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数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Left Coset Partition

Let $H$ be a subgroup of the group $G$. The distinct left cosets of $H$ in $G$ form a partition of $G$; that is, they separate the elements of $G$ into mutually disjoint subsets.

Proof It is sufficient to show that any two left cosets of $H$ that are not disjoint must be the same left coset.

Suppose $a H$ and $b H$ have at least one element in common-say, $z \in a H \cap b H$. Then $z=a h_1$ for some $h_1 \in H$, and $z=b h_2$ for some $h_2 \in H$. This means that $a h_1=b h_2$ and $a=b h_2 h_1^{-1}$. We have that $h_2 h_1^{-1}$ is in $H$ since $H$ is a subgroup, so $a=b h_3$ where $h_3=h_2 h_1^{-1} \in H$. Now, for every $h \in H$,
$$
\begin{aligned}
a h & =b h_3 h \
& =b h_4
\end{aligned}
$$
where $h_4=h_3 \cdot h$ is in $H$. That is, $a h \in b H$ for all $h \in H$. This proves that $a H \subseteq b H$. A similar argument shows that $b H \subseteq a H$, and thus $a H=b H$.

The distinct right cosets of a subgroup $H$ of a group $G$ also form a partition of $G$. That is, Lemma 4.13 can be restated in terms of right cosets (see Exercise 13).
Example 4 Consider again the subgroup
$$
K={(1),(1,2)}
$$
of
$$
G=S_3={(1),(1,2,3),(1,3,2),(1,2),(1,3),(2,3)} .
$$
In Example 3 of this section, we saw that
$$
(1,2,3) K={(1,2,3),(1,3)} .
$$
Since $(1,3)$ is in this left coset, it follows from Lemma 4.13 that
$$
(1,3) K=(1,2,3) K={(1,2,3),(1,3)} .
$$
Straightforward computations show that
$$
(1) K=(1,2) K={(1),(1,2)}=K
$$
and
$$
(2,3) K=(1,3,2) K={(1,3,2),(2,3)} .
$$
Thus the distinct left cosets of $K$ in $G$ are given by
$$
K,(1,2,3) K,(1,3,2) K
$$
and a partition of $G$ is
$$
G=K \cup(1,2,3) K \cup(1,3,2) K \text {. }
$$

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Normal Subgroup

Let $H$ be a subgroup of $G$. Then $H$ is a normal (or invariant) subgroup of $G$ if $x H=H x$ for all $x \in G$.

Note that the condition $x H=H x$ is an equality of sets, and it does not require that $x h=h x$ for all $h$ in $H$.
Example 1 Let
$$
H=A_3={(1),(1,2,3),(1,3,2)}=\langle(1,2,3)\rangle
$$
and
$$
G=S_3={(1),(1,2,3),(1,3,2),(1,2),(1,3),(2,3)} .
$$
For $x=(1,2)$ we have
$$
\begin{aligned}
x H & ={(1,2)(1),(1,2)(1,2,3),(1,2)(1,3,2)} \
& ={(1,2),(2,3),(1,3)}
\end{aligned}
$$
and
$$
\begin{aligned}
H x & ={(1)(1,2),(1,2,3)(1,2),(1,3,2)(1,2)} \
& ={(1,2),(1,3),(2,3)} .
\end{aligned}
$$
We have $x H=H x$, but $x h \neq h x$ when $h=(1,2,3) \in H$. Similar computations show that
$$
\begin{aligned}
(1) H=(1,2,3) H=(1,3,2) H & ={(1),(1,2,3),(1,3,2)}=H \
H(1)=H(1,2,3)=H(1,3,2) & ={(1),(1,2,3),(1,3,2)}=H \
(1,2) H=(1,3) H=(2,3) H & ={(1,2),(1,3),(2,3)} \
H(1,2)=H(1,3)=H(2,3) & ={(1,2),(1,3),(2,3)} .
\end{aligned}
$$
Thus $H$ is a normal subgroup of $G$. Additionally, we note that $G$ can be expressed as
$$
G=H \cup(1,2) H .
$$

现代代数代考

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Left Coset Partition

设$H$为组$G$的子组。$G$中$H$的不同左余集形成了$G$的一个分区;也就是说，它们将$G$的元素分离为互不相交的子集。

证明$H$的任意两个不相交的左余集必定是相同的左余集。

假设$a H$和$b H$至少有一个共同的元素，比如$z \in a H \cap b H$。然后$z=a h_1$表示一些$h_1 \in H$, $z=b h_2$表示一些$h_2 \in H$。这意味着$a h_1=b h_2$和$a=b h_2 h_1^{-1}$。我们知道$h_2 h_1^{-1}$在$H$中，因为$H$是子组，所以$a=b h_3$在$h_3=h_2 h_1^{-1} \in H$中。对于每个$h \in H$，
$$
\begin{aligned}
a h & =b h_3 h \
& =b h_4
\end{aligned}
$$
$h_4=h_3 \cdot h$在$H$中。也就是说，所有$h \in H$都是$a h \in b H$。这证明了$a H \subseteq b H$。类似的论点表明$b H \subseteq a H$，因此$a H=b H$。

群$G$的子群$H$的不同的右余集也形成了$G$的一个分区。也就是说，引理4.13可以用右集来重述(参见练习13)。
再次考虑子组
$$
K={(1),(1,2)}
$$
的
$$
G=S_3={(1),(1,2,3),(1,3,2),(1,2),(1,3),(2,3)} .
$$
在本节的示例3中，我们看到了这一点
$$
(1,2,3) K={(1,2,3),(1,3)} .
$$
因为$(1,3)$在这个左余集，从引理4.13可以得出
$$
(1,3) K=(1,2,3) K={(1,2,3),(1,3)} .
$$
简单的计算表明了这一点
$$
(1) K=(1,2) K={(1),(1,2)}=K
$$
和
$$
(2,3) K=(1,3,2) K={(1,3,2),(2,3)} .
$$
因此，$G$中$K$的不同左余集由式给出
$$
K,(1,2,3) K,(1,3,2) K
$$
$G$的分区是
$$
G=K \cup(1,2,3) K \cup(1,3,2) K \text {. }
$$

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Normal Subgroup

设$H$为$G$的子组。那么$H$是$G$的正常(或不变)子组，如果$x H=H x$适用于所有$x \in G$。

注意，条件$x H=H x$是集合的等式，它不要求$H$中的所有$h$都是$x h=h x$。
例1
$$
H=A_3={(1),(1,2,3),(1,3,2)}=\langle(1,2,3)\rangle
$$
和
$$
G=S_3={(1),(1,2,3),(1,3,2),(1,2),(1,3),(2,3)} .
$$
对于$x=(1,2)$我们有
$$
\begin{aligned}
x H & ={(1,2)(1),(1,2)(1,2,3),(1,2)(1,3,2)} \
& ={(1,2),(2,3),(1,3)}
\end{aligned}
$$
和
$$
\begin{aligned}
H x & ={(1)(1,2),(1,2,3)(1,2),(1,3,2)(1,2)} \
& ={(1,2),(1,3),(2,3)} .
\end{aligned}
$$
我们有$x H=H x$，但$x h \neq h x$当$h=(1,2,3) \in H$。类似的计算表明
$$
\begin{aligned}
(1) H=(1,2,3) H=(1,3,2) H & ={(1),(1,2,3),(1,3,2)}=H \
H(1)=H(1,2,3)=H(1,3,2) & ={(1),(1,2,3),(1,3,2)}=H \
(1,2) H=(1,3) H=(2,3) H & ={(1,2),(1,3),(2,3)} \
H(1,2)=H(1,3)=H(2,3) & ={(1,2),(1,3),(2,3)} .
\end{aligned}
$$
因此$H$是$G$的正常子组。另外，我们注意到$G$可以表示为
$$
G=H \cup(1,2) H .
$$

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