数学代写|辛几何代写symplectic geometry代考|MAT4551

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数学代写|辛几何代写symplectic geometry代考|The equations of Hamilton

A Lagrangian system $(M, L)$ is called hyperregular if the Legendre transformation $\mathcal{L}: T M \rightarrow T^* M$ is a diffeomorphism. For example a newtonian mechanical system with potential energy and the system of example $2.4$ are hyperregular.

Definition 3.1. In a hyperregular Lagrangian system as above, the smooth function $H=E \circ \mathcal{L}^{-1}: T^* M \rightarrow \mathbb{R}$, where $E$ is the energy, is called the Hamiltonian function of the system.

Example 3.2. Let $(M, g, V)$ is a newtonian mechanical system with potential energy. The Legendre transformation gives
$$q^i=x^i, \quad p_i=\frac{\partial L}{\partial v^i}=\sum_{j=1}^n g_{i j} v^j .$$
The inverse Legendre transformation is given by
$$x^i=q^i, \quad v^i=\sum_{j=1}^n g^{i j} p_j .$$
So we have
\begin{aligned} E & =\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^n g_{i j} v^i v^j+V\left(x^1, x^2, \ldots, x^n\right) \ L & =\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^n g_{i j} v^i v^j-V\left(x^1, x^2, \ldots, x^n\right) \end{aligned}
and therefore
$$H=\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^n g^{i j} p_i p_j+V\left(q^1, q^2, \ldots, q^n\right)$$

Theorem 3.3. (Hamilton) Let $(M, L)$ be a hyperregular Lagrangian system on the n-dimensional manifold $M$. A smooth curve $\gamma: I \rightarrow M$ is a Lagrangian motion if and only if the smooth curve $\mathcal{L} \circ \dot{\gamma}: I \rightarrow T^* M$ locally solves the system of differential equations
$$\dot{q}^i=\frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i=-\frac{\partial H}{\partial q^i}, \quad i=1,2, \ldots, n$$

数学代写|辛几何代写symplectic geometry代考|Symplectic linear algebra

A synplectic form on a (real) vector space $V$ of finite dimension is a non-degenerate, skew-symmetric, bilinear form $\omega: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$. This means that the map $\tilde{\omega}: V \rightarrow V^*$ defined by $\tilde{\omega}(v)(w)=\omega(v, w)$, for $v, w \in V$, is a linear isomorphism. The pair $(V, \omega)$ is then called a symplectic vector space.

Lemma 1.1. (Cartan) Let $V$ be a vector space of dimension $n$ and $\omega$ be a skewsymmetric, bilinear form on $V$. If $\omega \neq 0$, then the rank of $\tilde{\omega}$ is even. If $\operatorname{dim} \tilde{\omega}(V)=$ $2 k$, there exists a basis $l^1, l^2, \ldots, l^{2 k}$ of $\tilde{\omega}(V)$ such that
$$\omega=\sum_{j=1}^k l^{2 j-1} \wedge l^{2 j}$$
Proof. Let $\left{v_1, v_2, \ldots, v_n\right}$ be a basis of $V$ and $\left{v_1^, v_2^, \ldots, v_n^\right}$ be the corresponding dual basis of $V^$. If $a_{i j}=\omega\left(v_i, v_j\right), i<j$, then
$$\omega=\sum_{i<j} a_{i j} v_i^* \wedge v_j^* .$$
Since $\omega \neq 0$, there are some $1 \leq i<j \leq n$ such that $a_{i j} \neq 0$. We may assume that $a_{12} \neq 0$, changing the numbering if necessary. Let
$$\begin{gathered} l^1=\frac{1}{a_{12}} \tilde{\omega}\left(v_1\right)=v_2^+\frac{1}{a_{12}} \sum_{j=3}^n a_{1 j} v_j^, \ l^2=\tilde{\omega}\left(v_2\right)=-a_{12} v_1^+\sum_{j=3}^n a_{2 j} v_j^ . \end{gathered}$$
The set $\left{l^1, l^2, v_3^, \ldots, v_n^\right}$ is now a new basis of $V^*$. If $\omega_1=\omega-l^1 \wedge l^2$, then
$$\tilde{\omega}1\left(v_1\right)=a{12} l^1-l^1\left(v_1\right) l^2+l^2\left(v_1\right) l^1=a_{12} l^1-0-a_{12} l^1=0,$$

$$\tilde{\omega}_1\left(v_2\right)=l^2-l^1\left(v_2\right) l^2+l^2\left(v_2\right) l^1=l^2-l^2+0=0 .$$
Thus, $\omega_1$ is an element of the subalgebra of the exterior algebra of $V$ generated by $v_3^, \ldots, v_n^$. If $\omega_1=0$, then $\omega=l^1 \wedge l^2$. If $\omega_1 \neq 0$, we repeat the above taking $\omega_1$ in the place of $\omega$. So, inductively, we arrive at the conclusion, since $V$ has finite dimension.

辛几何代写

数学代写|辛几何代写symplectic geometry代考|The equations of Hamilton

$$q^i=x^i, \quad p_i=\frac{\partial L}{\partial v^i}=\sum_{j=1}^n g_{i j} v^j .$$

$$x^i=q^i, \quad v^i=\sum_{j=1}^n g^{i j} p_j .$$

$$E=\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^n g_{i j} v^i v^j+V\left(x^1, x^2, \ldots, x^n\right) L \quad=\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^n g_{i j} v^i v^j-V\left(x^1, x^2, \ldots, x^n\right)$$

$$H=\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^n g^{i j} p_i p_j+V\left(q^1, q^2, \ldots, q^n\right)$$

$$\dot{q}^i=\frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i=-\frac{\partial H}{\partial q^i}, \quad i=1,2, \ldots, n$$

数学代写|辛几何代写symplectic geometry代考|Symplectic linear algebra

（实) 向量空间上的合形式 $V$ 有限维的是非退化的，斜对称的，双线性形式 $\omega: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$. 这意味着 地图 $\tilde{\omega}: V \rightarrow V^$ 被定义为 $\tilde{\omega}(v)(w)=\omega(v, w)$ ，为了 $v, w \in V$ ，是线性同构。这对 $(V, \omega)$ 则称为辛向 量空间。 引理 1.1。让 $V$ 是维度的向量空间 $n$ 和 $\omega$ 是一个斜对称的双线性形式 $V$. 如果 $\omega \neq 0$ ，那么排名 $\tilde{\omega}$ 甚至。如果 $\operatorname{dim} \tilde{\omega}(V)=2 k$, 存在一个基础 $l^1, l^2, \ldots, l^{2 k}$ 的 $\tilde{\omega}(V)$ 这样 $$\omega=\sum_{j=1}^k l^{2 j-1} \wedge l^{2 j}$$ vำ. 如果 $a_{i j}=\omega\left(v_i, v_j\right), i \wedge v_j^* . $$自从 \omega \neq 0 ，有一些 1 \leq i<j \leq n 这样 a_{i j} \neq 0. 我们可以假设 a_{12} \neq 0 ， 必要时更改编号。让$$ l^1=\frac{1}{a_{12}} \tilde{\omega}\left(v_1\right)=v_2^{+} \frac{1}{a_{12}} \sum_{j=3}^n a_{1 j} v_j^{+} l^2=\tilde{\omega}\left(v_2\right)=-a_{12} v_1^{+} \sum_{j=3}^n a_{2 j} v_j $$套装 \backslash left{\^1, |^2, v_{-} 3^{\wedge}, , \dots, v_{-} n^{\wedge} \backslash right } 现在是一个新的基础 V^*. 如果 \omega_1=\omega-l^1 \wedge l^2 ，然后$$ \begin{gathered} \tilde{\omega} 1\left(v_1\right)=a 12 l^1-l^1\left(v_1\right) l^2+l^2\left(v_1\right) l^1=a_{12} l^1-0-a_{12} l^1=0, \ \tilde{\omega}1\left(v_2\right)=l^2-l^1\left(v_2\right) l^2+l^2\left(v_2\right) l^1=l^2-l^2+0=0 . \end{gathered}$$因此，$\omega_1$是外代数的子代数的一个元素$V$由$\$v{-} 3^{\wedge}, 1 / d o t s, v_{-} n^{\wedge}$ 生成. Iflomega_1=0, then lomega=|^1 《楔形|^2. If \omega_1 \neq 0, werepeattheabovetaking\omega_1intheplaceof 欧米茄
. So, inductively, wearriveattheconclusion, sinceV\\$ 具有有限维度。

有限元方法代写

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。