数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Math462
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偏微分方程指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关系。符合这个关系的函数是方程的解。
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数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Multivariable Calculus
The set $\mathbb{R}^n$ of $n$-tuples of real numbers is a linear space over the field $\mathbb{R}$, where the addition and scalar multiplication are defined, respectively, as $$
\begin{aligned}
\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} & =\left(x_1+y_1, \ldots, x_n+y_n\right) \
a \cdot \boldsymbol{x} & =\left(a x_1, \ldots, a x_n\right),
\end{aligned}
$$
for $\boldsymbol{x}=\left(x_1, \ldots, x_n\right), \boldsymbol{y}=\left(y_1, \ldots, y_n\right) \in \mathbb{R}^n$ and $a \in \mathbb{R}$. The usual dot product of vectors $\boldsymbol{x}$ and $\boldsymbol{y}$ defines an inner product on $\mathbb{R}^n$, which is written as $\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle$. That is,
$$
\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle:=\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y}=x_1 y_1+\cdots+x_n y_n .
$$
It can be shown that the function $\langle\rangle:, \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ given by (2.1.1) is a positive definite, symmetric, bilinearfunctional (Exercise 2.1). Therefore, $\mathbb{R}^n$ is an inner product space. In general, a linear space $X$ over the field $\mathbb{R}$ is called an inner product space if there exists a positive definite, symmetric, bilinear functional $b: X \times X \rightarrow \mathbb{R}$.
Further, a linear space $X$ over the field $\mathbb{R}$ is called a normed space if there exists a positive definite, absolute homogeneous, subadditive function $p: X \rightarrow \mathbb{R}$, where $p(x)$ is called the norm of $x \in X$. In particular, it can be shown that the function ||$: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ given by
$$
|\boldsymbol{x}|:=\sqrt{\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle}=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2} .
$$
gives a norm on $\mathbb{R}^n$ (Exercise 2.2). Therefore, $\mathbb{R}^n$ is a normed space, where $|\boldsymbol{x}|$ and their norms is called the norm of a vector $\boldsymbol{x}$ induced by the inner product (2.1.1). An interesting relation between the inner product of two points $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n$ is the Cauchy-Schwartz inequality given by
$$
|\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle| \leq|\boldsymbol{x}||\boldsymbol{y}|, \quad \text { for } \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n .
$$
A yet another interesting relation for the case when $n=3$ is the identity given by
$$
|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|^2=|\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2-\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle^2, \quad \text { for } \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^3,
$$
which finds many important applications, where the cross product $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ of vectors $\boldsymbol{a}=\left(a_1, a_2, a_3\right)$ and $\boldsymbol{b}=\left(b_1, b_2, b_3\right)$ is a vector in $\mathbb{R}^3$ given by
$$
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}:=\left(a_2 b_3-a_3 b_2, a_3 b_1-a_1 b_3, a_1 b_2-a_2 b_1\right) .
$$
数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Classical Theory of Surfaces and Curves
Let $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ be a domain, and consider a $C^1$-function $\varphi: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$, with $\nabla \varphi \not \equiv 0$ over $\Omega$. We may write $\Gamma_{\varphi}$ for the graph of $\varphi$ as given by
$$
\Gamma_{\varphi}={(\boldsymbol{x}, \varphi(\boldsymbol{x})) \in \Omega \times \varphi(\Omega): \boldsymbol{x} \in \Omega} \subset \mathbb{R}^{n+1} .
$$
In the particular case, when $\Omega=\mathbb{R}^n$ and $\varphi: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ is a linear map, the graph $\Gamma_{\varphi} \subset \mathbb{R}^{n+1}$ is a linear subspace of dimension $n$ with a basis given by the vectors
$$
\left(e_1, \varphi\left(e_1\right)\right), \ldots,\left(e_n, \varphi\left(e_n\right)\right),
$$
where $\boldsymbol{e}_1, \ldots, \boldsymbol{e}_n$ is the standard basis of the space $\mathbb{R}^n$. In the general case, when $n=1,2$, a function $\varphi$ can be visualised easily in terms of its graph. For example, if $D$ is a domain in $\mathbb{R}^2$ and $f \in C^1(D)$, then the geometry of the graph surface $\Gamma_f$ can be identified as a family of curves obtained as the intersection of $\Gamma_f$ with planes parallel to coordinates planes. A more interesting situation corresponds to the case when such types of curves are sections of $\Gamma_f$ formed by using the planes $z=c$, for $c \in f(D)$. We call these as the level curves of surface $\Gamma_f$, provided $\nabla f(c) \neq 0$.
Example 2.7 For the function $f_1: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ given by
$$
f_1(x, y)=4 x^2+9 y^2, \quad \text { with }(x, y) \in \mathbb{R}^2 \backslash{(0,0)},
$$
the level curves are ellipses given by the equation $4 x^2+9 y^2=f_1(a, b)$, for some $(a, b) \neq(0,0)$. Similarly, for the function $f_2(x, y)=x y,(x, y) \in \mathbb{R}^2 \backslash{(0,0)}$, the level curves are hyperbolas of the type $x y=f_2(a, b)$, for some $(a, b) \neq(0,0)$. Also, for the function $f_3(x, y)=x^2+y^2-1,(x, y) \in \mathbb{R}^2 \backslash{(0,0)}$, the level curves are circles given by $x^2+y^2-1=f_3(a, b)$, for some $(a, b) \neq(0,0)$.
When $\Omega \subseteq \mathbb{R}^3$ is a domain and $F \in C^1(\Omega)$, with $\nabla F \not \equiv 0$ over $\Omega$, a projected surface curve given by $\Gamma_F \bigcap \mathbb{R}^3$ is called a contour map if the function $F$ remains constant along the curve. In general, contour map in lower dimensions is obtained by keeping fixed one of the independent variables, which provides a visually intuitive way to see the level surfaces of the graph $\Gamma_F$. For example, taking $x=a$, the contour map is the intersection of the graph $\Gamma_F$ with the plane $x=a$. A level surface of the function $F$ is the contour map obtained from the intersection of $\Gamma_F$ with the plane $z=c$. In what follows, we reserve the term level set for the surface obtained from $\Gamma_{\varphi}$ by slicing it with the plane $x_{n+1}=\varphi\left(x_0\right)$, for some $x_0 \in \Omega$.
偏微分方程代写
数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Multivariable Calculus
$$
\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\left(x_1+y_1, \ldots, x_n+y_n\right) a \cdot \boldsymbol{x}=\left(a x_1, \ldots, a x_n\right),
$$
为了 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, \ldots, x_n\right), \boldsymbol{y}=\left(y_1, \ldots, y_n\right) \in \mathbb{R}^n$ 和 $a \in \mathbb{R}$. 向量的通常点积 $\boldsymbol{x}$ 和 $\boldsymbol{y}$ 定义一个内积 $\mathbb{R}^n$ , 写成 $\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle$. 那是,
$$
\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle:=\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y}=x_1 y_1+\cdots+x_n y_n .
$$
可以证明函数 \langle\rangle$:, \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}(2.1 .1)$ 给出的是一个正定的、对称的、双线性函数(练习 2.1)。所以, $\mathbb{R}^n$ 是一个内积空间。一般来说,线性空间 $X$ 在球场上 $\mathbb{R}$ 称为内积空间,如果存在正定、对称、双线性泛函 $b: X \times X \rightarrow \mathbb{R}$
进一步,线性空间 $X$ 在球场上 $\mathbb{R}$ 如果存在正定的、绝对齐次的、次可加函数,则称为赋范空间 $p: X \rightarrow \mathbb{R}$ ,在哪里 $p(x)$ 被称为范数 $x \in X$. 特别地,可以证明函数 $|: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ 由
$$
|\boldsymbol{x}|:=\sqrt{\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle}=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2} .
$$
给出规范 $\mathbb{R}^n$ (练习 2.2) 。所以, $\mathbb{R}^n$ 是赋范空间,其中 $|\boldsymbol{x}|$ 它们的范数称为向量的范数 $\boldsymbol{x}$ 由内积 (2.1.1) 引起。两点内积的有趣关系 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n$ 是 Cauchy-Schwartz 不等式,由
$$
|\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle| \leq|\boldsymbol{x} | \boldsymbol{y}|, \quad \text { for } \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n .
$$
另一个有趣的关系 $n=3$ 是给出的标识
$$
|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|^2=|\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2-\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle^2, \quad \text { for } \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^3,
$$
它发现了许多重要的应用程序,其中叉积 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ 向量的 $\boldsymbol{a}=\left(a_1, a_2, a_3\right)$ 和 $\boldsymbol{b}=\left(b_1, b_2, b_3\right)$ 是一个向量 $\mathbb{R}^3$ 由
$$
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}:=\left(a_2 b_3-a_3 b_2, a_3 b_1-a_1 b_3, a_1 b_2-a_2 b_1\right) .
$$
数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Classical Theory of Surfaces and Curves
让 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ 是一个域,并考虑一个 $C^1$-功能 $\varphi: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ ,和 $\nabla \varphi \not \equiv 0$ 超过 $\Omega$. 我们可以写 $\Gamma_{\varphi}$ 对于图 $\varphi$ 正 如所给出的
$$
\Gamma_{\varphi}=(\boldsymbol{x}, \varphi(\boldsymbol{x})) \in \Omega \times \varphi(\Omega): \boldsymbol{x} \in \Omega \subset \mathbb{R}^{n+1}
$$
为基础
$$
\left(e_1, \varphi\left(e_1\right)\right), \ldots,\left(e_n, \varphi\left(e_n\right)\right),
$$
在哪里 $\boldsymbol{e}1, \ldots, \boldsymbol{e}_n$ 是空间的标准基础 $\mathbb{R}^n$.一般情况下,当 $n=1,2$, 一个函数 $\varphi$ 可以根据其图形轻松可视 化。例如,如果 $D$ 是一个域 $\mathbb{R}^2$ 和 $f \in C^1(D)$ ,然后图形表面的几何形状 $\Gamma_f$ 可以被识别为一族曲线获得作 为交点 $\Gamma_f$ 平面平行于坐标平面。一个更有趣的情况对应于这种类型的曲线是 $\Gamma_f$ 通过使用平面形成 $z=c$ 为了 $c \in f(D)$. 我们称这些为曲面的水平曲线 $\Gamma_f$ ,假如 $\nabla f(c) \neq 0$. 例 $2.7$ 对于函数 $f_1: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ 由 $$ f_1(x, y)=4 x^2+9 y^2, \quad \text { with }(x, y) \in \mathbb{R}^2 \backslash(0,0), $$ 水平曲线是由等式给出的椭圆 $4 x^2+9 y^2=f_1(a, b)$ ,对于一些 $(a, b) \neq(0,0)$. 同样,对于函数 $f_2(x, y)=x y,(x, y) \in \mathbb{R}^2 \backslash(0,0)$ , 水平曲线是双曲线类型 $x y=f_2(a, b)$ , 对于一些 $(a, b) \neq(0,0)$. 另外,对于函数 $f_3(x, y)=x^2+y^2-1,(x, y) \in \mathbb{R}^2 \backslash(0,0)$, 水平曲线是由下式给 出的圆圈 $x^2+y^2-1=f_3(a, b)$ ,对于一些 $(a, b) \neq(0,0)$. 什么时候 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^3$ 是一个域并且 $F \in C^1(\Omega)$ , 和 $\nabla F \not \equiv 0$ 超过 $\Omega$ ,由下式给出的投影曲面曲线 $\Gamma_F \bigcap \mathbb{R}^3$ 如果函数 $F$ 沿曲线保持不变。通常,较低维度的等高线图是通过保持其中一个自变量固定来获得的,这提 供了一种直观的方式来查看图形的水平面 $\Gamma_F$. 例如,取 $x=a$ ,等高线图是图形的交集 $\Gamma_F$ 与飞机 $x=a$. 函数的水平面 $F$ 是从交集得到的等高线图 $\Gamma_F$ 与飞机 $z=c$. 在下文中,我们为从中获得的表面保留术语水 平集 $\Gamma{\varphi}$ 用飞机切片 $x_{n+1}=\varphi\left(x_0\right)$ ,对于一些 $x_0 \in \Omega$.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。
有限元方法代写
有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。