数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|CSCI8955
如果你也在 怎样代写最优化Optimization Theory 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。最优化Optimization Theory是对给定区域上目标函数求最小值或最大值问题的数学研究。这包括对解的存在性、结构性质以及算法方面的研究。处理优化理论的重要性在不断增加。这是由于优化发挥作用的各种领域，包括应用数学，计算机科学，工程，经济学，仅举几例。
最优化Optimization Theory在不同学科中出现的(确定性)优化问题的结构可能具有相当不同的性质，研究它们的技术也是如此。影响所使用方法的一个关键准则是定义优化问题的域的拓扑结构。如果在一个有限的或可数的无限集合中寻找一个极值点，就会得到一个离散优化问题。策略通常具有组合的性质，这就是为什么组合优化这个术语在这类问题中变得流行的原因。对于像实数这样的不可数域，使用的技术很多时候是基于微积分和连续数学的概念，取决于所涉及的函数的特定性质(例如可微性)。
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数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|König’s Theorem
We can easily deduce König’s Theorem from the Max-flow Min-cut Theorem as follows: Suppose $G=(V, E)$ is a bipartite graph with bipartition $V=$ $U \cup W$. Construct a network $D=\left(V^{\prime}, A\right)$ as follows: $V^{\prime}=V \cup{s, t}$ with two new elements $s$ and $t$ and
$$
\begin{aligned}
A:={(s, u) \mid u \in U} \quad & \cup((u, w) \mid u \in U, w \in W,{u, w} \in E} \
\cup & {(w, t) \mid w \in W} \cup{(t, s)} .
\end{aligned}
$$
As a capacity function, we let $c(s, u)=c(w, t)=1, c(u, w)=|U|+1$ for $(u, w) \in A, u \in U, w \in W, c(t, s)$ large, e.g. $|A|(|U|+|W|)$. the integrality of the capacities, we have an integral max flow $x$.Clearly, $x_a \leq 1$ for all arcs $a \in A$. It follows that the set
$$
\left{{u, w} \in E \mid u \in U, w \in W, x_{(u, w)}=1\right}
$$
is a matching in $G$ whose cardinality equals $\operatorname{val}(x)$.
On the other hand, suppose that $C$ is a cut satisfying $\operatorname{cap}(C)=\operatorname{val}(x) \leq$ $\min (|U|,|W|)$. Then no arc can join some $u \in C \cap U$ to some $w \in W \backslash \bar{C}$ since $c(u, w)>\operatorname{cap}(C)$. It follows, that $(U \backslash C) \cup(W \cap C)$ is a vertex cover for $G$ with cardinality equal to $\operatorname{cap}(C)$.
This proves König’s Theorem and gives us another algorithm to compute maximum matchings in bipartite graphs.
数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|Dilworth’s Theorem
We are now going to consider a famous theorem about chain decompositions of partially ordered sets (posets) and need a few definitions:
Definition 16.3.1 Assume that $(P, \prec)$ is a poset, i.e., ” $\prec$ ” is irreflexive and transitive.
A chain in $P$ is a subset $K \subseteq P$ such that any two elements $p \neq p^{\prime}$ in $K$
are comparable, i.e. either $p \prec p^{\prime}$ or $p^{\prime} \prec p$ holds. An antichain in $P$ is a subset $L \subseteq H$ such that no two elements $p, p^{\prime}$ in $L$ are comparable, i.e., $p \prec p^{\prime}$ never holds. A chain decomposition of $P$ is a set partition $\mathcal{K}$ of $P, \mathcal{K}=\left{K_1, \ldots, K_{\ell}\right}, \bigcup_{i=1}^{\ell} K_i=P, K_i \cap K_j=\emptyset(i \neq j)$, such that each $K_i$ is a chain, $1 \leq i \leq \ell$.
Theorem 16.3.2 (Dilworth (1950)) For each finite poset $(P, \prec)$ we have $\max {|L| \mid L \subset P$ antichain $}=\min {|\mathcal{K}| \mid \mathcal{K}$ chain decomposition of $P}$.
Proof. We use König’s Theorem. Construct a bipartite graph $G=(P \cup$ $\left.P^{\prime}, E\right)$ as follows: The colour classes are the poset $P$ and some disjoint copy $P^{\prime}=\left{p^{\prime} \mid p \in P\right}$ of $P$. The edge set is $E:=\left{\left{p, q^{\prime}\right} \mid p, q \in P, p \prec q\right}$.
(i) Assume that $M$ is a matching in $G$. We obtain a chain decomposition $\mathcal{K}$ of $P$ with $|M|+|\mathcal{K}|=|P|$ as follows: Let $N:=\left{\left{p, p^{\prime}\right} \mid p \in P\right}$. Enumerate by $p_1, \ldots, p_{\ell}$ the elements of $P$ such that $p_i^{\prime}$ is not an endpoint of some edge in $M$. Let $K_i:=\left{p \in P \mid p\right.$ and $p_i$ are in the same component of $\left.G^{\prime}:=\left(P \cup P^{\prime}, M \cup N\right)\right}, 1 \leq i \leq \ell$.
It is easy to check that $\mathcal{K}:=\left{K_1, \ldots, K_{\ell}\right}$ is indeed a chain decomposition of $P$ and that the component of $p_i$ in $G^{\prime}$ contains exactly $\left|K_i\right|-1$ edges from $M$, hence
$$
|P|=\sum_{i=1}^{\ell}\left|K_i\right|=\ell+\sum_{i=1}^{\ell}\left(\left|K_i\right|-1\right)=\ell+|M| .
$$
(ii) Now let $W \subseteq P \cup P^{\prime}$ be some vertex cover for $G$. We construct an antichain $L$ in $P$ with $|W|+|L| \geq|P|$ as follows:
Let $W_0:=\left{p \in P \mid p \in W\right.$ or $\left.p^{\prime} \in W\right}$.
Then $\left|W_0\right| \leq|W|$ and $P \backslash W_0$ is an antichain by definition of $W$, hence
$$
|W|+\left|P \backslash W_0\right| \geq\left|W_0\right|+\left|P \backslash W_0\right|=|P| .
$$
(iii) By König’s Theorem, $\nu(G)=\tau(G)$, and we may choose some matching $\tilde{M}$ and some vertex cover $\bar{W}$ of $G$ with $|\bar{M}|=|\bar{W}|$.
Using (i) and (ii), we obtain a chain decomposition $\overline{\mathcal{K}}$ and an antichain $\bar{L}$ satisfying
$$
|\overline{\mathcal{K}}|=|P|-|\bar{M}|=|P|-|\bar{W}| \leq|\bar{L}|,
$$
hence
$$
\max {|L| \mid L \text { antichain }} \geq \min {|\mathcal{K}| \mid \mathcal{K} \text { chain decomposition }}
$$
The reverse inequality is, however, trivial: Each element of an antichain must occur in a chain decomposition and no two elements of an antichain can occur in the same chain. The theorem is proved.
最优化理论代写
数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|König’s Theorem
我们可以很容易地从最大流量最小切定理推导出König定理如下:假设$G=(V, E)$是一个具有两分的二部图$V=$$U \cup W$。按如下方式构建网络$D=\left(V^{\prime}, A\right)$: $V^{\prime}=V \cup{s, t}$添加两个新元素$s$、$t$和
$$
\begin{aligned}
A:={(s, u) \mid u \in U} \quad & \cup((u, w) \mid u \in U, w \in W,{u, w} \in E} \
\cup & {(w, t) \mid w \in W} \cup{(t, s)} .
\end{aligned}
$$
作为容量函数，我们让$c(s, u)=c(w, t)=1, c(u, w)=|U|+1$表示$(u, w) \in A, u \in U, w \in W, c(t, s)$较大，例如$|A|(|U|+|W|)$。容量的完整性，我们有一个最大流量的积分$x$，显然，$x_a \leq 1$对于所有的弧$a \in A$。因此，集合
$$
\left{{u, w} \in E \mid u \in U, w \in W, x_{(u, w)}=1\right}
$$
是$G$中基数等于$\operatorname{val}(x)$的匹配。
另一方面，假设$C$是一个满足$\operatorname{cap}(C)=\operatorname{val}(x) \leq$$\min (|U|,|W|)$的切口。那么没有弧可以连接$u \in C \cap U$到$w \in W \backslash \bar{C}$，因为$c(u, w)>\operatorname{cap}(C)$。由此可知，$(U \backslash C) \cup(W \cap C)$是$G$的顶点覆盖，基数等于$\operatorname{cap}(C)$。
这证明了König定理，并给出了计算二部图中最大匹配的另一种算法。
数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|Dilworth’s Theorem
我们现在要考虑一个著名的关于偏序集(偏序集)链分解的定理，需要一些定义:
16.3.1假设$(P, \prec)$是一个偏序集，即” $\prec$ “是非自反的和传递的。
$P$中的链是一个子集$K \subseteq P$，使得任意两个元素$p \neq p^{\prime}$在 $K$
是可比较的，即$p \prec p^{\prime}$或$p^{\prime} \prec p$都成立。$P$中的反链是一个子集$L \subseteq H$，使得$L$中没有两个元素$p, p^{\prime}$具有可比性，即$p \prec p^{\prime}$永远不成立。$P$的链分解是$P, \mathcal{K}=\left{K_1, \ldots, K_{\ell}\right}, \bigcup_{i=1}^{\ell} K_i=P, K_i \cap K_j=\emptyset(i \neq j)$的一个集合分区$\mathcal{K}$，这样每个$K_i$都是一个链$1 \leq i \leq \ell$。
定理16.3.2 (Dilworth(1950))对于每个有限偏序集$(P, \prec)$我们有$\max {|L| \mid L \subset P$反链$}=\min {|\mathcal{K}| \mid \mathcal{K}$$P}$的链分解。
证明。我们用König定理。按如下方法构造一个二部图$G=(P \cup$$\left.P^{\prime}, E\right)$:颜色类是$P$的偏序集$P$和一些不相交的副本$P^{\prime}=\left{p^{\prime} \mid p \in P\right}$。边集是$E:=\left{\left{p, q^{\prime}\right} \mid p, q \in P, p \prec q\right}$。
(i)假设$M$是$G$的匹配项。我们用$|M|+|\mathcal{K}|=|P|$得到$P$的链分解$\mathcal{K}$如下:设$N:=\left{\left{p, p^{\prime}\right} \mid p \in P\right}$。通过$p_1, \ldots, p_{\ell}$枚举$P$的元素，使$p_i^{\prime}$不是$M$中某些边的端点。设$K_i:=\left{p \in P \mid p\right.$和$p_i$在$\left.G^{\prime}:=\left(P \cup P^{\prime}, M \cup N\right)\right}, 1 \leq i \leq \ell$的同一个组件中。
很容易检查$\mathcal{K}:=\left{K_1, \ldots, K_{\ell}\right}$确实是$P$的链式分解，并且$G^{\prime}$中$p_i$的组件恰好包含$M$的$\left|K_i\right|-1$条边，因此
$$
|P|=\sum_{i=1}^{\ell}\left|K_i\right|=\ell+\sum_{i=1}^{\ell}\left(\left|K_i\right|-1\right)=\ell+|M| .
$$
(ii)现在设$W \subseteq P \cup P^{\prime}$为$G$的某个顶点覆盖。我们用$|W|+|L| \geq|P|$在$P$中构造一个反链$L$如下:
请输入$W_0:=\left{p \in P \mid p \in W\right.$或$\left.p^{\prime} \in W\right}$。
那么$\left|W_0\right| \leq|W|$和$P \backslash W_0$是反链根据$W$的定义，因此
$$
|W|+\left|P \backslash W_0\right| \geq\left|W_0\right|+\left|P \backslash W_0\right|=|P| .
$$
(iii)根据König定理$\nu(G)=\tau(G)$，我们可以选择$G$与$|\bar{M}|=|\bar{W}|$的某个匹配$\tilde{M}$和某个顶点覆盖$\bar{W}$。
利用(i)和(ii)，我们得到了满足的链分解$\overline{\mathcal{K}}$和反链$\bar{L}$
$$
|\overline{\mathcal{K}}|=|P|-|\bar{M}|=|P|-|\bar{W}| \leq|\bar{L}|,
$$
因此
$$
\max {|L| \mid L \text { antichain }} \geq \min {|\mathcal{K}| \mid \mathcal{K} \text { chain decomposition }}
$$
然而，相反的不等式是微不足道的:反链的每个元素必须出现在链分解中，并且反链的任何两个元素都不能出现在同一链中。定理被证明了。
统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。
金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。