
$$
t_r=\bar{y}+b(\bar{X}-\bar{x}) .
$$
其中$b$为$y$在$x$上的样本回归系数。其方差$V_p\left(t_r\right)$和均方误差$M_p\left(t_r\right)$都近似为
$$
V=\frac{1-f}{n} \frac{1}{N-1} \sum_1^N D_i^2
$$
在哪里
$$
\begin{aligned}
D_i & =\left(Y_i-\bar{Y}\right)-B\left(X_i-\bar{X}\right) \
B & =\sum_1^N\left(Y_i-\bar{Y}\right)\left(X_i-\bar{X}\right) / \sum_1^N\left(X_i-\bar{X}\right)^2 .
\end{aligned}
$$
对于较大的$n$和$N$，这些近似中的误差可以忽略不计，尽管对于$n, N$和$X$，很难猜测这些误差的大小。然而，有证据表明，在均方误差方面，$t_r$在许多情况下可能比比率估计器$\bar{t}R$更有效(cf. DENG and Wu, 1987)。写作$$ \begin{aligned} d_i & =\left(Y_i-\bar{y}\right)-b\left(X_i-\bar{x}\right), \ v{l r} & =\frac{1-f}{n(n-2)} \sum_s d_i^2
\end{aligned}
$$
通常作为$V$的估计量。DENG和WU(1987)考虑了一类广义估计量
$$
v_g=\left[\frac{\bar{X}}{\bar{x}}\right]^g v_{l r}
$$
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除了这些特别的方差估计器之外，几乎没有其他已知的方法被提出作为$V$基于设计的方法的估计器。然而，从最小二乘线性预测方法中出现了一些竞争对手。
假设$Y, X$符合模型$\mathcal{M}{10}^{\prime}$(参见第4.1.2节)，其中以下是成立的: $$ \begin{aligned} E_m\left(Y_i\right) & =\alpha+\beta X_i, \alpha \neq 0, V_m\left(Y_i\right)=\sigma^2, \ C_m\left(Y_i, Y_j\right) & =0, i \neq j . \end{aligned} $$ 那么$\bar{Y}$的BLUP就是$\mathrm{t}_r$和 $$ \begin{aligned} B_m\left(t_r\right) & =E_m\left(t_r-\bar{Y}\right)=0 \ V_m\left(t_r-\bar{Y}\right) & =\frac{1-f}{n}\left[1+\frac{(\bar{X}-\bar{x})^2}{(1-f) g(s)}\right] \sigma^2=\phi(s) \sigma^2, \text { say, } \end{aligned} $$ 写作 $$ g(s)=\frac{1}{n} \sum_s\left(X_i-\bar{x}\right)^2 . $$ 然后，对于 $$ \hat{\sigma}^2=\frac{1}{(n-2)} \sum_s d_i^2 $$ 我们有 $$ E_m\left(\hat{\sigma}^2\right)=\sigma^2 $$ 因此， $$ v_L=\phi(s) \hat{\sigma}^2=\frac{1-f}{n(n-2)}\left[1+\frac{(\bar{X}-\bar{x})^2}{(1-f) g(s)}\right] \sum_s d_i^2 $$ 是$\mathcal{M}{10}^{\prime}$下$V_m\left(t_r-\bar{Y}\right)$的一个$m$ -无偏估计量。如果样本是平衡的，则$v_L$中的$$ h(s)=\frac{(X-\bar{x})^2}{(1-f) g(s)} $$项消失，即$\bar{x}=\bar{X}$，并且对于平衡的样本，$V_m\left(t_r-\bar{Y}\right)$是$\mathcal{M}{10}^{\prime}$下的最小值。 一般来说， $$ v_L=(1+h(s)) v{l r} \geq v_{l r}
$$
只有平衡的样本才相等。如果绘制了一个平衡样本，那么基于它的经典基于设计的估计器$v_{l r}$对于$V_m\left(t_r-\bar{Y}\right)$就变为$m$ -无偏。
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