数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Linear Systems
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- Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Basic Properties
A linear system has a unique solution, infinitely many solutions, or no solution. To discuss this we first consider the real case, and a homogeneous underdetermined system.
Lemma $1.3$ (Underdetermined System) Suppose $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ with $m<n$. Then there is a nonzero $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$ such that $A \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$.
Proof Suppose $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ with $m<n$. The $n$ columns of $A$ span a subspace of $\mathbb{R}^{m}$. Since $\mathbb{R}^{m}$ has dimension $m$ the dimension of this subspace is at most $m$. By Lemma $1.1$ the columns of $A$ must be linearly dependent. It follows that there is a nonzero $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$ such that $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$.
A square matrix is either nonsingular or singular.
Definition $1.7$ (Real Nonsingular or Singular Matrix) A square matrix $A \in$ $\mathbb{R}^{n \times n}$ is said to be nonsingular if the only real solution of the homogeneous system $A \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ is $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$. The matrix is singular if there is a nonzero $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$ such that $A x=0$.
Theorem $1.6$ (Linear Systems; Existence and Uniqueness) Suppose $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$. The linear system $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ has a unique solution $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$ for any $\boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^{n}$ if and only if the matrix $A$ is nonsingular.
Proof Suppose $\boldsymbol{A}$ is nonsingular. We define $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{a}\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{n \times(n+1)}$ by adding a column to $\boldsymbol{A}$. By Lemma $1.3$ there is a nonzero $z \in \mathbb{R}^{n+1}$ such that $\boldsymbol{B} z=\mathbf{0}$. If we write $z=\left[\begin{array}{c}\bar{z} \ z_{n+1}\end{array}\right]$ where $\bar{z}=\left[z_{1}, \ldots, z_{n}\right]^{T} \in \mathbb{R}^{n}$ and $z_{n+1} \in \mathbb{R}$, then
$$
\boldsymbol{B} z=\left[\begin{array}{ll}
\boldsymbol{b}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
\bar{z} \
z_{n+1}
\end{array}\right]=\boldsymbol{A} \bar{z}+z_{n+1} \boldsymbol{b}=\mathbf{0}
$$
数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|The Inverse Matrix
Suppose $\boldsymbol{A} \in \mathbb{C}^{n \times n}$ is a square matrix. A matrix $\boldsymbol{B} \in \mathbb{C}^{n \times n}$ is called a right inverse of $\boldsymbol{A}$ if $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{I}$. A matrix $C \in \mathbb{C}^{n \times n}$ is said to be a left inverse of $A$ if $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{I}$. We say that $A$ is invertible if it has both a left- and a right inverse. If $A$ has a right inverse $\boldsymbol{B}$ and a left inverse $\boldsymbol{C}$ then
$$
C=C I=C(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})=(\boldsymbol{C} \boldsymbol{A}) \boldsymbol{B}=\boldsymbol{I} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}
$$
and this common inverse is called the inverse of $A$ and denoted by $A^{-1}$. Thus the inverse satisfies $A^{-1} A=A A^{-1}=I$.
We want to characterize the class of invertible matrices and start with a lemma.
Theorem $1.8$ (Product of Nonsingular Matrices) If $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C} \in \mathbb{C}^{n \times n}$ with $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=$ $\boldsymbol{C}$ then $\boldsymbol{C}$ is nonsingular if and only if both $\boldsymbol{A}$ and $\boldsymbol{B}$ are nonsingular. In particular, if either $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{I}$ or $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{I}$ then $\boldsymbol{A}$ is nonsingular and $\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{B}$.
Proof Suppose both $\boldsymbol{A}$ and $\boldsymbol{B}$ are nonsingular and let $\boldsymbol{C} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$. Then $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ and since $\boldsymbol{A}$ is nonsingular we see that $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$. Since $\boldsymbol{B}$ is nonsingular we have $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$. We conclude that $C$ is nonsingular.
数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Determinants
The first systematic treatment of determinants was given by Cauchy in 1812 . He adopted the word “determinant”. The first use of determinants was made by Leibniz in 1693 in a letter to De L’Hôspital. By the beginning of the twentieth century the theory of determinants filled four volumes of almost 2000 pages (Muir, 1906-1923. Historic references can be found in this work). The main use of determinants in this text will be to study the characteristic polynomial of a matrix and to show that a matrix is nonsingular.
For any $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ the determinant of $A$ is defined by the number
$$
\operatorname{det}(\boldsymbol{A})=\sum_{\sigma \in S_{n}} \operatorname{sign}(\sigma) a_{\sigma(1), 1} a_{\sigma(2), 2} \cdots a_{\sigma(n), n}
$$
This sum ranges of all $n$ ! permutations of ${1,2, \ldots, n}$. Moreover, $\operatorname{sign}(\sigma)$ equals the number of times a bigger integer precedes a smaller one in $\sigma$. We also denote the determinant by (Cayley, 1841)
$$
\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|
$$
From the definition we have
$$
\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|=a_{11} a_{22}-a_{21} a_{12}
$$
The first term on the right corresponds to the identity permutation $\epsilon$ given by $\epsilon(i)=$ $i, i=1,2$. The second term comes from the permutation $\sigma={2,1}$. For $n=3$ there are six permutations of ${1,2,3}$. Then
$\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|=a_{11} a_{22} a_{33}-a_{11} a_{32} a_{23}-a_{21} a_{12} a_{33}$
$+a_{21} a_{32} a_{13}+a_{31} a_{12} a_{23}-a_{31} a_{22} a_{13}$
This follows since $\operatorname{sign}({1,2,3})=\operatorname{sign}({2,3,1})=\operatorname{sign}({3,1,2})=1$, and noting that interchanging two numbers in a permutation reverses it sign we find $\operatorname{sign}({2,1,3})=\operatorname{sign}({3,2,1})=\operatorname{sign}({1,3,2})=-1$.
计算线性代数代考
数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Basic Properties
线性系统有唯一解、无限多解或没有解。为了讨论这个问题，我们首先考虑真实的情况，以及一个齐次的欠定系统。
引理1.3（欠定系统）假设一个∈R米×n和米<n. 然后有一个非零X∈Rn这样一个X=0.
证明假设一个∈R米×n和米<n. 这n列一个跨越一个子空间R米. 自从R米有维度米这个子空间的维数最多为米. 引理1.1的列一个必须是线性相关的。由此得出有一个非零X∈Rn这样一个X=0.
方阵要么是非奇异的，要么是奇异的。
定义1.7(Real Nonsingular or Singular Matrix) 方阵一个∈ Rn×n如果齐次系统的唯一真正解，则称其为非奇异的一个X=0是X=0. 如果存在非零矩阵，则该矩阵是奇异的X∈Rn这样一个X=0.
定理1.6（线性系统；存在性和唯一性）假设一个∈Rn×n. 线性系统一个X=b有独特的解决方案X∈Rn对于任何b∈Rn当且仅当矩阵一个是非奇异的。
证明假设一个是非奇异的。我们定义乙=[一个]∈Rn×(n+1)通过添加一列一个. 引理1.3有一个非零和∈Rn+1这样乙和=0. 如果我们写和=[和¯ 和n+1]在哪里和¯=[和1,…,和n]吨∈Rn和和n+1∈R， 然后
乙和=[b][和¯ 和n+1]=一个和¯+和n+1b=0
数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|The Inverse Matrix
认为一个∈Cn×n是一个方阵。矩阵乙∈Cn×n被称为右逆一个如果一个乙=我. 矩阵C∈Cn×n据说是左逆一个如果C=我. 我们说一个如果它同时具有左逆和右逆，则它是可逆的。如果一个有一个右逆乙和一个左逆C然后
C=C我=C(一个乙)=(C一个)乙=我乙=乙
这个共同的逆被称为的逆一个并表示为一个−1. 因此逆满足一个−1一个=一个一个−1=我.
我们想要表征可逆矩阵的类别并从引理开始。
定理1.8（非奇异矩阵的乘积）如果一个,乙,C∈Cn×n和一个乙= C然后C当且仅当两者都是非奇异的一个和乙是非奇异的。特别是，如果一个乙=我或者乙一个=我然后一个是非奇异的并且一个−1=乙.
证明假设两者一个和乙是非奇异的并且让CX=0. 然后一个乙X=0并且因为一个是非奇异的，我们看到乙X=0. 自从乙我们有非奇异的X=0. 我们得出结论C是非奇异的。
数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Determinants
1812 年，Cauchy 首次系统地处理了行列式。他采用了“决定因素”一词。1693 年莱布尼茨在给 De L’Hôspital 的一封信中首次使用了行列式。到 20 世纪初，行列式理论占据了将近 2000 页的四卷本（缪尔，1906-1923 年。可以在这部著作中找到历史参考资料）。本文中行列式的主要用途是研究矩阵的特征多项式并证明矩阵是非奇异的。
对于任何一个∈Cn×n的决定因素一个由数字定义
这(一个)=∑σ∈小号n符号(σ)一个σ(1),1一个σ(2),2⋯一个σ(n),n
所有的这个总和范围n！的排列1,2,…,n. 而且，符号(σ)等于较大整数在较小整数之前的次数σ. 我们还用 (Cayley, 1841) 表示行列式
|一个11一个12⋯一个1n 一个21一个22⋯一个2n ⋮⋮⋮ 一个n1一个n2⋯一个nn|
根据我们的定义
|一个11一个12 一个21一个22|=一个11一个22−一个21一个12
右边第一项对应恒等排列ε由ε(一世)= 一世,一世=1,2. 第二项来自排列σ=2,1. 为了n=3有六种排列1,2,3. 然后
|一个11一个12一个13 一个21一个22一个23 一个31一个32一个33|=一个11一个22一个33−一个11一个32一个23−一个21一个12一个33
+一个21一个32一个13+一个31一个12一个23−一个31一个22一个13
这是因为符号(1,2,3)=符号(2,3,1)=符号(3,1,2)=1，并注意到在一个排列中交换两个数字会反转我们发现的符号符号(2,1,3)=符号(3,2,1)=符号(1,3,2)=−1.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
