MATH4076 - 统计代写答疑辅导

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数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|MATH4076

Posted on 2022年7月1日2022年7月1日 by statistics-lab

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数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|MATH4076

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Determinant of a Matrix

Definition 2.20. Let us consider $n$ objects. We will call permutation every grouping of these objects. For example, if we consider three objects $a, b$, and $c$, we could group them as $a-b-c$ or $a-c-b$, or $c-b-a$ or $b-a-c$ or $c-a-b$ or $b-c-a$ . In this case, there are totally six possible permutations. More generally, it can be checked that for $n$ objects there are $n$ ! ( $n$ factorial) permutations where $n !=$ $(n)(n-1)(n-2) \ldots(2)(1)$ with $n \in \mathbb{N}$ and $(0) !=1$.

We could fix a reference sequence (e.g. $a-b-c$ ) and name it fundamental permutation. Every time two objects in a permutation follow each other in a reverse order with respect to the fundamental we will call it inversion. Let us define even class permutation a permutation undergone to an even number of inversions and odd class permutation a permutation undergone to an odd number of inversions, see also [1].

In other words, a sequence is an even class permutation if an even number of swaps is necessary to obtain the fundamental permutation. Analogously, a sequence is an odd class permutation if an odd number of swaps is necessary to obtain the fundamental permutation.

Example 2.19. Let us consider the fundamental permutation $a-b-c-d$ associated with the objects $a, b, c, d$. The permutation $d-a-c-b$ is of even class since two swaps are required to reconstruct the fundamental permutation. At first we swap $a$ and $d$ to obtain $a-d-c-b$ and then we swap $d$ and $b$ to obtain the fundamental permutation $a-b-c-d$.

On the contrary, the permutation $d-c-a-b$ is of odd class since three swaps are necessary to reconstruct the fundamental permutation. Let us reconstruct the fundamental permutation step-by-step. At first we swap $d$ and $b$ and obtain $b-c-$ $a-d$. Then, let us swap $b$ and $a$ to obtain $a-c-b-d$. Eventually, we swap $c$ and $b$ to obtain the fundamental permutation $a-b-c-d$.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Linear Dependence of Row and Column Vectors of a Matrix

Definition 2.24. Let A be a matrix. The $i^{t h}$ row is said linear combination of the other rows if each of its element $a_{i, j}$ can be expressed as weighted sum of the other elements of the $j^{t h}$ column by means of the same scalars $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{i-1}, \lambda_{i+1}, \ldots \lambda_{n}$ :
$$
\mathbf{a}{\mathbf{i}}=\lambda{1} \mathbf{a}{1}+\lambda{2} \mathbf{a}{2}+\cdots+\lambda{i-1} \mathbf{a}{\mathbf{i}-\mathbf{1}}+\lambda{i+1} \mathbf{a}{\mathbf{i}+\mathbf{1}}+\ldots+\lambda{n} \mathbf{a}{\mathbf{n}} $$ Equivalently, we may express the same concept by considering each row element: $$ \begin{aligned} &\forall j: \exists \lambda{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{i-1}, \lambda_{i+1}, \ldots \lambda_{n} \mid \
&a_{i, j}=\lambda_{1} a_{1, j}+\lambda_{2} a_{2, j}+\ldots \lambda_{i-1} a_{i-1, j}+\lambda_{i+1} a_{i+1, j}+\ldots \lambda_{n} a_{n, j} .
\end{aligned}
$$

Example 2.27. Let us consider the following matrix:
$$
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 1 \
3 & 2 & 1 \
6 & 5 & 3
\end{array}\right)
$$
The third row is a linear combination of the first two by means of scalars $\lambda_{1}, \lambda_{2}=$ 1,2 , the third row is equal to the weighted sum obtained by multiplying the first row by 1 and summing to it the second row multiplied by 2 :
$$
(6,5,3)=(0,1,1)+2(3,2,1)
$$
that is
$$
\mathbf{a}{3}=\mathbf{a}{1}+2 \mathbf{a}{2} . $$ Definition 2.25. Let A be a matrix. The $j^{t h}$ column is said linear combination of the other column if each of its element $a{i, j}$ can be expressed as weighted sum of the other elements of the $i^{t h}$ row by means of the same scalars $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{j-1}$, $\lambda_{j+1}, \ldots \lambda_{n}$ :
$$
\mathbf{a}^{\mathbf{j}}=\lambda_{1} \mathbf{a}^{\mathbf{1}}+\lambda_{2} \mathbf{a}^{2}+\cdots+\lambda_{j-1} \mathbf{a}^{\mathbf{j}-\mathbf{1}}+\lambda_{j+1} \mathbf{a}^{\mathbf{j}+\mathbf{1}}+\ldots+\lambda_{n} \mathbf{a}^{\mathbf{n}}
$$
Equivalently, we may express the same concept by considering each row element:
$$
\begin{aligned}
&\forall i: \exists \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{j-1}, \lambda_{j+1}, \ldots \lambda_{n} \mid \
&a_{i, j}=\lambda_{1} a_{i, 1}+\lambda_{2} a_{i, 2}+\ldots \lambda_{i-1} a_{i, j-1}+\lambda_{i+1} a_{i, j+1}+\ldots \lambda_{n} a_{i, n}
\end{aligned}
$$

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Laplace Theorems on Determinants

Theorem 2.2. I Laplace Theorem Let $\mathbf{A} \in \mathbb{R}{n, n}$. The determinant of $\mathbf{A}$ can be computed as the sum of each row (element) multiplied by the corresponding cofactor: $\operatorname{det} \mathbf{A}=\sum{j=1}^{n} a_{i, j} A_{i, j}$ for any arbitrary $i$ and
$\operatorname{det} \mathbf{A}=\sum_{i=1}^{n} a_{i, j} A_{i, j}$ for any arbitrary $j$.
The I Laplace Theorem can be expressed in the equivalent form: the determinant of a matrix is equal to scalar product of a row (column) vector by the corresponding vector of cofactors.
Example 2.46. Let us consider the following $\mathbf{A} \in \mathbb{R}{3,3}$ : $$ \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 3 \ 1 & 2 & -1 \ -1 & -2 & 1 \end{array}\right) $$ The determinant of this matrix is $\operatorname{det} \mathbf{A}=4-1-6+6+1-4=0$. Hence, the matrix is singular. Let us now calculate the determinant by applying the I Laplace Theorem. If we consider the first row, it follows that det $\mathbf{A}=a{1,1} A_{1,1}+a_{1,2}(-1) A_{1,2}+$ $a_{1,3} A_{1,3}$, $\operatorname{det} \mathbf{A}=2(0)+1(0)+3(0)=0$. We arrive to the same conclusion.
Example 2.47. Let us consider the following $\mathbf{A} \in \mathbb{R}{3,3}$ : $$ \mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 1 \ 0 & 1 & 1 \ 4 & 2 & 0 \end{array}\right) $$ The determinant of this matrix is $\operatorname{det} \mathbf{A}=8-4-2=2$. Hence, the matrix is nonsingular. Let us now calculate the determinant by applying the I Laplace Theorem. If we consider the second row, it follows that $\operatorname{det} \mathbf{A}=a{2,1}(-1) A_{2,1}+a_{2,2} A_{2,2}+$ $a_{2,3}(-1) A_{2,3}$, $\operatorname{det} \mathbf{A}=0(-1)(-2)+1(-4)+1(-1)(-6)=2$. The result is the same.

计算线性代数代考

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Determinant of a Matrix

定义 2.20。让我们考虑一下 $n$ 对象。我们将把这些对象的每个分组称为排列。例如，如果我们考虑三个对象 $a, b$ ，和 $c$ ，我们可以将它们分组为 $a-b-c$ 或者 $a-c-b$ ，或者 $c-b-a$ 或者 $b-a-c$ 或者 $c-a-b$ 或者 $b-c-a$. 在这种情况下，总共有六种可能的排列。更一般地，可以检查 $n$ 有物体 $n !(n$ 阶乘) 排列，其中 $n !=$ $(n)(n-1)(n-2) \ldots(2)(1)$ 和 $n \in \mathbb{N}$ 和 $(0) !=1 .$
我们可以修复一个参考序列（例如 $a-b-c)$ 并将其命名为基本排列。每当排列中的两个对象以相对于基本的相反顺序彼此跟随时，我们将其称为反转。让我们定义偶数类置换一个经过偶数反转的排列和奇数类置换一个经过奇数反转的排列，另见[1]。
换句话说，如果需要偶数交换来获得基本排列，则序列是偶数类排列。类似地，如果需要奇数次交换来获得基本排列，则序列是奇数类排列。
例 2.19。让我们考虑基本排列 $a-b-c-d$ 与对象相关联 $a, b, c, d$. 排列 $d-a-c-b$ 是偶数类，因为需要两次交换来重建基本排列。首先我们交换 $a$ 和 $d$ 获得 $a-d-c-b$ 然后我们交换 $d$ 和 $b$ 获得基本排列 $a-b-c-d$.
相反，排列 $d-c-a-b$ 是奇数类，因为需要三个交换来重建基本排列。让我们逐步重构基本排列。首先我们交换 $d$ 和 $b$ 并获得 $b-c-a-d$. 那么，让我们交换 $b$ 和 $a$ 获得 $a-c-b-d$. 最终，我们交换 $c$ 和 $b$ 获得基本排列 $a-b-c-d$

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Linear Dependence of Row and Column Vectors of a Matrix

定义 2.24。令 $\mathrm{A}$ 为矩阵。这 $i^{\text {th }}$ 行是其他行的线性组合，如果它的每个元素 $a_{i, j}$ 可以表示为其他元素的加权和 ${ }^{\text {th }}$ 列通过相同的标量 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{i-1}, \lambda_{i+1}, \ldots \lambda_{n}$ :
$$
\mathbf{a i}=\lambda 1 \mathbf{a} 1+\lambda 2 \mathbf{a} 2+\cdots+\lambda i-1 \mathbf{a} \mathbf{i}-\mathbf{1}+\lambda i+1 \mathbf{a} \mathbf{i}+\mathbf{1}+\ldots+\lambda n \mathbf{a n}
$$
等效地，我们可以通过考虑每个行元素来表达相同的概念:
$$
\forall j: \exists \lambda 1, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{i-1}, \lambda_{i+1}, \ldots \lambda_{n} \mid \quad a_{i, j}=\lambda_{1} a_{1, j}+\lambda_{2} a_{2, j}+\ldots \lambda_{i-1} a_{i-1, j}+\lambda_{i+1} a_{i+1, j}+\ldots \lambda_{n} a_{n, j}
$$
示例 2.27。让我们考虑以下矩阵:
$$
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{lllllll}
0 & 1 & 13 & 2 & 16 & 5 & 3
\end{array}\right)
$$
第三行是前两行通过标量的线性组合 $\lambda_{1}, \lambda_{2}=1,2$ ，第三行等于通过将第一行乘以 1 并将第二行乘以 2 得到的加权和：
$$
(6,5,3)=(0,1,1)+2(3,2,1)
$$
那是
$$
\mathbf{a} 3=\mathbf{a} 1+2 \mathbf{a} 2 .
$$
定义 2.25。令 $\mathrm{A}$ 为矩阵。这 $j^{\text {th }}$ column 是另一列的线性组合，如果它的每个元素 $a i, j$ 可以表示为其他元素的加权和 $i^{\text {th }}$ 通过相同的标量行 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{j-1}, \lambda_{j+1}, \ldots \lambda_{n}$ :
$$
\mathbf{a}^{\mathbf{j}}=\lambda_{1} \mathbf{a}^{\mathbf{1}}+\lambda_{2} \mathbf{a}^{2}+\cdots+\lambda_{j-1} \mathbf{a}^{\mathbf{j}-\mathbf{1}}+\lambda_{j+1} \mathbf{a}^{\mathbf{j}+\mathbf{1}}+\ldots+\lambda_{n} \mathbf{a}^{\mathbf{n}}
$$
等效地，我们可以通过考虑每个行元素来表达相同的概念:
$$
\forall i: \exists \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{j-1}, \lambda_{j+1}, \ldots \lambda_{n} \mid \quad a_{i, j}=\lambda_{1} a_{i, 1}+\lambda_{2} a_{i, 2}+\ldots \lambda_{i-1} a_{i, j-1}+\lambda_{i+1} a_{i, j+1}+\ldots \lambda_{n} a_{i, n}
$$

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Laplace Theorems on Determinants

定理 2.2。我拉普拉斯定理让 $\mathbf{A} \in \mathbb{R} n, n$. 的决定因素 $\mathbf{A}$ 可以计算为每行（元素）的总和乘以相应的辅因子:
$\operatorname{det} \mathbf{A}=\sum j=1^{n} a_{i, j} A_{i, j}$ 对于任何任意 $i$ 和
$\operatorname{det} \mathbf{A}=\sum_{i=1}^{n} a_{i, j} A_{i, j}$ 对于任何任意 $j$.
। 拉普拉斯定理可以表示为等价形式: 矩阵的行列式等于行 (列) 向量与相应的辅因子向量的标量积。例 2.46。让我们考虑以下内容 $\mathbf{A} \in \mathbb{R} 3,3$ :
这个矩阵的行列式是 $\operatorname{det} \mathbf{A}=4-1-6+6+1-4=0$. 因此，矩阵是奇异的。现在让我们通过应用।拉普拉斯定理来计算行列式。如果我们考虑第一行，它遵循 $\operatorname{det} \mathbf{A}=a 1,1 A_{1,1}+a_{1,2}(-1) A_{1,2}+a_{1,3} A_{1,3}$ ， $\operatorname{det} \mathbf{A}=2(0)+1(0)+3(0)=0$. 我们得出同样的结论。
例 2.47。让我们考虑以下内容 $\mathbf{A} \in \mathbb{R} 3,3$ :
$$
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{llllllll}
1 & 2 & 10 & 1 & 14 & 2 & 0
\end{array}\right)
$$
这个矩阵的行列式是 $\operatorname{det} \mathbf{A}=8-4-2=2$. 因此，矩阵是非奇异的。现在让我们通过应用। 拉普拉斯定理来计算行列式。如果我们考虑第二行，它遵循det $\mathbf{A}=a 2,1(-1) A_{2,1}+a_{2,2} A_{2,2}+a_{2,3}(-1) A_{2,3}$ ， $\operatorname{det} \mathbf{A}=0(-1)(-2)+1(-4)+1(-1)(-6)=2$. 结果是一样的。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|MAST10007

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数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|MAST10007

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|A Preliminary Introduction to Algebraic Structures

If a set is a primitive concept, on the basis of a set, algebraic structures are sets that allow some operations on their elements and satisfy some properties. Although an in depth analysis of algebraic structures is out of the scopes of this chapter, this section gives basic definitions and concepts. More advanced concepts related to algebraic structures will be given in Chap. $7 .$

Definition 1.32. An operation is a function $f: A \rightarrow B$ where $A \subset X_{1} \times X_{2} \times \ldots \times X_{k}$, $k \in \mathbb{N}$. The $k$ value is said arity of the operation.

Definition 1.33. Let us consider a set $A$ and an operation $f: A \rightarrow B$. If $A$ is $X \times X \times$ $\ldots \times X$ and $B$ is $X$, i.e. the result of the operation is still a member of the set, the set is said to be closed with respect to the operation $f$.

Definition 1.34. Ring. A ring $R$ is a set equipped with two operations called sum and product. The sum is indicated with $\mathrm{a}+$ sign while the product operator is simply omitted (the product of $x_{1}$ by $x_{2}$ is indicated as $x_{1} x_{2}$ ). Both these operations process two elements of $R$ and return an element of $R(R$ is closed with respect to these two operations). In addition, the following properties must be valid.

commutativity (sum): $x_{1}+x_{2}=x_{2}+x_{1}$
associativity (sum): $\left(x_{1}+x_{2}\right)+x_{3}=x_{1}+\left(x_{2}+x_{3}\right)$
neutral element (sum): $\exists$ an element $0 \in R$ such that $\forall x \in R: x+0=x$
inverse element (sum): $\forall x \in R: \exists(-x) \mid x+(-x)=0$
associativity (product): $\left(x_{1} x_{2}\right) x_{3}=x_{1}\left(x_{2} x_{3}\right)$
distributivity $1: x_{1}\left(x_{2}+x_{3}\right)=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}$
distributivity $2:\left(x_{2}+x_{3}\right) x_{1}=x_{2} x_{1}+x_{3} x_{1}$
neutral element (product): $\exists$ an element $1 \in R$ such that $\forall x \in R x 1=1 x=x$
The inverse element with respect to the sum is also named opposite element.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Numeric Vectors

Although this chapter intentionally refers to the set of real numbers $\mathbb{R}$ and its sum and multiplication operations, all the concepts contained in this chapter can be easily extended to the set of complex numbers $\mathbb{C}$ and the complex field. This fact is further remarked in Chap. 5 after complex numbers and their operations are introduced.
Definition 2.1. Numeric Vector. Let $n \in \mathbb{N}$ and $n>0$. The set generated by the Cartesian product of $\mathbb{R}$ by itself $n$ times $(\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \ldots)$ is indicated with $\mathbb{R}^{n}$ and is a set of ordered $n$-tuples of real numbers. The generic element $\mathbf{a}=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)$ of this set is named numeric vector or simply vector of order $n$ on the real field and the generic $a_{i} \forall i$ from 1 to $n$ is said the $i^{t h}$ component of the vector a.
Example 2.1. The $n$-tuple
$$
\mathbf{a}=(1,0,56.3, \sqrt{2})
$$
is a vector of $\mathbb{R}^{4}$.
Definition 2.2. Scalar. A numeric vector $\lambda \in \mathbb{R}^{1}$ is said scalar.
Definition 2.3. Let $\mathbf{a}=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)$ and $\mathbf{b}=\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right)$ be two numeric vectors $\in \mathbb{R}^{n}$. The sum of these two vectors is the vector $\mathbf{c}=\left(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}, \ldots, a_{n}\right.$ $\left.+b_{n}\right)$ generated by the sum of the corresponding components.
Example 2.2. Let us consider the following vectors of $\mathbb{R}^{3}$
$$
\begin{aligned}
&\mathbf{a}=(1,0,3) \
&\mathbf{b}=(2,1,-2)
\end{aligned}
$$

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Basic Definitions About Matrices

Definition 2.6. Matrix. Let $m, n \in \mathbb{N}$ and both $m, n>0$. A matrix $(m \times n) \mathbf{A}$ is a generic table of the kind:
$$
\boldsymbol{\Lambda}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1, n} \
a_{2,1} & a_{2,2} & \ldots & a_{2, n} \
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \
a_{m, 1} & a_{m, 2} & \ldots & a_{m, n}
\end{array}\right)
$$
where each matrix element $a_{i, j} \in \mathbb{R}$. If $m=n$ the matrix is said square while it is said rectangular otherwise.

The numeric vector $\mathbf{a}{\mathbf{i}}=\left(a{i, 1}, a_{i, 2}, \ldots, a_{i, n}\right)$ is said generic $i^{t h}$ row vector while $\mathbf{a}^{\mathbf{j}}=\left(a_{1, j}, a_{2, j}, \ldots, a_{m, j}\right)$ is said generic $j^{\text {th }}$ column vector.

The set containing all the matrices of real numbers having $m$ rows and $n$ columns is indicated with $\mathbb{R}{m, n}$. Definition 2.7. A matrix is said null $\mathbf{O}$ if all its elements are zeros. Example 2.5. The null matrix of $\mathbb{R}{2,3}$ is
$$
\mathbf{O}=\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$
Definition 2.8. Let $\mathbf{A} \in \mathbb{R}{m, n}$. The transpose matrix of $\mathbf{A}$ is a matrix $\mathbf{A}^{\mathbf{T}}$ whose elements are the same of $\mathbf{A}$ but $\forall i, j: a{j, i}=a_{i, j}^{T}$.
Example 2.6.
$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}2 & 7 & 3.4 & \sqrt{2} \ 5 & 0 & 4 & 1\end{array}\right)$
$\mathbf{A}^{\mathbf{T}}=\left(\begin{array}{cc}2 & 5 \ 7 & 0 \ 3.4 & 4 \ \sqrt{2} & 1\end{array}\right)$
It can be easily proved that the transpose of the transpose of a matrix is the matrix itself: $\left(\mathbf{A}^{\mathbf{T}}\right)^{\mathbf{T}}$.
Definition 2.9. A matrix $\mathbf{A} \in \mathbb{R}_{n, n}$ is said n order square matrix.

计算线性代数代考

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|A Preliminary Introduction to Algebraic Structures

如果集合是一个原始概念，那么在集合的基础上，代数结构就是允许对其元素进行某些操作并满足某些性质的集合。尽管对代数结构的深入分析超出了本章的范围，但本节给出了基本的定义和概念。与代数结构相关的更高级概念将在第 1 章中给出。 7 .
定义 1.32。操作是一种功能 $f: A \rightarrow B$ 在哪里 $A \subset X_{1} \times X_{2} \times \ldots \times X_{k}, k \in \mathbb{N}$. 这 $k$ value 表示操作的数量。
定义 1.33。让我们考虑一个集合 $A$ 和一个手术 $f: A \rightarrow B$. 如果 $A$ 是 $X \times X \times \ldots \times X$ 和 $B$ 是 $X$ ，即运算的结果仍然是集合的成员，该集合相对于运算来说是闭合的 $f$.
定义 1.34。戒指。戒指 $R$ 是一个集合，包含两个运算，称为 sum 和 product. 总和用 $\mathrm{a}+$ 符号，而乘积运算符被简单地省略（的乘积 $x_{1}$ 经过 $x_{2}$ 表示为 $\left.x_{1} x_{2}\right)$ 。这两个操作都处理两个元素 $R$ 并返回一个元素 $R(R$ 对于这两个操作是关闭的）。此外，以下属性必须有效。

交换性 (总和) : $x_{1}+x_{2}=x_{2}+x_{1}$
关联性 (总和) : $\left(x_{1}+x_{2}\right)+x_{3}=x_{1}+\left(x_{2}+x_{3}\right)$
中性元素 (总和) : $\exists$ 个个元素 $0 \in R$ 这样 $\forall x \in R: x+0=x$
逆元素 (总和) : $\forall x \in R: \exists(-x) \mid x+(-x)=0$
关联性 (产品) : $\left(x_{1} x_{2}\right) x_{3}=x_{1}\left(x_{2} x_{3}\right)$
分配性 $1: x_{1}\left(x_{2}+x_{3}\right)=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}$
分配性 $2:\left(x_{2}+x_{3}\right) x_{1}=x_{2} x_{1}+x_{3} x_{1}$
中性元素 (产品) : $\exists 一$ 个元素 $1 \in R$ 这样 $\forall x \in R x 1=1 x=x$ 关于和的逆元也称为逆元。

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Numeric Vectors

尽管本章有意提及实数集 $\mathbb{R}$ 以及它的加法和乘法运算，本章包含的所有概念都可以很容易地扩展到复数的集合 CC和复杂的领域。这一事实在第 1 章中进一步说明。 5 在介绍复数及其运算之后。
定义 2.1。数字向量。让 $n \in \mathbb{N}$ 和 $n>0$. 的笛卡尔积生成的集合 $\mathbb{R}$ 通过它自己 $n$ 次 $(\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \ldots)$ 表示为 $\mathbb{R}^{n}$ 并且是一组有序的 $n$-实数元组。通用元素 $\mathbf{a}=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)$ 这个集合中的一个被命名为数字向量或简单的顺序向量 $n$ 在真实领域和通用领域 $a_{i} \forall i$ 从 1 到 $n$ 据说 $i^{t h}$ 向量 a 的分量。
例 2.1。这 $n$-元组
$$
\mathbf{a}=(1,0,56.3, \sqrt{2})
$$
是一个向量 $\mathbb{R}^{4}$.
定义 2.2。标量。数值向量 $\lambda \in \mathbb{R}^{1}$ 被称为标量。
定义 2.3。让 $\mathbf{a}=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)$ 和 $\mathbf{b}=\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right)$ 是两个数值向量 $\in \mathbb{R}^{n}$. 这两个向量的和就是向量 $\mathbf{c}=\left(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}, \ldots, a_{n}+b_{n}\right)$ 由相应分量的总和生成。
例 2.2。让我们考虑以下向量 $\mathbb{R}^{3}$
$$
\mathbf{a}=(1,0,3) \quad \mathbf{b}=(2,1,-2)
$$

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Basic Definitions About Matrices

定义 2.6。矩阵。让 $m, n \in \mathbb{N}$ 和两者 $m, n>0$. 矩阵 $(m \times n) \mathbf{A}$ 是一种通用表:
其中每个矩阵元素 $a_{i, j} \in \mathbb{R}$. 如果 $m=n$ 矩阵称为正方形，否则称为矩形。
数值向量 $\mathbf{a} \mathbf{i}=\left(a i, 1, a_{i, 2}, \ldots, a_{i, n}\right)$ 据说通用 $i^{\text {th }}$ 行向量同时 $\mathbf{a}^{\mathbf{j}}=\left(a_{1, j}, a_{2, j}, \ldots, a_{m, j}\right)$ 据说通用 $j^{\text {th }}$ 列向量。
包含所有实数矩阵的集合 $m$ 行和 $n$ 列用 $\mathbb{R} m, n$. 定义 2.7。一个矩阵被称为空 $\mathbf{O}$ 如果它的所有元素都是零。例 2.5。的零矩阵 $\mathbb{R} 2,3$ 是
$$
\mathbf{O}=\left(\begin{array}{llllll}
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$
定义 2.8。让 $\mathbf{A} \in \mathbb{R} m, n$. 的转置矩阵 $\mathbf{A}$ 是一个矩阵 $\mathbf{A}^{\mathbf{T}}$ 其元素是相同的 $\mathbf{A}$ 但 $\forall i, j: a j, i=a_{i, j}^{T}$.
例 2.6。
$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{lllllll}2 & 7 & 3.4 & \sqrt{2} 5 & 0 & 4 & 1\end{array}\right)$
$\mathbf{A}^{\mathbf{T}}=\left(\begin{array}{lllll}2 & 5 & 7 & 0 & 3.4\end{array}\right.$
可以很容易地证明，一个矩阵的转置的转置就是矩阵本身: $\left(\mathbf{A}^{\mathbf{T}}\right)^{\mathbf{T}}$.
定义 2.9。矩阵 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}_{n, n}$ 称 $n$ 阶方阵。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|МАTH 1014

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数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|МАTH 1014

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Axiomatic System

A concept is said to be primitive when it cannot be rigorously defined since its meaning is intrinsically clear. An axiom or postulate is a premise or a starting point for reasoning. Thus, an axiom is a statement which appears unequivocally true and that does not require any proof to be verified but cannot be, in any way, falsified.
Primitive concepts and axioms compose the axiomatic system. The axiomatic system is the ground onto the entire mathematics is built. On the basis of this ground, a definition is a statement that introduces a new concept/object by using previously known concepts (and thus primitive concepts are necessary for defining new ones). When the knowledge can be extended on the basis of previously established statements, this knowledge extension is named theorem. The previously known statements are the hypotheses while the extension is the thesis. A theorem can be expressed in the form: “if the hypotheses are verified then the thesis occurs”. In some cases, the theorem is symmetric, i.e. besides being true that “if the hypotheses are verified then the thesis occurs” it is also true that “if the thesis is verified then the hypotheses occur”. More exactly, if $A$ and $B$ are two statements, a theorem of this kind can be expressed as “if $A$ is verified than $B$ occurs and if $B$ is verified then A occurs”. In other words the two statements are equivalent since the truth of one of them automatically causes the truth of the other. In this book, theorems of this kind will be expressed in the form ” $A$ is verified if and only if $B$ is verified”.

The set of logical steps to deduce the thesis on the basis of the hypotheses is here referred as mathematical proof or simply proof. A large number of proof strategies exist. In this book, we will use only the direct proof, i.e. from the hypotheses we will logically arrive to the thesis or by contradiction (or reductio ad absurdum), i.e. the negated thesis will be new hypothesis that will lead to a paradox. A successful proof is indicated with the symbol $\quad \square$. It must be remarked that a theorem that states the equivalence of two facts requires two proofs. More specifically, a theorem of the kind ‘ $A$ is verified if and only if $B$ is verified” is essentially two theorems in one. Hence, the statements “if $A$ is verified than $B$ occurs” and “if $B$ is verified then $A$ occurs” require two separate proofs.

A theorem that enhances the knowledge by achieving a minor result that is then usable to prove a major result is called lemma while a minor result that uses a major theorem to be proved is called corollary. A proved result that is not as important as a theorem is called proposition.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Order and Equivalence

Definition 1.15. Order Relation. Let us consider a set $A$ and a relation $\mathscr{R}$ on $A$. This relation is said order relation and is indicated with $\preceq$ if the following properties are verified.

reflexivity: $\forall x \in A: x \preceq x$
transitivity: $\forall x, y, z \in A:$ if $x \preceq y$ and $y \preceq z$ then $x \preceq z$
antisymmetry: $\forall x, y \in A:$ if $x \preceq y$ then $y \not x$
The set $A$, on which the order relation $\preceq$ is valid, is said totally ordered set.
Example 1.4. If we consider a group of people we can always sort them according theirs age. Hence the relation “to not be older than” (i.e. to be younger or to have the same age) with a set of people is a totally ordered set since every group of people can be fully sorted on the basis of their age.

From the definition above, the order relation can be interpreted as a predicate to be defined over the elements of a set. Although this is not wrong, we must recall that, rigorously, a relation is a set and an order relation is a set with some properties. In order to emphasise this fact, let us give again the definition of order relation by using a different notation.

Definition 1.16. Order Relation (Set Notation). Let us consider a set $A$ and the Cartesian product $A \times A=A^{2}$. Let $\mathscr{R}$ be a relation on $A$, that is $\mathscr{R} \subseteq A^{2}$. This relation is said order relation if the following properties are verified for the set $\mathscr{R}$.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Functions

Definition 1.23. Function. A relation is said to be a mapping or function when it relates to any element of a set a unique element of another. Let $A$ and $B$ be two sets, a mapping $f: A \rightarrow B$ is a relation $\mathscr{R} \subseteq A \times B$ such that $\forall x \in A, \forall y_{1}$ and $y_{2} \in B$ it follows that

$\left(x, y_{1}\right) \in f$ and $\left(x, y_{2}\right) \in f \Rightarrow y_{1}=y_{2}$
$\forall x \in A: \exists y \in B \mid(x, y) \in f$
where the symbol : $A \rightarrow B$ indicates that the mapping puts into relationship the set $A$ and the set $B$ and should be read “from $A$ to $B$ “, while $\Rightarrow$ indicates the material implications and should be read “it follows that”. In addition, the concept $(x, y) \in f$ can be also expressed as $y=f(x)$.
An alternative definition of function is the following.
Definition 1.24. Let $A$ and $B$ be two sets, a mapping $f: A \rightarrow B$ is a relation $\mathscr{R} \subseteq$ $A \times B \mid$ that satisfies the following property: $\forall x \in A$ it follows that $\exists ! y \in B$ such that $(x, y) \in \mathscr{R}$ (or, equivalently $y=f(x)$ ).

Example 1.12. The latter two definitions tell us that for example $(2,3)$ and $(2,6)$ cannot be both element of a function. We can express the same concept by stating that if $f(2)=3$ then it cannot happen that $f(2)=6$. In other words, if we fix $x=2$ then we can have only one $y$ value such that $y=f(x)$.

Thus, although functions are often interpreted as “laws” that connect two sets, mathematically, a function is any set (subset of a Cartesian product) for which the property in Definition $1.24$ is valid.

计算线性代数代考

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Axiomatic System

当一个概念不能被严格定义时，它就被称为原始概念，因为它的含义本质上是明确的。公理或公设是推理的前提或起点。因此，公理是一个看似明确正确的陈述，不需要任何证明来验证，但无论如何不能被证伪。
原始概念和公理构成公理系统。公理系统是建立在整个数学基础上的。在此基础上，定义是通过使用先前已知的概念引入新概念/对象的陈述（因此原始概念对于定义新概念是必要的）。当知识可以在先前建立的陈述的基础上扩展时，这种知识扩展称为定理。先前已知的陈述是假设，而扩展是论文。一个定理可以表达为：“如果假设得到验证，那么论文就会出现”。在某些情况下，该定理是对称的，即除了“如果假设得到验证，那么论文就会发生”是正确的，“如果论文得到验证，那么假设就会发生”也是正确的。更准确地说，如果一个和乙是两个陈述，这样的定理可以表示为“如果一个验证比乙发生并且如果乙被验证然后A发生”。换句话说，这两个陈述是等价的，因为其中一个的真实性会自动导致另一个的真实性。在本书中，这类定理将以“一个当且仅当被验证乙已验证”。

在假设的基础上推导出论文的一组逻辑步骤在这里被称为数学证明或简称证明。存在大量的证明策略。在本书中，我们将仅使用直接证明，即从逻辑上我们将通过矛盾（或归约法）得出命题的假设，即被否定的命题将是会导致悖论的新假设。成功的证明用符号表示. 必须指出，陈述两个事实等价的定理需要两个证明。更具体地说，一种定理 ‘一个当且仅当被验证乙被验证”本质上是两个定理合二为一。因此，陈述“如果一个验证比乙发生”和“如果乙然后验证一个发生”需要两个单独的证明。

通过实现次要结果来增强知识的定理，然后可用于证明主要结果，称为引理，而使用要证明的主要定理的次要结果称为推论。一个没有定理重要的证明结果称为命题。

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Order and Equivalence

定义 1.15。订单关系。让我们考虑一个集合 $A$ 和一个关系肩上 $A$. 这种关系称为顺序关系并用く如果验证了以下属性。
-反身性: $\forall x \in A: x \preceq x$

传递性: $\forall x, y, z \in A$ :如果 $x \preceq y$ 和 $y \preceq z$ 然后 $x \preceq z$
反对称: $\forall x, y \in A$ :如果 $x \preceq y$ 然后 $y \not x$
套装 $A$ ，其上的顺序关系了是有效的，就是说全序集。
例 1.4。如果我们考虑一组人，我们总是可以根据他们的年龄对他们进行排序。因此，与一组人的“不比”（即年轻或具有相同年龄) 的关系是一个完全有序的集合，因为每组人都可以根据他们的年龄进行完全排序。
根据上面的定义，顺序关系可以解释为要在集合的元素上定义的谓词。虽然这没有错，但我们必须记住，严格地说，关系是一个集合，而顺序关系是一个具有某些属性的集合。为了强调这一事实，让我们使用不同的符号再次给出顺序关系的定义。
定义 1.16。顺序关系 (集合符号)。让我们考虑一个集合 $A$ 和笛卡尔积 $A \times A=A^{2}$. 让 $\mathscr{R}$ 成为关系 $A$ ，那是 $\mathscr{R} \subseteq A^{2}$. 如果为集合验证了以下属性，则该关系称为顺序关系 $\mathscr{R}$.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Functions

定义 1.23。功能。当关系与集合中的任何元素或另一个元素的唯一元素相关时，它就被称为映射或函数。让 $A$ 和 $B$ 是两个集合，一个映射 $f: A \rightarrow B$ 是关系 $\mathscr{R} \subseteq A \times B$ 这样 $\forall x \in A, \forall y_{1}$ 和 $y_{2} \in B$ 它遵循

$\left(x, y_{1}\right) \in f$ 和 $\left(x, y_{2}\right) \in f \Rightarrow y_{1}=y_{2}$
$\forall x \in A: \exists y \in B \mid(x, y) \in f$ 读“它遵循”。此外，概念 $(x, y) \in f$ 也可以表示为 $y=f(x)$.
函数的另一种定义如下。
定义 1.24。让 $A$ 和 $B$ 是两个集合，一个映射 $f: A \rightarrow B$ 是关系 $\mathscr{R} \subseteq A \times B \mid$ 满足以下性质: $\forall x \in A$ 它遵循 $\exists ! y \in B$ 这样 $(x, y) \in \mathscr{R}$ (或者，等效地 $y=f(x)$ ).
示例 1.12。后两个定义告诉我们，例如 $(2,3)$ 和 $(2,6)$ 不能同时是函数的元素。我们可以表达同样的概念，如果 $f(2)=3$ 那么它不可能发生 $f(2)=6$. 换句话说，如果我们修复 $x=2$ 那么我们只能有一个 $y$ 值使得 $y=f(x)$.
因此，尽管函数通常被解释为连接两个集合的“定律”，但在数学上，函数是定义中的属性的任何集合（笛卡尔积的子集） $1.24$ 已验证。

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|MATH4076

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数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Real and Complex Inner Products

Definition 5.1 (Inner Product) An inner product in a complex vector space $\mathcal{V}$ is a function $\mathcal{V} \times \mathcal{V} \rightarrow \mathrm{C}$ satisfying for all $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, z \in \mathcal{V}$ and all $a, b \in \mathrm{C}$ the following conditions:

$\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle \geq 0$ with equality if and only if $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$.
(positivity)
$\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle=\overline{\langle\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}\rangle}$
(skew symmetry)
$(a \boldsymbol{x}+b \boldsymbol{y}, z\rangle=a\langle\boldsymbol{x}, z\rangle+b\langle\boldsymbol{y}, z\rangle$.
(linearity)
The pair $(\mathcal{V},\langle\cdot, \cdot))$ is called an inner product space.
Note the complex conjugate in 2 . Since
$$
\langle\boldsymbol{x}, a \boldsymbol{y}+b z\rangle=\overline{\langle a \boldsymbol{y}+b z, \boldsymbol{x}\rangle}=\overline{a\langle\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}\rangle+b\langle z, \boldsymbol{x}\rangle}=\bar{a} \overline{\langle\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}\rangle}+\overline{b\langle z, \boldsymbol{x}\rangle}
$$
we find
$$
\langle\boldsymbol{x}, a \boldsymbol{y}+b z\rangle=\bar{a}\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle+\bar{b}\langle\boldsymbol{x}, z\rangle, \quad\langle a \boldsymbol{x}, a \boldsymbol{y}\rangle=|a|^{2}\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle
$$
An inner product in a real vector space $\mathcal{V}$ is real valued function satisfying Properties $1,2,3$ in Definition $5.1$, where we can replace skew symmetry by symmetry
$$
\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle=\langle\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}\rangle \quad(\text { symmetry }) .
$$
In the real case we have linearity in both variables since we can remove the complex conjugates in (5.1).
Recall that (cf. (1.10)) the standard inner product in $\mathbb{C}^{n}$ is given by
$$
\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle:=\boldsymbol{y}^{} x=\boldsymbol{x}^{T} \bar{y}=\sum_{j=1}^{n} x_{j} \overline{y_{j}} $$ Note the complex conjugate on $\boldsymbol{y}$. It is clearly an inner product in $\mathbb{C}^{n}$. The function $$ |\cdot|: \mathcal{V} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \longmapsto|x|:=\sqrt{\langle x, x\rangle} $$ is called the inner product norm. The inner product norm for the standard inner product is the Euclidian norm $$ |x|=|x|_{2}=\sqrt{x^{} x}
$$

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Orthogonality

Definition $5.2$ (Orthogonality) Two vectors $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ in a real or complex inner product space are orthogonal or perpendicular, denoted as $\boldsymbol{x} \perp \boldsymbol{y}$, if $\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle=0$. The vectors are orthonormal if in addition $|x|=|y|=1$.

From the definitions (5.6), (5.20) of angle $\theta$ between two nonzero vectors in $\mathbb{R}^{n}$ or $\mathbb{C}^{n}$ it follows that $\boldsymbol{x} \perp \boldsymbol{y}$ if and only if $\theta=\pi / 2$.
Theorem $5.3$ (Pythagoras) For a real or complex inner product space
$$
|x+y|^{2}=|x|^{2}+|y|^{2}, \quad \text { if } \quad x \perp y .
$$
Proof We set $a=1$ in (5.5) and use the orthogonality.
Definition $5.3$ (Orthogonal- and Orthonormal Bases) A set of nonzero vectors $\left{v_{1}, \ldots, v_{k}\right}$ in a subspace $\mathcal{S}$ of a real or complex inner product space is an orthogonal basis for $\mathcal{S}$ if it is a basis for $\mathcal{S}$ and $\left\langle v_{i}, v_{j}\right\rangle=0$ for $i \neq j$. It is an orthonormal basis for $\mathcal{S}$ if it is a basis for $\mathcal{S}$ and $\left\langle\boldsymbol{v}{i}, \boldsymbol{v}{j}\right\rangle=\delta_{i j}$ for all $i, j$.

A basis for a subspace of an inner product space can be turned into an orthogonalor orthonormal basis for the subspace by the following construction (Fig. 5.1).

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Sum of Subspaces and Orthogonal Projections

Suppose $\mathcal{S}$ and $\mathcal{T}$ are subspaces of a real or complex vector space $\mathcal{V}$ endowed with an inner product $\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle$. We define

Sum: $\mathcal{S}+\mathcal{T}:={s+t: s \in \mathcal{S}$ and $t \in \mathcal{T}}$,
direct sum $\mathcal{S} \oplus \mathcal{T}:$ a sum where $\mathcal{S} \cap \mathcal{T}={0}$,
orthogonal sum $\mathcal{S} \oplus \mathcal{T}$ : a sum where $\langle s, t\rangle=0$ for all $s \in \mathcal{S}$ and $t \in \mathcal{T}$.
We note that
$\mathcal{S}+\mathcal{T}$ is a vector space, a subspace of $\mathcal{V}$ which in this book will be $\mathbb{R}^{n}$ or $\mathcal{C}^{n}$ (cf. Example 1.2).
Every $v \in \mathcal{S} \oplus \mathcal{T}$ can be decomposed uniquely in the form $v=s+t$, where $s \in \mathcal{S}$ and $t \in \mathcal{T}$. For if $v=s_{1}+t_{1}=s_{2}+t_{2}$ for $s_{1}, s_{2} \in \mathcal{S}$ and $t_{1}, t_{2} \in \mathcal{T}$, then $0=s_{1}-s_{2}+t_{1}-t_{2}$ or $s_{1}-s_{2}=t_{2}-t_{1}$. It follows that $s_{1}-s_{2}$ and $t_{2}-t_{1}$ belong to both $\mathcal{S}$ and $\mathcal{T}$ and hence to $\mathcal{S} \cap \mathcal{T}$. But then $s_{1}-s_{2}=t_{2}-t_{1}=0$ so $s_{1}=s_{2}$ and $t_{2}=t_{1}$.
By $(1.8)$ in the introduction chapter we have
$$
\operatorname{dim}(\mathcal{S} \oplus \mathcal{T})=\operatorname{dim}(\mathcal{S})+\operatorname{dim}(\mathcal{T})
$$
The subspaces $\mathcal{S}$ and $\mathcal{T}$ in a direct sum are called complementary subspaces.
An orthogonal sum is a direct sum. For if $v \in \mathcal{S} \cap \mathcal{T}$ then $v$ is orthogonal to itself, $\langle v, v\rangle=0$, which implies that $v=0$. We often write $\mathcal{T}:=\mathcal{S}^{\perp}$.
Suppose $v=s_{0}+t_{0} \in \mathcal{S} \oplus \mathcal{T}$, where $s_{0} \in \mathcal{S}$ and $t_{0} \in \mathcal{T}$. The vector $s_{0}$ is called the oblique projection of $v$ into $\mathcal{S}$ along $\mathcal{T}$. Similarly, The vector $t_{0}$ is called the oblique projection of $v$ into $\mathcal{T}$ along $\mathcal{S}$. If $\mathcal{S} \oplus \mathcal{T}$ is an orthogonal sum then $s_{0}$ is called the orthogonal projection of $v$ into $\mathcal{S}$. Similarly, $t_{0}$ is called the orthogonal projection of $v$ in $\mathcal{T}=\mathcal{S}^{\perp}$. The orthogonal projections are illustrated in Fig. 5.2.

计算线性代数代考

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Real and Complex Inner Products

定义 5.1（内积）复向量空间中的内积在是一个函数在×在→C让所有人满意X,是,和∈在和所有一个,b∈C以下条件：

⟨X,X⟩≥0当且仅当X=0.
（积极性）
⟨X,是⟩=⟨是,X⟩¯
（斜对称）
(一个X+b是,和⟩=一个⟨X,和⟩+b⟨是,和⟩.
（线性）
对(在,⟨⋅,⋅))称为内积空间。
注意 2 中的复共轭。自从
⟨X,一个是+b和⟩=⟨一个是+b和,X⟩¯=一个⟨是,X⟩+b⟨和,X⟩¯=一个¯⟨是,X⟩¯+b⟨和,X⟩¯
我们发现
⟨X,一个是+b和⟩=一个¯⟨X,是⟩+b¯⟨X,和⟩,⟨一个X,一个是⟩=|一个|2⟨X,是⟩
实向量空间中的内积在是满足属性的实值函数1,2,3在定义5.1, 我们可以用对称性代替斜对称
⟨X,是⟩=⟨是,X⟩( 对称 ).
在实际情况下，我们在两个变量中都有线性，因为我们可以去除（5.1）中的复共轭。
回想一下（参见（1.10））中的标准内积Cn是（谁）给的
⟨X,是⟩:=是X=X吨是¯=∑j=1nXj是j¯注意复共轭是. 它显然是一个内积Cn. 功能|⋅|:在→R,X⟼|X|:=⟨X,X⟩称为内积范数。标准内积的内积范数是欧几里得范数|X|=|X|2=XX

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Orthogonality

定义5.2（正交性）两个向量X,是在实数或复数内积空间中是正交或垂直的，表示为X⊥是，如果⟨X,是⟩=0. 如果另外，这些向量是正交的|X|=|是|=1.

根据角度的定义（5.6）、（5.20）θ在两个非零向量之间Rn或者Cn它遵循X⊥是当且仅当θ=圆周率/2.
定理5.3（毕达哥拉斯）对于实数或复数内积空间

|X+是|2=|X|2+|是|2, 如果 X⊥是.
证明我们设置一个=1在（5.5）中并使用正交性。
定义5.3（正交基和正交基）一组非零向量\left{v_{1}, \ldots, v_{k}\right}\left{v_{1}, \ldots, v_{k}\right}在子空间中小号实数或复数内积空间的正交基小号如果它是一个基础小号和⟨在一世,在j⟩=0为了一世≠j. 它是一个正交基小号如果它是一个基础小号和⟨在一世,在j⟩=d一世j对所有人一世,j.

内积空间的子空间的基可以通过以下构造转换为子空间的正交或正交基（图 5.1）。

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Sum of Subspaces and Orthogonal Projections

认为小号和吨是实数或复数向量空间的子空间在赋有内积⟨X,是⟩. 我们定义

和：小号+吨:=s+吨:s∈小号$一个nd$吨∈吨,
直接和小号⊕吨:总和小号∩吨=0,
正交和小号⊕吨: 总和⟨s,吨⟩=0对所有人s∈小号和吨∈吨.
我们注意到
小号+吨是一个向量空间，一个子空间在在本书中将是Rn或者Cn（参见示例 1.2）。
每一个在∈小号⊕吨可以唯一地分解为形式在=s+吨，在哪里s∈小号和吨∈吨. 如果在=s1+吨1=s2+吨2为了s1,s2∈小号和吨1,吨2∈吨，然后0=s1−s2+吨1−吨2或者s1−s2=吨2−吨1. 它遵循s1−s2和吨2−吨1属于两者小号和吨并因此小号∩吨. 但是之后s1−s2=吨2−吨1=0所以s1=s2和吨2=吨1.
经过(1.8)在介绍章节中，我们有
暗淡⁡(小号⊕吨)=暗淡⁡(小号)+暗淡⁡(吨)
子空间小号和吨在直接和中称为互补子空间。
正交和是直接和。如果在∈小号∩吨然后在与自身正交，⟨在,在⟩=0，这意味着在=0. 我们经常写吨:=小号⊥.
认为在=s0+吨0∈小号⊕吨，在哪里s0∈小号和吨0∈吨. 向量s0称为斜投影在进入小号沿着吨. 同样，向量吨0称为斜投影在进入吨沿着小号. 如果小号⊕吨那么是正交和s0称为正交投影在进入小号. 相似地，吨0称为正交投影在在吨=小号⊥. 正交投影如图 5.2 所示。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|LDL* Factorization and Positive Definite

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数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|LDL* Factorization and Positive Definite

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|The LDL* Factorization

There are special versions of the LU factorization for Hermitian and positive definite matrices which takes advantage of the special properties of such matrices. The most important ones are

the LDL* factorization which is an LDU factorization with $\boldsymbol{U}=\boldsymbol{L}^{*}$ and $\boldsymbol{D}$ a diagonal matrix with real diagonal elements
the $\mathrm{LL}^{}$ factorization which is an LU factorization with $\boldsymbol{U}=\boldsymbol{L}^{}$ and $l_{i i}>0$ all $i$.

A matrix $A$ having an LDL factorization must be Hermitian since $D$ is real so that $A^{}=\left(\boldsymbol{L} \boldsymbol{D} L^{}\right)^{}=\boldsymbol{L} D^{} L^{}=A$. The LL factorization is called a Cholesky factorization .

Example $4.1$ (LDL* of $2 \times 2$ Hermitian Matrix) Let $a, d \in \mathbb{R}$ and $b \in \mathrm{C}$. An LDL factorization of a $2 \times 2$ Hermitian matrix must satisfy the equations
$$
\left[\begin{array}{ll}
a & \bar{b} \
b & d
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \
l_{1} & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
d_{1} & 0 \
0 & d_{2}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
1 & \overline{l_{1}} \
0 & 1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
d_{1} & d_{1} \overline{l_{1}} \
d_{1} l_{1} & d_{1}\left|l_{1}\right|^{2}+d_{2}
\end{array}\right]
$$ for the unknowns $l_{1}$ in $\boldsymbol{L}$ and $d_{1}, d_{2}$ in $\boldsymbol{D}$. They are determined from
$$
d_{1}=a . \quad a l_{1}=b, \quad d_{2}=d-a\left|l_{1}\right|^{2}
$$
There are essentially three cases

$a \neq 0$ : The matrix has a unique LDL* factorization. Note that $d_{1}$ and $d_{2}$ are real.
$a=b=0$ : The LDL* factorization exists, but it is not unique. Any value for $l_{1}$ can be used.
$a=0, b \neq 0$ : No LDL* factorization exists.
Lemma 3. I carries over to the Hermitian case.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Positive Definite and Semidefinite Matrices

Given $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$. The function $f: \mathbb{C}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ given by
$$
f(x)=x^{*} A x=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} \bar{x}{i} x{j}
$$

is called a quadratic form. Note that $f$ is real valued if $A$ is Hermitian. Indeed, $\overline{f(x)}=\overline{x^{} A x}=\left(x^{} A x\right)^{}=x^{} A^{} x=f(x)$ Definition 4.1 (Positive Definite Matrix) We say that a matrix $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ is (i) positive definite if $A^{}=A$ and $x^{} A x>0$ for all nonzero $x \in \mathbb{C}^{n}$; (ii) positive semidefinite if $A^{}=A$ and $x^{*} A x \geq 0$ for all $x \in \mathbb{C}^{n}$;
(iii) negative (semi)definite if $-A$ is positive (semi)definite.
We observe that

The zero-matrix is positive semidefinite, while the unit matrix is positive definite.
The matrix $A$ is positive definite if and only if it is positive semidefinite and $x^{*} A x=0 \Longrightarrow x=0$.
A positive definite matrix $A$ is nonsingular. For if $A x=0$ then $x^{*} A x=0$ and this implies that $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$.
It follows from Lemma $4.6$ that a nonsingular positive semidefinite matrix is positive definite.
If $A$ is real then it is enough to show definiteness for real vectors only. Indeed, if $\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}, \boldsymbol{A}^{T}=\boldsymbol{A}$ and $\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}>0$ for all nonzero $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$ then $z^{} \boldsymbol{A} z>0$ for all nonzero $z \in \mathbb{C}^{n}$. For if $z=x+i y \neq 0$ with $x, y \in \mathbb{R}^{n}$ then $$ \begin{aligned} z^{} \boldsymbol{A} z &=(\boldsymbol{x}-i \boldsymbol{y})^{T} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}+i \boldsymbol{y})=\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}-i \boldsymbol{y}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}+i \boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{y}-i^{2} \boldsymbol{y}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{y} \
&=\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{y}
\end{aligned}
$$
and this is positive since at least one of the real vectors $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ is nonzero.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|The Cholesky Factorization

Recall that a principal submatrix $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}) \in \mathbb{C}^{k \times k}$ of a matrix $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ has elements $b_{i, j}=a_{r i, r j}$ for $i, j=1, \ldots, k$, where $1 \leq r_{1}<\cdots<r_{k} \leq n$. It is a leading principal submatrix, denoted $A_{[k]}$ if $\boldsymbol{r}=[1,2, \ldots, k]^{T}$. We have
$$
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r})=\boldsymbol{X}^{*} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}, \quad \boldsymbol{X}:=\left[\boldsymbol{e}{r{1}}, \ldots, \boldsymbol{e}{r{k}}\right] \in \mathbb{C}^{n \times k}
$$
Lemma 4.4 (Submatrices) Any principal submatrix of a positive (semi)definite matrix is positive (semi)definite.

Proof Let $\boldsymbol{X}$ and $\boldsymbol{B}:=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r})$ be given by (4.5). If $\boldsymbol{A}$ is positive semidefinite then $B$ is positive semidefinite since
$$
\boldsymbol{y}^{} \boldsymbol{B} \boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}^{} \boldsymbol{X}^{} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X} \boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}^{} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} \geq 0, \quad \boldsymbol{y} \in \mathbb{C}^{k}, \quad \boldsymbol{x}:=\boldsymbol{X} \boldsymbol{y}
$$
Suppose $\boldsymbol{A}$ is positive definite and $\boldsymbol{y}^{*} \boldsymbol{B} \boldsymbol{y}=0$. By (4.6) we have $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ and since $\boldsymbol{X}$ has linearly independent columns it follows that $\boldsymbol{y}=\mathbf{0}$. We conclude that $\boldsymbol{B}$ is positive definite.

计算线性代数代考

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|The LDL* Factorization

Hermitian 和正定矩阵有特殊版本的 LU 分解，它利用了这些矩阵的特殊性质。最重要的是

LDL* 分解，它是一个 LDU 分解在=大号∗和D具有实对角元素的对角矩阵
这大号大号因式分解，这是一个 LU 因式分解在=大号和l一世一世>0全部一世.

矩阵一个具有 LDL 分解必须是 Hermitian，因为D是真实的一个=(大号D大号)=大号D大号=一个. LL 分解称为 Cholesky 分解。

例子4.1（低密度脂蛋白*2×2Hermitian 矩阵）让一个,d∈R和b∈C. 的 LDL 因式分解2×2Hermitian 矩阵必须满足方程

[一个b¯ bd]=[10 l11][d10 0d2][1l1¯ 01]=[d1d1l1¯ d1l1d1|l1|2+d2]对于未知数l1在大号和d1,d2在D. 它们由

d1=一个.一个l1=b,d2=d−一个|l1|2
基本上有三种情况

一个≠0：矩阵具有唯一的 LDL* 分解。注意d1和d2是真实的。
一个=b=0：存在 LDL* 分解，但它不是唯一的。任何价值l1可以使用。
一个=0,b≠0：不存在 LDL* 分解。
引理 3. 我继续讨论 Hermitian 案例。

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Positive Definite and Semidefinite Matrices

给定一个∈Cn×n. 功能F:Cn→R由

F(X)=X∗一个X=∑一世=1n∑j=1n一个一世jX¯一世Xj

称为二次型。注意F是真正的价值，如果一个是厄米特。的确，F(X)¯=X一个X¯=(X一个X)=X一个X=F(X)定义 4.1（正定矩阵）我们说一个矩阵一个∈Cn×n是 (i) 正定如果一个=一个和X一个X>0对于所有非零X∈Cn; (ii) 半正定如果一个=一个和X∗一个X≥0对所有人X∈Cn;
(iii) 否定（半）定如果−一个是正（半）定的。
我们观察到

零矩阵是半正定的，而单位矩阵是正定的。
矩阵一个是正定的当且仅当它是半正定的并且X∗一个X=0⟹X=0.
一个正定矩阵一个是非奇异的。如果一个X=0然后X∗一个X=0这意味着X=0.
它遵循引理4.6非奇异半正定矩阵是正定矩阵。
如果一个是真实的，那么仅显示实向量的确定性就足够了。确实，如果一个∈Rn×n,一个吨=一个和X吨一个X>0对于所有非零X∈Rn然后和一个和>0对于所有非零和∈Cn. 如果和=X+一世是≠0和X,是∈Rn然后和一个和=(X−一世是)吨一个(X+一世是)=X吨一个X−一世是吨一个X+一世X吨一个是−一世2是吨一个是 =X吨一个X+是吨一个是
这是肯定的，因为至少有一个实向量X,是是非零的。

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|The Cholesky Factorization

回想一下主子矩阵乙=一个(r,r)∈Cķ×ķ矩阵的一个∈Cn×n有元素b一世,j=一个r一世,rj为了一世,j=1,…,ķ，在哪里1≤r1<⋯<rķ≤n. 它是一个领先的主子矩阵，表示为一个[ķ]如果r=[1,2,…,ķ]吨. 我们有

一个(r,r)=X∗一个X,X:=[和r1,…,和rķ]∈Cn×ķ
引理 4.4（子矩阵）正（半）定矩阵的任何主子矩阵都是正（半）定矩阵。

证明让X和乙:=一个(r,r)由 (4.5) 给出。如果一个那么是半正定的乙是半正定的，因为

是乙是=是X一个X是=X一个X≥0,是∈Cķ,X:=X是
认为一个是正定的并且是∗乙是=0. 由 (4.6) 我们有X=0并且因为X具有线性独立的列，它遵循是=0. 我们得出结论乙是肯定的。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|MATHS 7104

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数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|MATHS 7104

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Algorithms for Triangular Systems

A nonsingular triangular linear system $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ is easy to solve. By Lemma $2.5 \boldsymbol{A}$ has nonzero diagonal elements. Consider first the lower triangular case. For $n=3$ the system is
$$
\left[\begin{array}{ccc}
a_{11} & 0 & 0 \
a_{21} & a_{22} & 0 \
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x_{1} \
x_{2} \
x_{3}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
b_{1} \
b_{2} \
b_{3}
\end{array}\right]
$$
From the first equation we find $x_{1}=b_{1} / a_{11}$. Solving the second equation for $x_{2}$ we obtain $x_{2}=\left(b_{2}-a_{21} x_{1}\right) / a_{22}$. Finally the third equation gives $x_{3}=\left(b_{3}-a_{31} x_{1}-\right.$ $\left.a_{32} x_{2}\right) / a_{33}$. This process is known as forward substitution. In general
$$
x_{k}=\left(b_{k}-\sum_{j=1}^{k-1} a_{k, j} x_{j}\right) / a_{k k}, \quad k=1,2, \ldots, n .
$$
When $A$ is a lower triangular band matrix the number of arithmetic operations necessary to find $\boldsymbol{x}$ can be reduced. Suppose $\boldsymbol{A}$ is a lower triangular $d$-banded, so that $a_{k, j}=0$ for $j \notin\left{l_{k}, l_{k}+1, \ldots, k\right.$ for $k=1,2, \ldots, n$, and where $l_{k}:=\max (1, k-d)$, see Fig. 3.2. For a lower triangular $d$-band matrix the calculation in (3.7) can be simplified as follows
$$
x_{k}=\left(b_{k}-\sum_{j=l_{k}}^{k-1} a_{k, j} x_{j}\right) / a_{k k}, \quad k=1,2, \ldots, n .
$$
Note that (3.8) reduces to $(3.7)$ if $d=n$. Letting $A\left(k, l_{k}:(k-1)\right) * x\left(l_{k}:(k-1)\right)$ denote the sum $\sum_{j=l_{k}}^{k-1} a_{k j} x_{j}$ we arrive at the following algorithm, where the initial ” $\mathrm{r} “$ in the name signals that this algorithm is row oriented. The algorithm takes a nonsingular lower triangular $d$-banded matrix $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$, and $\boldsymbol{b} \in \mathbb{C}^{n}$, as input, and returns an $\boldsymbol{x} \in \mathbb{C}^{n}$ so that $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$. For each $k$ we take the inner product of a part of a row with the already computed unknowns.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Counting Operations

It is useful to have a number which indicates the amount of work an algorithm requires. In this book we measure this by estimating the total number of (complex) arithmetic operations. We count both additions, subtractions, multiplications and divisions, but not work on indices. As an example we show that the LU factorization of a full matrix of order $n$ using Gaussian elimination requires exactly
$$
N_{L U}:=\frac{2}{3} n^{3}-\frac{1}{2} n^{2}-\frac{1}{6} n
$$
operations. Let $M, D, A, S$ be the number of (complex) multiplications, divisions, additions, and subtractions. In (3.2) the multiplications and subtractions occur in the calculation of $a_{i j}^{k+1}=a_{i j}^{(k)}-l_{i k}^{(k)} a_{k j}^{(k)}$ which is carried out $(n-k)^{2}$ times. Moreover,

each calculation involves one subtraction and one multiplication. Thus we find $M+$ $S=2 \sum_{k=1}^{n-1}(n-k)^{2}=2 \sum_{m=1}^{n-1} m^{2}=\frac{2}{3} n(n-1)\left(n-\frac{1}{2}\right)$. For each $k$ there are $n-k$ divisions giving a sum of $\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)=\frac{1}{2} n(n-1)$. Since there are no additions we obtain the total
$$
M+D+A+S=\frac{2}{3} n(n-1)\left(n-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2} n(n-1)=N_{L U}
$$
given by $(3.9)$
We are only interested in $N_{L U}$ when $n$ is large and for such $n$ the term $\frac{2}{3} n^{3}$ dominates. We therefore regularly ignore lower order terms and use number of operations both for the exact count and for the highest order term. We also say more loosely that the number of operations is $O\left(n^{3}\right)$. We will use the number of operations counted in one of these ways as a measure of the complexity of an algorithm and say that the complexity of LU factorization of a full matrix is $O\left(n^{3}\right)$ or more precisely $\frac{2}{3} n^{3}$.

We will compare the number of arithmetic operations of many algorithms with the number of arithmetic operations of Gaussian elimination and define for $n \in \mathbb{N}$ the number $G_{n}$ as follows:

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Pivoting

Interchanging two rows (and/or two columns) during Gaussian elimination is known as pivoting. The element which is moved to the diagonal position $(k, k)$ is called the pivot element or pivot for short, and the row containing the pivot is called the pivot row. Gaussian elimination with row pivoting can be described as follows.

Choose $r_{k} \geq k$ so that $a_{r_{k}, k}^{(k)} \neq 0$.
Interchange rows $r_{k}$ and $k$ of $A^{(k)}$.
Eliminate by computing $l_{i k}^{(k)}$ and $a_{i j}^{(k+1)}$ using (3.2).
To show that Gaussian elimination can always be carried to completion by using suitable row interchanges suppose by induction on $k$ that $A^{(k)}$ is nonsingular. Since $A^{(1)}=A$ this holds for $k=1$. By Lemma $2.4$ the lower right diagonal block in $A^{(k)}$ is nonsingular. But then at least one element in the first column of that block must be nonzero and it follows that $r_{k}$ exists so that $a_{r_{k}, k}^{(k)} \neq 0$. But then $A^{(k+1)}$ is nonsingular since it is computed from $A^{(k)}$ using row operations preserving the nonsingularity. We conclude that $A^{(k)}$ is nonsingular for $k=1, \ldots, n$.

计算线性代数代考

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Algorithms for Triangular Systems

非奇异三角形线性系统一个X=b很容易解决。引理2.5一个具有非零对角元素。首先考虑下三角形的情况。为了n=3该系统是

[一个1100 一个21一个220 一个31一个32一个33][X1 X2 X3]=[b1 b2 b3]
从第一个方程我们发现X1=b1/一个11. 求解第二个方程X2我们获得X2=(b2−一个21X1)/一个22. 最后第三个等式给出X3=(b3−一个31X1− 一个32X2)/一个33. 这个过程被称为前向替换。一般来说

Xķ=(bķ−∑j=1ķ−1一个ķ,jXj)/一个ķķ,ķ=1,2,…,n.
什么时候一个是一个下三角带矩阵，计算所需的算术运算次数X可以减少。认为一个是一个下三角形d-带状，因此一个ķ,j=0对于 $j \notin\left{l_{k}, l_{k}+1, \ldots, k\right。F○rk=1,2, \ldots, n,一个nd在H和r和l_{k}:=\max (1, kd),s和和F一世G.3.2.F○r一个l○在和r吨r一世一个nG在l一个rd−b一个nd米一个吨r一世X吨H和C一个lC在l一个吨一世○n一世n(3.7)C一个nb和s一世米pl一世F一世和d一个sF○ll○在sXķ=(bķ−∑j=lķķ−1一个ķ,jXj)/一个ķķ,ķ=1,2,…,n.ñ○吨和吨H一个吨(3.8)r和d在C和s吨○(3.7)一世Fd=n.大号和吨吨一世nGA\left(k, l_{k}:(k-1)\right) * x\left(l_{k}:(k-1)\right)d和n○吨和吨H和s在米\sum_{j=l_{k}}^{k-1} a_{kj} x_{j}在和一个rr一世在和一个吨吨H和F○ll○在一世nG一个lG○r一世吨H米,在H和r和吨H和一世n一世吨一世一个l”\数学{r}“一世n吨H和n一个米和s一世Gn一个ls吨H一个吨吨H一世s一个lG○r一世吨H米一世sr○在○r一世和n吨和d.吨H和一个lG○r一世吨H米吨一个ķ和s一个n○ns一世nG在l一个rl○在和r吨r一世一个nG在l一个rd−b一个nd和d米一个吨r一世XA \in \mathbb{C}^{n \times n},一个nd\boldsymbol{b} \in \mathbb{C}^{n},一个s一世np在吨,一个ndr和吨在rns一个n\boldsymbol{x} \in \mathbb{C}^{n}s○吨H一个吨\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}.F○r和一个CHk$ 我们取行的一部分与已经计算的未知数的内积。

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Counting Operations

有一个数字表示算法所需的工作量很有用。在本书中，我们通过估计（复杂）算术运算的总数来衡量这一点。我们计算加法、减法、乘法和除法，但不适用于索引。作为一个例子，我们展示了一个全阶矩阵的 LU 分解n使用高斯消元需要完全

ñ大号在:=23n3−12n2−16n
操作。让米,D,一个,小号是（复数）乘法、除法、加法和减法的次数。在 (3.2) 中，乘法和减法发生在计算一个一世jķ+1=一个一世j(ķ)−l一世ķ(ķ)一个ķj(ķ)这是执行的(n−ķ)2次。而且，

每次计算都涉及一次减法和一次乘法。因此我们发现米+ 小号=2∑ķ=1n−1(n−ķ)2=2∑米=1n−1米2=23n(n−1)(n−12). 对于每个ķ有n−ķ除法给出总和∑ķ=1n−1(n−ķ)=12n(n−1). 由于没有加法，我们得到总数

米+D+一个+小号=23n(n−1)(n−12)+12n(n−1)=ñ大号在
由(3.9)
我们只对ñ大号在什么时候n很大，对于这样的n期限23n3占主导地位。因此，我们经常忽略低阶项并使用操作数来计算精确计数和最高阶项。我们也更宽松地说，操作的数量是○(n3). 我们将使用以其中一种方式计算的操作数作为算法复杂度的度量，并说完整矩阵的 LU 分解的复杂度为○(n3)或更准确地说23n3.

我们将比较许多算法的算术运算次数与高斯消元法的算术运算次数，并定义为n∈ñ号码Gn如下：

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Pivoting

在高斯消除期间交换两行（和/或两列）称为旋转。移动到对角线位置的元素(ķ,ķ)称为枢轴元素或简称枢轴，包含枢轴的行称为枢轴行。行旋转的高斯消除可以描述如下。

选择rķ≥ķ以便一个rķ,ķ(ķ)≠0.
交换行rķ和ķ的一个(ķ).
通过计算消除l一世ķ(ķ)和一个一世j(ķ+1)使用（3.2）。
为了证明高斯消元总是可以通过使用适当的行交换来完成，假设通过归纳ķ那一个(ķ)是非奇异的。自从一个(1)=一个这适用于ķ=1. 引理2.4右下角块一个(ķ)是非奇异的。但是，该块的第一列中至少有一个元素必须是非零的，并且它遵循rķ存在使得一个rķ,ķ(ķ)≠0. 但是之后一个(ķ+1)是非奇异的，因为它是从一个(ķ)使用保留非奇异性的行操作。我们得出结论一个(ķ)是非奇异的ķ=1,…,n.

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Block Multiplication and Triangular Matrices

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数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Block Multiplication

A rectangular matrix $A$ can be partitioned into submatrices by drawing horizontal lines between selected rows and vertical lines between selected columns. For example, the matrix
$$
A=\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \
4 & 5 & 6 \
7 & 8 & 9
\end{array}\right]
$$ can be partitioned as
(i) $\left[\begin{array}{ll}A_{11} & A_{12} \ A_{21} & A_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l|ll}1 & 2 & 3 \ \hline 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9\end{array}\right]$,
(ii) $\left[\boldsymbol{a}: 1, \boldsymbol{a}{: 2}, \boldsymbol{a}: 3\right]=\left[\begin{array}{c|c|c}1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9\end{array}\right]$, (iii) $\left[\begin{array}{c}a{1}^{T} \ a_{2:}^{T} \ a_{3:}^{T}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}\frac{1}{2} & 3 \ \frac{4}{}\end{array}\right.$
(iv) $\left[A_{11}, A_{12}\right]=\left[\begin{array}{c|ll}1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9\end{array}\right]$.
In ( $i$ ) the matrix $A$ is divided into four submatrices
$$
A_{11}=[1], \quad A_{12}=[2,3], A_{21}=\left[\begin{array}{l}
4 \
7
\end{array}\right] \text {, and } A_{22}=\left[\begin{array}{ll}
5 & 6 \
8 & 9
\end{array}\right] \text {, }
$$
while in (ii) and (iii) A has been partitioned into columns and rows, respectively. The submatrices in a partition are often referred to as blocks and a partitioned matrix is sometimes called a block matrix.

In the following we assume that $\boldsymbol{A} \in \mathbb{C}^{m \times p}$ and $\boldsymbol{B} \in \mathbb{C}^{p \times n}$. Here are some rules and observations for block multiplication.

If $\boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{b}{: 1}, \ldots, \boldsymbol{b}{: n}\right]$ is partitioned into columns then the partition of the product $\boldsymbol{A B}$ into columns is
$$
A B=\left[A b_{: 1}, A b_{: 2}, \ldots, A b_{: n}\right]
$$
In particular, if $\boldsymbol{I}$ is the identity matrix of order $p$ then
$$
A=A I=A\left[e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{p}\right]=\left[A e_{1}, A e_{2}, \ldots, A e_{p}\right]
$$
and we see that column $j$ of $A$ can be written $A e_{j}$ for $j=1, \ldots, p$.
Similarly, if $\boldsymbol{A}$ is partitioned into rows then
$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{c}
a_{1:}^{T} \
a_{2:}^{T} \
\vdots \
a_{m:}^{T}
\end{array}\right] \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{c}
a_{1:}^{T} \boldsymbol{B} \
a_{2:}^{T} \boldsymbol{B} \
\vdots \
a_{m:}^{T} \boldsymbol{B}
\end{array}\right]
$$
and taking $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{I}$ it follows that row $i$ of $\boldsymbol{B}$ can be written $\boldsymbol{e}_{i}^{T} \boldsymbol{B}$ for $i=1, \ldots, m$.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Triangular Matrices

We need some basic facts about triangular matrices and we start with
Lemma $2.4$ (Inverse of a Block Triangular Matrix) Suppose
$$
A=\left[\begin{array}{cc}
\boldsymbol{A}{11} & \boldsymbol{A}{12} \
\mathbf{0} & \boldsymbol{A}{22} \end{array}\right] $$ where $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{A}{11}$ and $\boldsymbol{A}{22}$ are square matrices. Then $\boldsymbol{A}$ is nonsingular if and only if both $A{11}$ and $A_{22}$ are nonsingular. In that case
$$
\boldsymbol{A}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}
\boldsymbol{A}{11}^{-1} & \boldsymbol{C} \ \mathbf{0} & \boldsymbol{A}{22}^{-1}
\end{array}\right]
$$
for some matrix $\boldsymbol{C}$.
Proof Suppose $A$ is nonsingular. We partition $B:=A^{-1}$ conformally with $A$ and have
$$
B A=\left[\begin{array}{ll}
B_{11} & B_{12} \
B_{21} & B_{22}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
A_{11} & A_{12} \
\mathbf{0} & A_{22}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
I & 0 \
\mathbf{0} & I
\end{array}\right]=I
$$
Using block-multiplication we find
$$
B_{11} A_{11}=I, B_{21} A_{11}=\mathbf{0}, B_{21} A_{12}+B_{22} A_{22}=I, \quad B_{11} A_{12}+B_{12} A_{22}=\mathbf{0}
$$

The first equation implies that $A_{11}$ is nonsingular, this in turn implies that $\boldsymbol{B}{21}=$ $\mathbf{0} \boldsymbol{A}{11}^{-1}=\mathbf{0}$ in the second equation, and then the third equation simplifies to $\boldsymbol{B}{22} \boldsymbol{A}{22}=\boldsymbol{I}$. We conclude that also $\boldsymbol{A}{22}$ is nonsingular. From the fourth equation we find $$ B{12}=C=-A_{11}^{-1} A_{12} A_{22}^{-1}
$$
Conversely, if $\boldsymbol{A}{11}$ and $\boldsymbol{A}{22}$ are nonsingular then
$$
\left[\begin{array}{cc}
A_{11}^{-1} & -A_{11}^{-1} A_{12} A_{22}^{-1} \
\mathbf{0} & A_{22}^{-1}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
A_{11} & A_{12} \
\mathbf{0} & A_{22}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
I & 0 \
0 & I
\end{array}\right]=I
$$
and $A$ is nonsingular with the indicated inverse.
Consider now a triangular matrix.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|3 by 3 Example

Gaussian elimination with row interchanges is the classical method for solving $n$ linear equations in $n$ unknowns. ${ }^{1}$ We first recall how it works on a $3 \times 3$ system.
Example $3.1$ (Gaussian Elimination on a $3 \times 3$ System) Consider a nonsingular system of three equations in three unknowns:
$a_{11}^{(1)} x_{1}+a_{12}^{(1)} x_{2}+a_{13}^{(1)} x_{3}=b_{1}^{(1)}, \quad \mathbf{I}$
$a_{21}^{(1)} x_{1}+a_{22}^{(1)} x_{2}+a_{23}^{(1)} x_{3}=b_{2}^{(1)}, \quad$ II
$a_{31}^{(1)} x_{1}+a_{32}^{(1)} x_{2}+a_{33}^{(1)} x_{3}=b_{3}^{(1)}$. III.

To solve this system by Gaussian elimination suppose $a_{11}^{(1)} \neq 0$. We subtract $l_{21}^{(1)}:=$ $a_{21}^{(1)} / a_{11}^{(1)}$ times equation I from equation II and $l_{31}^{(1)}:=a_{31}^{(1)} / a_{11}^{(1)}$ times equation I from equation III. The result is
$a_{11}^{(1)} x_{1}+a_{12}^{(1)} x_{2}+a_{13}^{(1)} x_{3}=b_{1}^{(1)}, \quad \mathrm{I}$
$a_{22}^{(2)} x_{2}+a_{23}^{(2)} x_{3}=b_{2}^{(2)}, \quad \mathbf{I I}^{\prime}$
$a_{32}^{(2)} x_{2}+a_{33}^{(2)} x_{3}=b_{3}^{(2)}, \quad \mathrm{III}^{\prime}$,
where $b_{i}^{(2)}=b_{i}^{(1)}-l_{i 1}^{(1)} b_{i}^{(1)}$ for $i=2,3$ and $a_{i j}^{(2)}=a_{i j}^{(1)}-l_{i, 1}^{(1)} a_{1 j}^{(1)}$ for $i, j=2,3$. If $a_{11}^{(1)}=0$ and $a_{21}^{(1)} \neq 0$ we first interchange equation I and equation II. If $a_{11}^{(1)}=$ $a_{21}^{(1)}=0$ we interchange equation I and III. Since the system is nonsingular the first column cannot be zero and an interchange is always possible.

If $a_{22}^{(2)} \neq 0$ we subtract $l_{32}^{(2)}:=a_{32}^{(2)} / a_{22}^{(2)}$ times equation $\mathrm{II}^{\prime}$ from equation $\mathrm{III}^{\prime}$ to obtain
$a_{11}^{(1)} x_{1}+a_{12}^{(1)} x_{2}+a_{13}^{(1)} x_{3}=b_{1}^{(1)}, \quad \mathbf{I}$
$a_{22}^{(2)} x_{2}+a_{23}^{(2)} x_{3}=b_{2}^{(2)}, \quad$ II $^{\prime}$
$a_{33}^{(3)} x_{3}=b_{3}^{(3)}, \quad \mathrm{III}^{\prime \prime}$,
where $a_{33}^{(3)}=a_{33}^{(2)}-l_{32}^{(2)} a_{23}^{(2)}$ and $b_{3}^{(3)}=b_{3}^{(2)}-l_{32}^{(2)} b_{2}^{(2)}$. If $a_{22}^{(2)}=0$ then $a_{32}^{(2)} \neq 0$ (cf. Sect. 3.4) and we first interchange equation $\mathrm{II}^{\prime}$ and equation $\mathrm{III}^{\prime}$. The reduced system is easy to solve since it is upper triangular. Starting from the bottom and moving upwards we find
$$
\begin{aligned}
&x_{3}=b_{3}^{(3)} / a_{33}^{(3)} \
&x_{2}=\left(b_{2}^{(2)}-a_{23}^{(2)} x_{3}\right) / a_{22}^{(2)} \
&x_{1}=\left(b_{1}^{(1)}-a_{12}^{(1)} x_{2}-a_{13}^{(1)} x_{3}\right) / a_{11}^{(1)}
\end{aligned}
$$

计算线性代数代考

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Block Multiplication

一个矩形矩阵一个可以通过在选定行之间绘制水平线和在选定列之间绘制垂直线来将其划分为子矩阵。例如，矩阵

一个=[123 456 789]可以划分为
(i)\left[\begin{array}{ll}A_{11} & A_{12} \A_{21} & A_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l| ll}1 & 2 & 3 \ \hline 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}A_{11} & A_{12} \A_{21} & A_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l| ll}1 & 2 & 3 \ \hline 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9\end{array}\right],
(ii)[一个:1,一个:2,一个:3]=[123 456 789], (iii)[一个1吨一个2:吨一个3:吨]=[123 4
(四)[一个11,一个12]=[123 456 789].
在（一世）矩阵一个分为四个子矩阵

一个11=[1],一个12=[2,3],一个21=[4 7]，和一个22=[56 89],
而在 (ii) 和 (iii) 中，A 已分别被划分为列和行。分区中的子矩阵通常称为块，分区矩阵有时称为块矩阵。

下面我们假设一个∈C米×p和乙∈Cp×n. 以下是块乘法的一些规则和观察。

如果乙=[b:1,…,b:n]被划分为列，然后是产品的划分一个乙成列是
一个乙=[一个b:1,一个b:2,…,一个b:n]
特别是，如果我是阶单位矩阵p然后
一个=一个我=一个[和1,和2,…,和p]=[一个和1,一个和2,…,一个和p]
我们看到那一栏j的一个可以写一个和j为了j=1,…,p.
同样，如果一个然后被划分为行
一个乙=[一个1:吨一个2:吨 ⋮ 一个米:吨]乙=[一个1:吨乙一个2:吨乙 ⋮ 一个米:吨乙]
并采取一个=我它跟随那一行一世的乙可以写和一世吨乙为了一世=1,…,米.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Triangular Matrices

我们需要一些关于三角矩阵的基本事实，我们从
引理开始2.4（块三角矩阵的逆）假设

一个=[一个11一个12 0一个22]在哪里一个,一个11和一个22是方阵。然后一个当且仅当两者都是非奇异的一个11和一个22是非奇异的。在这种情况下

一个−1=[一个11−1C 0一个22−1]
对于一些矩阵C.
证明假设一个是非奇异的。我们分区乙:=一个−1符合一个并且有

乙一个=[乙11乙12 乙21乙22][一个11一个12 0一个22]=[我0 0我]=我
使用块乘法我们发现

乙11一个11=我,乙21一个11=0,乙21一个12+乙22一个22=我,乙11一个12+乙12一个22=0

第一个方程意味着一个11是非奇异的，这反过来意味着乙21= 0一个11−1=0在第二个方程中，然后第三个方程简化为乙22一个22=我. 我们得出结论也一个22是非奇异的。从第四个方程我们发现

乙12=C=−一个11−1一个12一个22−1
相反，如果一个11和一个22那么是非奇异的

[一个11−1−一个11−1一个12一个22−1 0一个22−1][一个11一个12 0一个22]=[我0 0我]=我
和一个与指示的逆是非奇异的。
现在考虑一个三角矩阵。

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|3 by 3 Example

行交换的高斯消元法是经典的求解方法n线性方程组n未知数。1我们首先回顾一下它是如何在一个3×3系统。
例子3.1（高斯消去法3×3系统）考虑三个未知数的三个方程的非奇异系统：
一个11(1)X1+一个12(1)X2+一个13(1)X3=b1(1),我
一个21(1)X1+一个22(1)X2+一个23(1)X3=b2(1),二
一个31(1)X1+一个32(1)X2+一个33(1)X3=b3(1). 三、

用高斯消元法求解这个系统假设一个11(1)≠0. 我们减去l21(1):= 一个21(1)/一个11(1)从方程 II 乘以方程 I 和l31(1):=一个31(1)/一个11(1)从方程 III 乘以方程 I。结果是
一个11(1)X1+一个12(1)X2+一个13(1)X3=b1(1),我
一个22(2)X2+一个23(2)X3=b2(2),我我′
一个32(2)X2+一个33(2)X3=b3(2),我我我′,
其中b一世(2)=b一世(1)−l一世1(1)b一世(1)为了一世=2,3和一个一世j(2)=一个一世j(1)−l一世,1(1)一个1j(1)为了一世,j=2,3. 如果一个11(1)=0和一个21(1)≠0我们首先交换方程 I 和方程 II。如果一个11(1)= 一个21(1)=0我们交换等式 I 和 III。由于系统是非奇异的，因此第一列不能为零，并且始终可以交换。

如果一个22(2)≠0我们减去l32(2):=一个32(2)/一个22(2)时间方程我我′从方程我我我′获得
一个11(1)X1+一个12(1)X2+一个13(1)X3=b1(1),我
一个22(2)X2+一个23(2)X3=b2(2),二′
一个33(3)X3=b3(3),我我我′′,
其中一个33(3)=一个33(2)−l32(2)一个23(2)和b3(3)=b3(2)−l32(2)b2(2). 如果一个22(2)=0然后一个32(2)≠0（参见第 3.4 节）我们首先交换方程我我′和方程我我我′. 简化的系统很容易解决，因为它是上三角形的。从底部开始向上移动我们发现

X3=b3(3)/一个33(3) X2=(b2(2)−一个23(2)X3)/一个22(2) X1=(b1(1)−一个12(1)X2−一个13(1)X3)/一个11(1)

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数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|MATHS 2104

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数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|MATHS 2104

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|A Two Point Boundary Value Problem

Consider the simple two point boundary value problem
$$
-u^{\prime \prime}(x)=f(x), \quad x \in[0,1], \quad u(0)=0, u(1)=0
$$
where $f$ is a given continuous function on $[0,1]$ and $u$ is an unknown function. This problem is also known as the one-dimensional (1D) Poisson problem. In principle it is easy to solve $(2.20)$ exactly. We just integrate $f$ twice and determine the two integration constants so that the homogeneous boundary conditions $u(0)=u(1)=$ 0 are satisfied. For example, if $f(x)=1$ then $u(x)=x(x-1) / 2$ is the solution.
Suppose $f$ cannot be integrated exactly. Problem $(2.20)$ can then be solved approximately using the finite difference method. We need a difference approximation to the second derivative. If $g$ is a function differentiable at $x$ then
$$
g^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{g\left(x+\frac{h}{2}\right)-g\left(x-\frac{h}{2}\right)}{h}
$$ and applying this to a function $u$ that is twice differentiable at $x$
$$
\begin{aligned}
u^{\prime \prime}(x) &=\lim {h \rightarrow 0} \frac{u^{\prime}\left(x+\frac{h}{2}\right)-u^{\prime}\left(x-\frac{h}{2}\right)}{h}=\lim {h \rightarrow 0} \frac{\frac{u(x+h)-u(x)}{h}-\frac{u(x)-u(x-h)}{h}}{h} \
&=\lim {h \rightarrow 0} \frac{u(x+h)-2 u(x)+u(x-h)}{h^{2}} \end{aligned} $$ To define the points where this difference approximation is used we choose a positive integer $m$, let $h:=1 /(m+1)$ be the discretization parameter, and replace the interval $[0,1]$ by grid points $x{j}:=j h$ for $j=0,1, \ldots, m+1$. We then obtain approximations $v_{j}$ to the exact solution $u\left(x_{j}\right)$ for $j=1, \ldots, m$ by replacing the differential equation by the difference equation
$$
\frac{-v_{j-1}+2 v_{j}-v_{j+1}}{h^{2}}=f(j h), \quad j=1, \ldots, m, \quad v_{0}=v_{m+1}=0
$$
Moving the $h^{2}$ factor to the right hand side this can be written as an $m \times m$ linear system

The matrix $T$ is called the second derivative matrix and will occur frequently in this book. It is our second example of a tridiagonal matrix, $T=\operatorname{tridiag}\left(a_{i}, d_{i}, c_{i}\right) \in$ $\mathbb{R}^{m \times m}$, where in this case $a_{i}=c_{i}=-1$ and $d_{i}=2$ for all $i$.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Diagonal Dominance

We want to show that $(2.21)$ has a unique solution. Note that $T$ is not strictly diagonally dominant. However, $T$ is weakly diagonally dominant in accordance with the following definition.

Definition $2.3$ (Diagonal Dominance) The matrix $A=\left[a_{i j}\right] \in \mathbb{C}^{n \times n}$ is weakly diagonally dominant if
$$
\left|a_{i i}\right| \geq \sum_{j \neq i}\left|a_{i j}\right|, i=1, \ldots, n
$$

We showed in Theorem $2.2$ that a strictly diagonally dominant matrix is nonsingular. This is in general not true in the weakly diagonally dominant case. Consider the 3 matrices
$$
\boldsymbol{A}{1}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \ 1 & 2 & 1 \ 0 & 1 & 1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{A}{2}=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1
\end{array}\right], \quad \boldsymbol{A}{3}=\left[\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 0 \ -1 & 2 & -1 \ 0 & -1 & 2 \end{array}\right] $$ They are all weakly diagonally dominant, but $A{1}$ and $A_{2}$ are singular, while $A_{3}$ is nonsingular. Indeed, for $A_{1}$ column two is the sum of columns one and three, $A_{2}$ has a zero row, and $\operatorname{det}\left(\boldsymbol{A}_{3}\right)=4 \neq 0$. It follows that for the nonsingularity and existence of an LU factorization of a weakly diagonally dominant matrix we need some additional conditions. Here are some sufficient conditions.

Theorem 2.4 (Weak Diagonal Dominance) Suppose $\boldsymbol{A}=\operatorname{tridiag}\left(a_{i}, d_{i}, c_{i}\right) \in$ $\mathbb{C}^{n \times n}$ is tridiagonal and weakly diagonally dominant. If in addition $\left|d_{1}\right|>\left|c_{1}\right|$ and $a_{i} \neq 0$ for $i=1, \ldots, n-2$, then $\boldsymbol{A}$ has a unique $L U$ factorization (2.15). If in addition $d_{n} \neq 0$, then $\boldsymbol{A}$ is nonsingular.

Proof The proof is similar to the proof of Theorem 2.2. The matrix $\boldsymbol{A}$ has an LU factorization if the $u_{k}$ ‘s in (2.16) are nonzero for $k=1, \ldots, n-1$. For this it is sufficient to show by induction that $\left|u_{k}\right|>\left|c_{k}\right|$ for $k=1, \ldots, n-1$. By assumption $\left|u_{1}\right|=\left|d_{1}\right|>\left|c_{1}\right|$. Suppose $\left|u_{k}\right|>\left|c_{k}\right|$ for some $1 \leq k \leq n-2$. Then $\left|c_{k}\right| /\left|u_{k}\right|<1$ and by (2.16) and since $a_{k} \neq 0$ $$ \left|u_{k+1}\right|=\left|d_{k+1}-l_{k} c_{k}\right|=\left|d_{k+1}-\frac{a_{k} c_{k}}{u_{k}}\right| \geq\left|d_{k+1}\right|-\frac{\left|a_{k}\right|\left|c_{k}\right|}{\left|u_{k}\right|}>\left|d_{k+1}\right|-\left|a_{k}\right| .
$$
This also holds for $k=n-1$ if $a_{n-1} \neq 0$. By (2.23) and weak diagonal dominance $\left|u_{k+1}\right|>\left|d_{k+1}\right|-\left|a_{k}\right| \geq\left|c_{k+1}\right|$ and it follows by induction that an LU factorization exists. It is unique since any LU factorization must satisfy (2.16). For the nonsingularity we need to show that $u_{n} \neq 0$. For then by Lemma $2.5$, both $\boldsymbol{L}$ and $\boldsymbol{U}$ are nonsingular, and this is equivalent to $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{L} \boldsymbol{U}$ being nonsingular. If $a_{n-1} \neq 0$ then by (2.16) $\left|u_{n}\right|>\left|d_{n}\right|-\left|a_{n-1}\right| \geq 0$ by weak diagonal dominance, while if $a_{n-1}=0$ then again by (2.23) $\left|u_{n}\right| \geq\left|d_{n}\right|>0$.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|The Buckling of a Beam

Consider a horizontal beam of length $L$ located between 0 and $L$ on the $x$-axis of the plane. We assume that the beam is fixed at $x=0$ and $x=L$ and that a force $F$ is applied at $(L, 0)$ in the direction towards the origin. This situation can be modeled by the boundary value problem
$$
R y^{\prime \prime}(x)=-F y(x), \quad y(0)=y(L)=0,
$$
where $y(x)$ is the vertical displacement of the beam at $x$, and $R$ is a constant defined by the rigidity of the beam. We can transform the problem to the unit interval $[0,1]$ by considering the function $u:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ given by $u(t):=y(t L)$. Since $u^{\prime \prime}(t)=$ $L^{2} y^{\prime \prime}(t L)$, the problem $(2.24)$ then becomes
$$
u^{\prime \prime}(t)=-K u(t), \quad u(0)=u(1)=0, \quad K:=\frac{F L^{2}}{R} .
$$
Clearly $u=0$ is a solution, but we can have nonzero solutions corresponding to certain values of the $\mathrm{K}$ known as eigenvalues. The corresponding function $u$ is called an eigenfunction. If $F=0$ then $K=0$ and $u=0$ is the only solution, but if the force is increased it will reach a critical value where the beam will buckle and maybe break. This critical value corresponds to the smallest eigenvalue of (2.25). With $u(t)=\sin (\pi t)$ we find $u^{\prime \prime}(t)=-\pi^{2} u(t)$ and this $u$ is a solution if $K=\pi^{2}$. It can be shown that this is the smallest eigenvalue of (2.25) and solving for $F$ we find $F=\frac{\pi^{2} R}{L^{2}}$.

We can approximate this eigenvalue numerically. Choosing $m \in \mathbb{N}, h:=1 /(m+$
1) and using for the second derivative the approximation
$$
u^{\prime \prime}(j h) \approx \frac{u((j+1) h)-2 u(j h)+u((j-1) h)}{h^{2}}, \quad j=1, \ldots, m,
$$
(this is the same finite difference approximation as in Sect. 2.2) we obtain
$$
\frac{-v_{j-1}+2 v_{j}-v_{j+1}}{h^{2}}=K v_{j}, \quad j=1, \ldots, m, h=\frac{1}{m+1}, \quad v_{0}=v_{m+1}=0
$$

where $v_{j} \approx u(j h)$ for $j=0, \ldots, m+1$. If we define $\lambda:=h^{2} K$ then we obtain the equation
$$
T v=\lambda v, \text { with } v=\left[v_{1}, \ldots, v_{m}\right]^{T}
$$
and
The problem now is to determine the eigenvalues of $T$. Normally we would need a numerical method to determine the eigenvalues of a matrix, but for this simple problem the eigenvalues can be determined exactly. We show in the next subsection that the smallest eigenvalue of $(2.26)$ is given by $\lambda=4 \sin ^{2}(\pi h / 2)$. Since $\lambda=$ $h^{2} K=\frac{h^{2} F L^{2}}{R}$ we can solve for $F$ to obtain
$$
F=\frac{4 \sin ^{2}(\pi h / 2) R}{h^{2} L^{2}}
$$
For small $h$ this is a good approximation to the value $\frac{\pi^{2} R}{L^{2}}$ we computed above.

计算线性代数代考

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|A Two Point Boundary Value Problem

考虑简单的两点边值问题

−在′′(X)=F(X),X∈[0,1],在(0)=0,在(1)=0
在哪里F是一个给定的连续函数[0,1]和在是一个未知函数。此问题也称为一维 (1D) 泊松问题。原则上很容易解决(2.20)确切地。我们只是整合F两次并确定两个积分常数，使均匀边界条件在(0)=在(1)=0 满意。例如，如果F(X)=1然后在(X)=X(X−1)/2是解决方案。
认为F无法准确整合。问题(2.20)然后可以使用有限差分法近似求解。我们需要二阶导数的差分近似。如果G是可微分的函数X然后

G′(X)=林H→0G(X+H2)−G(X−H2)H并将其应用于函数在在X

在′′(X)=林H→0在′(X+H2)−在′(X−H2)H=林H→0在(X+H)−在(X)H−在(X)−在(X−H)HH =林H→0在(X+H)−2在(X)+在(X−H)H2为了定义使用这种差异近似的点，我们选择一个正整数米，让H:=1/(米+1)为离散化参数，并替换区间[0,1]按网格点Xj:=jH为了j=0,1,…,米+1. 然后我们得到近似值在j到确切的解决方案在(Xj)为了j=1,…,米通过用差分方程代替差分方程

−在j−1+2在j−在j+1H2=F(jH),j=1,…,米,在0=在米+1=0
移动H2右边的因子这可以写成米×米线性系统

矩阵吨称为二阶导数矩阵，在本书中会经常出现。这是我们的第二个三对角矩阵示例，吨=三方⁡(一个一世,d一世,C一世)∈ R米×米, 在这种情况下一个一世=C一世=−1和d一世=2对所有人一世.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Diagonal Dominance

我们想证明(2.21)有一个独特的解决方案。注意吨不是严格对角占优。然而，吨根据以下定义，是弱对角占优。

定义2.3（对角优势）矩阵一个=[一个一世j]∈Cn×n如果是弱对角占优

|一个一世一世|≥∑j≠一世|一个一世j|,一世=1,…,n

我们在定理中展示了2.2严格对角占优矩阵是非奇异的。在弱对角占优的情况下，这通常是不正确的。考虑 3 个矩阵

一个1=[110 121 011],一个2=[100 000 001],一个3=[2−10 −12−1 0−12]它们都是弱对角占优，但一个1和一个2是单数的，而一个3是非奇异的。的确，对于一个1第二列是第一列和第三列的总和，一个2有一个零行，并且这⁡(一个3)=4≠0. 因此，对于弱对角占优矩阵的 LU 分解的非奇异性和存在性，我们需要一些额外的条件。这里有一些充分条件。

定理 2.4（弱对角优势）假设一个=三方⁡(一个一世,d一世,C一世)∈ Cn×n是三对角且弱对角占优。如果另外|d1|>|C1|和一个一世≠0为了一世=1,…,n−2，然后一个有一个独特的大号在因式分解（2.15）。如果另外dn≠0，然后一个是非奇异的。

证明证明类似于定理 2.2 的证明。矩阵一个有一个 LU 分解，如果在ķ(2.16) 中的 ‘s 非零ķ=1,…,n−1. 为此，通过归纳表明|在ķ|>|Cķ|为了ķ=1,…,n−1. 假设|在1|=|d1|>|C1|. 认为|在ķ|>|Cķ|对于一些1≤ķ≤n−2. 然后|Cķ|/|在ķ|<1并且由 (2.16) 并且因为一个ķ≠0

|在ķ+1|=|dķ+1−lķCķ|=|dķ+1−一个ķCķ在ķ|≥|dķ+1|−|一个ķ||Cķ||在ķ|>|dķ+1|−|一个ķ|.
这也适用于ķ=n−1如果一个n−1≠0. 由 (2.23) 和弱对角优势|在ķ+1|>|dķ+1|−|一个ķ|≥|Cķ+1|并且通过归纳得出存在LU分解。它是唯一的，因为任何 LU 分解都必须满足 (2.16)。对于非奇异性，我们需要证明在n≠0. 然后由引理2.5，两个都大号和在是非奇异的，这等价于一个=大号在是非奇异的。如果一个n−1≠0然后由 (2.16)|在n|>|dn|−|一个n−1|≥0通过弱对角优势，而如果一个n−1=0然后再由 (2.23)|在n|≥|dn|>0.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|The Buckling of a Beam

考虑长度为的水平梁大号位于 0 和大号在X- 平面的轴。我们假设梁固定在X=0和X=大号那是一种力量F应用于(大号,0)朝着原点的方向。这种情况可以用边值问题来建模

R是′′(X)=−F是(X),是(0)=是(大号)=0,
在哪里是(X)是梁的垂直位移X，和R是由梁的刚度定义的常数。我们可以将问题转化为单位区间[0,1]通过考虑函数在:[0,1]→R由在(吨):=是(吨大号). 自从在′′(吨)= 大号2是′′(吨大号)，问题(2.24)然后变成

在′′(吨)=−ķ在(吨),在(0)=在(1)=0,ķ:=F大号2R.
清楚地在=0是一个解，但我们可以有对应于某些值的非零解ķ称为特征值。对应功能在称为特征函数。如果F=0然后ķ=0和在=0是唯一的解决方案，但如果力增加，它将达到一个临界值，梁将弯曲并可能断裂。该临界值对应于 (2.25) 的最小特征值。和在(吨)=罪⁡(圆周率吨)我们发现在′′(吨)=−圆周率2在(吨)和这个在是一个解决方案，如果ķ=圆周率2. 可以证明这是 (2.25) 的最小特征值，求解F我们发现F=圆周率2R大号2.

我们可以用数值近似这个特征值。选择米∈ñ,H:=1/(米+
1) 并使用二阶导数的近似值

在′′(jH)≈在((j+1)H)−2在(jH)+在((j−1)H)H2,j=1,…,米,
（这与第 2.2 节中的有限差分近似相同）我们得到

−在j−1+2在j−在j+1H2=ķ在j,j=1,…,米,H=1米+1,在0=在米+1=0

在哪里在j≈在(jH)为了j=0,…,米+1. 如果我们定义λ:=H2ķ然后我们得到方程

吨在=λ在, 和在=[在1,…,在米]吨
现在
的问题是确定吨. 通常我们需要一种数值方法来确定矩阵的特征值，但是对于这个简单的问题，可以准确地确定特征值。我们将在下一小节中展示(2.26)是（谁）给的λ=4罪2⁡(圆周率H/2). 自从λ= H2ķ=H2F大号2R我们可以解决F获得

F=4罪2⁡(圆周率H/2)RH2大号2
对于小H这是一个很好的近似值圆周率2R大号2我们在上面计算。

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Diagonally Dominant Tridiagonal Matrices; Three Examples

Posted on 2022年6月18日2022年6月18日 by statistics-lab

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数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Diagonally Dominant Tridiagonal Matrices; Three Examples

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Piecewise Linear and Cubic Spline Interpolation

To avoid oscillations like the one in Fig. $2.1$ piecewise linear interpolation can be used. An example is shown in Fig. 2.2. The interpolant $g$ approximates the original function quite well, and for some applications, like plotting, the linear interpolant using many points is what is used. Note that $g$ is a piecewise polynomial of the form
$$
g(x):= \begin{cases}p_{1}(x), & \text { if } x_{1} \leq x<x_{2} \ p_{2}(x), & \text { if } x_{2} \leq x<x_{3} \ \vdots & \ p_{n-1}(x), & \text { if } x_{n-1} \leq x<x_{n} \ p_{n}(x), & \text { if } x_{n} \leq x \leq x_{n+1}\end{cases}
$$

where each $p_{i}$ is a polynomial of degree $\leq 1$. In particular, $p_{1}$ is given in (2.3) and the other polynomials $p_{i}$ are given by similar expressions.

The piecewise linear interpolant is continuous, but the first derivative will usually have jumps at the interior sites. We can obtain a smoother approximation by letting $g$ be a piecewise polynomial of higher degree. With degree 3 (cubic) we obtain continuous derivatives of order $\leq 2\left(C^{2}\right)$. We consider here the following functions giving examples of $C^{2}$ cubic spline interpolants.

Definition 2.1 (The $D_{2}-$ Spline Problem) Given $n \in \mathbb{N}$, an interval $[a, b], y \in$ $\mathbb{R}^{n+1}$, knots (sites) $x_{1}, \ldots, x_{n+1}$ given by $(2.1)$ and numbers $\mu_{1}, \mu_{n+1}$. The problem is to find a function $g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ such that

piecewise cubic polynomial: $g$ is of the form (2.4) with each $p_{i}$ a cubic polynomial,
smoothness: $g \in C^{2}[a, b]$, i.e., derivatives of order $\leq 2$ are continuous on $\mathbb{R}$,
interpolation: $g\left(x_{i}\right)=y_{i}, \quad i=1,2, \ldots, n+1$,
$D_{2}$ boundary conditions: $g^{\prime \prime}(a)=\mu_{1}, \quad g^{\prime \prime}(b)=\mu_{n+1}$.
We call $g$ a $D_{2}$-spline. It is called an $N$-spline or natural spline if $\mu_{1}=\mu_{n+1}=0$.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Give Me a Moment

Existence and uniqueness of a solution of the $D_{2}$-spline problem hinges on the nonsingularity of a linear system of equations that we now derive. The unknowns are derivatives at the knots. Here we use second derivatives which are sometimes called moments. We start with the following lemma.

Lemma $2.1$ (Representing Each $p_{i}$ Using $(0,2)$ Interpolation) Given $a<b$, $h=(b-a) / n$ with $n \geq 2, x_{i}=a+(i-1) h$, and numbers $y_{i}, \mu_{i}$ for $i=1, \ldots, n+1$. For $i=1, \ldots, n$ there are unique cubic polynomials $p_{i}$ such that
$$
p_{i}\left(x_{i}\right)=y_{i}, p_{i}\left(x_{i+1}\right)=y_{i+1}, \quad p_{i}^{\prime \prime}\left(x_{i}\right)=\mu_{i}, p_{i}^{\prime \prime}\left(x_{i+1}\right)=\mu_{i+1}
$$
Moreover,
$$
p_{i}(x)=c_{i, 1}+c_{i, 2}\left(x-x_{i}\right)+c_{i, 3}\left(x-x_{i}\right)^{2}+c_{i, 4}\left(x-x_{i}\right)^{3} \quad i=1, \ldots, n
$$
where
$$
c_{i 1}=y_{i}, c_{i 2}=\frac{y_{i+1}-y_{i}}{h}-\frac{h}{3} \mu_{i}-\frac{h}{6} \mu_{i+1}, c_{i, 3}=\frac{\mu_{i}}{2}, c_{i, 4}=\frac{\mu_{i+1}-\mu_{i}}{6 h} .
$$ Proof Consider $p_{i}$ in the form (2.7) for some $1 \leq i \leq n$. Evoking (2.6) we find $p_{i}\left(x_{i}\right)=c_{i, 1}=y_{i}$. Since $p_{i}^{\prime \prime}(x)=2 c_{i, 3}+6 c_{i, 4}\left(x-x_{i}\right)$ we obtain $c_{i, 3}$ from $p_{i}^{\prime \prime}\left(x_{i}\right)=$ $2 c_{i, 3}=\mu_{i}$ (a moment), and then $c_{i, 4}$ from $p_{i}^{\prime \prime}\left(x_{i+1}\right)=\mu_{i}+6 h c_{i, 4}=\mu_{i+1}$. Finally we find $c_{i, 2}$ by solving $p_{i}\left(x_{i+1}\right)=y_{i}+c_{i, 2} h+\frac{\mu_{i}}{2} h^{2}+\frac{\mu_{i+1}-\mu_{i}}{6 h} h^{3}=y_{i+1}$. For $j=0,1,2,3$ the shifted powers $\left(x-x_{i}\right)^{j}$ constitute a basis for cubic polynomials and the formulas (2.8) are unique by construction. It follows that $p_{i}$ is unique.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|LU Factorization of a Tridiagonal System

To find the $D^{2}$-spline $g$ we have to solve the triangular system (2.11). Consider solving a general tridiagonal linear system $A x=b$ where $A=\operatorname{tridiag}\left(a_{i}, d_{i}, c_{i}\right) \in$ $\mathbb{C}^{n \times n}$. Instead of using Gaussian elimination directly, we can construct two matrices $\boldsymbol{L}$ and $\boldsymbol{U}$ such that $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{L} \boldsymbol{U}$. Since $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{L} \boldsymbol{U} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ we can find $\boldsymbol{x}$ by solving two systems $\boldsymbol{L z}=\boldsymbol{b}$ and $\boldsymbol{U} \boldsymbol{x}=z$. Moreover $\boldsymbol{L}$ and $\boldsymbol{U}$ are both triangular and bidiagonal, and if in addition they are nonsingular the two systems can be solved easily without using elimination.
In our case we write the product $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{L U}$ in the form
$$
\left[\begin{array}{lllll}
d_{1} & c_{1} & & & \
a_{1} & d_{2} & c_{2} & & \
& \ddots & \ddots & \ddots & \
& & a_{n-2} & d_{n-1} & c_{n-1} \
& & & a_{n-1} & d_{n}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}
1 & & \
l_{1} & 1 & \
& \ddots & \ddots & \
& & l_{n-1} & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}
u_{1} & c_{1} & & \
& \ddots & \ddots & \
& & u_{n-1} & c_{n-1} \
& & & u_{n}
\end{array}\right]
$$
To find $\boldsymbol{L}$ and $\boldsymbol{U}$ we first consider the case $n=3$. Equation (2.15) takes the form
$$
\left[\begin{array}{lll}
d_{1} & c_{1} & 0 \
a_{1} & d_{2} & c_{2} \
0 & a_{2} & d_{3}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \
l_{1} & 1 & 0 \
0 & l_{2} & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}
u_{1} & c_{1} & 0 \
0 & u_{2} & c_{2} \
0 & 0 & u_{3}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
u_{1} & c_{1} & 0 \
l_{1} u_{1} l_{1} c_{1}+u_{2} & c_{2} \
0 & l_{2} u_{2} & l_{2} c_{2}+u_{3}
\end{array}\right],
$$
and the systems $\boldsymbol{L z}=\boldsymbol{b}$ and $\boldsymbol{U} \boldsymbol{x}=z$ can be written
$$
\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \
l_{1} & 1 & 0 \
0 & l_{2} & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
z_{1} \
z_{2} \
z_{3}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
b_{1} \
b_{2} \
b_{3}
\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}
u_{1} & c_{1} & 0 \
0 & u_{2} & c_{2} \
0 & 0 & u_{3}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x_{1} \
x_{2} \
x_{3}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
z_{1} \
z_{2} \
z_{3}
\end{array}\right]
$$
Comparing elements we find
$$
\begin{aligned}
&u_{1}=d_{1}, \quad l_{1}=a_{1} / u_{1}, \quad u_{2}=d_{2}-l_{1} c_{1}, \quad l_{2}=a_{2} / u_{2}, \quad u_{3}=d_{3}-l_{2} c_{2}, \
&z_{1}=b_{1}, \quad z_{2}=b_{2}-l_{1} z_{1}, \quad z_{3}=b_{3}-l_{2} z_{2} \
&x_{3}=z_{3} / u_{3}, \quad x_{2}=\left(z_{2}-c_{2} x_{3}\right) / u_{2}, \quad x_{1}=\left(z_{1}-c_{1} x_{2}\right) / u_{1}
\end{aligned}
$$
In general, if
$$
u_{1}=d_{1}, \quad l_{k}=a_{k} / u_{k}, \quad u_{k+1}=d_{k+1}-l_{k} c_{k}, \quad k=1,2, \ldots, n-1,
$$
then $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{L} \boldsymbol{U}$. If $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n-1}$ are nonzero then (2.16) is well defined. If in addition $u_{n} \neq 0$ then we can solve $\boldsymbol{L} z=\boldsymbol{b}$ and $\boldsymbol{U} \boldsymbol{x}=z$ for $z$ and $\boldsymbol{x}$. We formulate this as two algorithms. In trifactor, vectors $l \in \mathbb{C}^{n-1}, \boldsymbol{u} \in \mathbb{C}^{n}$ are computed from $a, c \in \mathbb{C}^{n-1}, \boldsymbol{d} \in \mathbb{C}^{n}$. This implements the LU factorization of a tridiagonal matrix:

计算线性代数代考

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Piecewise Linear and Cubic Spline Interpolation

为了避免如图所示的振荡。2.1可以使用分段线性插值。示例如图 2.2 所示。插值G非常接近原始函数，并且对于某些应用程序，例如绘图，使用了使用许多点的线性插值。注意G是形式的分段多项式

G(X):={p1(X), 如果 X1≤X<X2 p2(X), 如果 X2≤X<X3 ⋮ pn−1(X), 如果 Xn−1≤X<Xn pn(X), 如果 Xn≤X≤Xn+1

其中每个p一世是一个多项式≤1. 尤其是，p1在 (2.3) 和其他多项式中给出p一世由类似的表达式给出。

分段线性插值是连续的，但一阶导数通常会在内部位置发生跳跃。我们可以通过让G是更高次的分段多项式。使用 3 阶（三次），我们获得阶的连续导数≤2(C2). 我们在这里考虑以下函数，给出的例子C2三次样条插值。

定义 2.1（D2−样条问题）给定n∈ñ, 一个区间[一个,b],是∈ Rn+1, 节 (网站)X1,…,Xn+1由(2.1)和数字μ1,μn+1. 问题是找到一个函数G:[一个,b]→R这样

分段三次多项式：G是 (2.4) 的形式，每个p一世三次多项式，
光滑度：G∈C2[一个,b]，即阶导数≤2是连续的R,
插值：G(X一世)=是一世,一世=1,2,…,n+1,
D2边界条件：G′′(一个)=μ1,G′′(b)=μn+1.
我们称之为G一个D2-样条。它被称为ñ-spline 或自然样条 ifμ1=μn+1=0.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Give Me a Moment

解的存在性和唯一性D2-样条问题取决于我们现在推导出的线性方程组的非奇异性。未知数是节点处的导数。这里我们使用有时称为矩的二阶导数。我们从以下引理开始。

引理2.1（代表每个p一世使用(0,2)插值）给定一个<b, H=(b−一个)/n和n≥2,X一世=一个+(一世−1)H, 和数字是一世,μ一世为了一世=1,…,n+1. 为了一世=1,…,n有唯一的三次多项式p一世这样

p一世(X一世)=是一世,p一世(X一世+1)=是一世+1,p一世′′(X一世)=μ一世,p一世′′(X一世+1)=μ一世+1
而且，

p一世(X)=C一世,1+C一世,2(X−X一世)+C一世,3(X−X一世)2+C一世,4(X−X一世)3一世=1,…,n
在哪里

C一世1=是一世,C一世2=是一世+1−是一世H−H3μ一世−H6μ一世+1,C一世,3=μ一世2,C一世,4=μ一世+1−μ一世6H.证明考虑p一世以 (2.7) 的形式对某些1≤一世≤n. 唤起 (2.6) 我们发现p一世(X一世)=C一世,1=是一世. 自从p一世′′(X)=2C一世,3+6C一世,4(X−X一世)我们获得C一世,3从p一世′′(X一世)= 2C一世,3=μ一世（片刻），然后C一世,4从p一世′′(X一世+1)=μ一世+6HC一世,4=μ一世+1. 最后我们发现C一世,2通过解决p一世(X一世+1)=是一世+C一世,2H+μ一世2H2+μ一世+1−μ一世6HH3=是一世+1. 为了j=0,1,2,3转移的权力(X−X一世)j构成三次多项式的基础，并且公式（2.8）在构造上是唯一的。它遵循p一世是独特的。

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|LU Factorization of a Tridiagonal System

要找到D2-样条G我们必须解决三角系统（2.11）。考虑求解一般三对角线性系统一个X=b在哪里一个=三方⁡(一个一世,d一世,C一世)∈ Cn×n. 我们可以构造两个矩阵，而不是直接使用高斯消元法大号和在这样一个=大号在. 自从一个X=大号在X=b我们可以找X通过解决两个系统大号和=b和在X=和. 而且大号和在既是三角形的又是双对角的，如果另外它们是非奇异的，则这两个系统可以很容易地求解而无需使用消除。
在我们的例子中，我们编写产品一个=大号在在表格中

[d1C1 一个1d2C2 ⋱⋱⋱ 一个n−2dn−1Cn−1 一个n−1dn]=[1 l11 ⋱⋱ ln−11][在1C1 ⋱⋱ 在n−1Cn−1 在n]
寻找大号和在我们首先考虑这种情况n=3. 等式 (2.15) 采用以下形式

[d1C10 一个1d2C2 0一个2d3]=[100 l110 0l21][在1C10 0在2C2 00在3]=[在1C10 l1在1l1C1+在2C2 0l2在2l2C2+在3],
和系统大号和=b和在X=和可以写

[100 l110 0l21][和1 和2 和3]=[b1 b2 b3],[在1C10 0在2C2 00在3][X1 X2 X3]=[和1 和2 和3]
比较我们发现的元素

在1=d1,l1=一个1/在1,在2=d2−l1C1,l2=一个2/在2,在3=d3−l2C2, 和1=b1,和2=b2−l1和1,和3=b3−l2和2 X3=和3/在3,X2=(和2−C2X3)/在2,X1=(和1−C1X2)/在1
一般来说，如果

在1=d1,lķ=一个ķ/在ķ,在ķ+1=dķ+1−lķCķ,ķ=1,2,…,n−1,
然后一个=大号在. 如果在1,在2,…,在n−1是非零的，那么 (2.16) 是明确定义的。如果另外在n≠0那么我们可以解决大号和=b和在X=和为了和和X. 我们将其制定为两种算法。在三因子中，向量l∈Cn−1,在∈Cn计算自一个,C∈Cn−1,d∈Cn. 这实现了三对角矩阵的 LU 分解：

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

回归分析代写

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R语言代写	问卷设计与分析代写
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数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|MAST10007

Posted on 2022年6月18日2022年6月18日 by statistics-lab

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计算线性代数是在计算机上解决线性代数问题（大型线性方程组、计算矩阵特征值、特征向量等）的数字算法。

我们提供的计算线性代数Computational Linear Algebra及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Eigenvalues, Eigenvectors and Eigenpairs

Suppose $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ is a square matrix, $\lambda \in \mathbb{C}$ and $\boldsymbol{x} \in \mathbb{C}^{n}$. We say that $(\lambda, x)$ is an eigenpair for $\boldsymbol{A}$ if $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x}$ and $\boldsymbol{x}$ is nonzero. The scalar $\lambda$ is called an eigenvalue and $\boldsymbol{x}$ is said to be an eigenvector. ${ }^{1}$ The set of eigenvalues is called the spectrum of $A$ and is denoted by $\sigma(A)$. For example, $\sigma(I)={1, \ldots, 1}={1}$.
Eigenvalues are the roots of the characteristic polynomial.
Lemma $1.5$ (Characteristic Equation) For any $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ we have $\lambda \in$ $\sigma(A) \Longleftrightarrow \operatorname{det}(A-\lambda I)=0$

Proof Suppose $(\lambda, x)$ is an eigenpair for $\boldsymbol{A}$. The equation $A x=\lambda x$ can be written $(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$. Since $\boldsymbol{x}$ is nonzero the matrix $\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I}$ must be singular with a zero determinant. Conversely, if $\operatorname{det}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I})=0$ then $\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I}$ is singular and $(A-\lambda I) x=0$ for some nonzero $x \in \mathbb{C}^{n}$. Thus $A x=\lambda x$ and $(\lambda, x)$ is an eigenpair for $\boldsymbol{A}$.

The expression $\operatorname{det}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I})$ is a polynomial of exact degree $n$ in $\lambda$. For $n=3$ we have
$$
\operatorname{det}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I})=\left|\begin{array}{ccc}
a_{11}-\lambda & a_{12} & a_{13} \
a_{21} & a_{22}-\lambda & a_{23} \
a_{31} & a_{32} & a_{33}-\lambda
\end{array}\right|
$$
Expanding this determinant by the first column we find
$$
\begin{aligned}
\operatorname{det}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I}) &=\left(a_{11}-\lambda\right)\left|\begin{array}{cc}
a_{22}-\lambda & a_{23} \
a_{32} & a_{33}-\lambda
\end{array}\right|-a_{21}\left|\begin{array}{cc}
a_{12} & a_{13} \
a_{32} & a_{33}-\lambda
\end{array}\right| \
&+a_{31}\left|\begin{array}{cc}
a_{12} & a_{13} \
a_{22}-\lambda & a_{23}
\end{array}\right|=\left(a_{11}-\lambda\right)\left(a_{22}-\lambda\right)\left(a_{33}-\lambda\right)+r(\lambda)
\end{aligned}
$$
for some polynomial $r$ of degree at most one. In general
$$
\operatorname{det}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I})=\left(a_{11}-\lambda\right)\left(a_{22}-\lambda\right) \cdots\left(a_{n n}-\lambda\right)+r(\lambda),
$$
where each term in $r(\lambda)$ has at most $n-2$ factors containing $\lambda$. It follows that $r$ is a polynomial of degree at most $n-2$, $\operatorname{det}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I})$ is a polynomial of exact degree $n$ in $\lambda$ and the eigenvalues are the roots of this polynomial.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Exercises Sect

Exercise 1.1 (Strassen Multiplication (Exam Exercise 2017-1)) (By arithmetic operations we mean additions, subtractions, multiplications and divisions.)
Let $\boldsymbol{A}$ and $\boldsymbol{B}$ be $n \times n$ real matrices.
a) With $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \in \mathbb{R}^{n \times n}$, how many arithmetic operations are required to form the product $\boldsymbol{A B}$ ?
b) Consider the $2 n \times 2 n$ block matrix
$$
\left[\begin{array}{ll}
W & X \
Y & Z
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
A & B \
C & D
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
E & F \
G & H
\end{array}\right],
$$
where all matrices $\boldsymbol{A}, \ldots, \boldsymbol{Z}$ are in $\mathbb{R}^{n \times n}$. How many operations does it take to compute $\boldsymbol{W}, \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ and $\boldsymbol{Z}$ by the obvious algorithm?
c) An alternative method to compute $\boldsymbol{W}, \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ and $\boldsymbol{Z}$ is to use Strassen’s formulas:
$\mathbf{P}{1}=(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{D})(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{H})$, $\mathbf{P}{2}=(\boldsymbol{C}+\boldsymbol{D}) \boldsymbol{E}, \quad \mathbf{P}{5}=(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \boldsymbol{H}$, $\mathbf{P}{3}=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{F}-\boldsymbol{H}), \quad \mathbf{P}{6}=(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{A})(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{F})$, $\mathbf{P}{4}=\boldsymbol{D}(\boldsymbol{G}-\boldsymbol{E}), \quad \mathbf{P}{7}=(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{D})(\boldsymbol{G}+\boldsymbol{H})$, $\boldsymbol{W}=\mathbf{P}{1}+\mathbf{P}{4}-\mathbf{P}{5}+\mathbf{P}{7}, \quad \boldsymbol{X}=\mathbf{P}{3}+\mathbf{P}{5}$, $\boldsymbol{Y}=\mathbf{P}{2}+\mathbf{P}{4}, \quad \boldsymbol{Z}=\mathbf{P}{1}+\mathbf{P}{3}-\mathbf{P}{2}+\mathbf{P}{6} .$ You do not have to verify these formulas. What is the operation count for this method? d) Describe a recursive algorithm, based on Strassen’s formulas, which given two matrices $\boldsymbol{A}$ and $\boldsymbol{B}$ of size $m \times m$, with $m=2^{k}$ for some $k \geq 0$, calculates the product $\boldsymbol{A B}$. e) Show that the operation count of the recursive algorithm is $\mathcal{O}\left(m^{\log {2}(7)}\right)$. Note that $\log _{2}(7) \approx 2.8<3$, so this is less costly than straightforward matrix multiplication.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Cubic Spline Interpolation

Since there are $n+1$ interpolation conditions in (2.2) a natural choice for a function $g$ is a polynomial of degree $n$. As shown in most books on numerical methods such a $g$ is uniquely defined and there are good algorithms for computing it. Evidently, when $n=1, g$ is the straight line
$$
g(x)=y_{1}+\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x-x_{1}\right),
$$
known as the linear interpolation polynomial.
Polynomial interpolation is an important technique which often gives good results, but the interpolant $g$ can have undesirable oscillations when $n$ is large. As an example, consider the function given by
$$
f(x)=\arctan (10 x)+\pi / 2, \quad x \in[-1,1] .
$$
The function $f$ and the polynomial $g$ of degree at most 13 satisfying (2.2) with $[a, b]=[-1,1]$ and $y_{i}=f\left(x_{i}\right), i=1, \ldots, 14$ is shown in Fig. 2.1. The interpolant has large oscillations near the end of the range. This is an example of the Runge phenomenon. Using larger $n$ will only make the oscillations bigger. ${ }^{\text {| }}$

计算线性代数代考

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Eigenvalues, Eigenvectors and Eigenpairs

认为一个∈Cn×n是一个方阵，λ∈C和X∈Cn. 我们说(λ,X)是一个自己的对一个如果一个X=λX和X是非零的。标量λ被称为特征值并且X被称为特征向量。1特征值的集合称为谱一个并表示为σ(一个). 例如，σ(我)=1,…,1=1.
特征值是特征多项式的根。
引理1.5（特征方程）对于任何一个∈Cn×n我们有λ∈ σ(一个)⟺这⁡(一个−λ我)=0

证明假设(λ,X)是一个自己的对一个. 方程一个X=λX可以写(一个−λ我)X=0. 自从X非零矩阵一个−λ我必须是具有零行列式的奇异值。相反，如果这⁡(一个−λ我)=0然后一个−λ我是单数并且(一个−λ我)X=0对于一些非零X∈Cn. 因此一个X=λX和(λ,X)是一个自己的对一个.

表达方式这⁡(一个−λ我)是一个精确次数的多项式n在λ. 为了n=3我们有

这⁡(一个−λ我)=|一个11−λ一个12一个13 一个21一个22−λ一个23 一个31一个32一个33−λ|
通过我们发现的第一列扩展这个行列式

这⁡(一个−λ我)=(一个11−λ)(一个22−λ)⋯(一个nn−λ)+r(λ),
其中每个术语r(λ)最多有n−2含有因素λ. 它遵循r最多是一次多项式n−2, 这⁡(一个−λ我)是一个精确次数的多项式n在λ并且特征值是这个多项式的根。

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Exercises Sect

练习 1.1（Strassen 乘法（考试练习 2017-1））（算术运算是指加法、减法、乘法和除法。）
让一个和乙是n×n实矩阵。
a) 与一个,乙∈Rn×n, 需要多少次算术运算才能形成乘积一个乙?
b) 考虑2n×2n块矩阵

[在X 是从]=[一个乙 CD][和F GH],
所有矩阵在哪里一个,…,从在Rn×n. 计算需要多少操作在,X,是和从通过明显的算法？
c) 另一种计算方法在,X,是和从是使用 Strassen 的公式：
磷1=(一个+D)(和+H), 磷2=(C+D)和,磷5=(一个+乙)H,磷3=一个(F−H),磷6=(C−一个)(和+F),磷4=D(G−和),磷7=(乙−D)(G+H),在=磷1+磷4−磷5+磷7,X=磷3+磷5,是=磷2+磷4,从=磷1+磷3−磷2+磷6.您不必验证这些公式。此方法的操作计数是多少？d) 描述一个基于施特拉森公式的递归算法，它给出了两个矩阵一个和乙大小的米×米，和米=2ķ对于一些ķ≥0, 计算产品一个乙. e) 证明递归算法的运算次数为○(米日志⁡2(7)). 注意日志2⁡(7)≈2.8<3，所以这比直接的矩阵乘法成本更低。

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Cubic Spline Interpolation

既然有n+1(2.2) 中的插值条件是函数的自然选择G是一个多项式n. 如大多数关于数值方法的书籍所示，例如G是唯一定义的，并且有很好的算法来计算它。显然，当n=1,G是直线

G(X)=是1+是2−是1X2−X1(X−X1),
称为线性插值多项式。
多项式插值是一种重要的技术，通常可以提供良好的结果，但是插值G可能有不希望的振荡时n很大。例如，考虑由下式给出的函数

F(X)=反正切⁡(10X)+圆周率/2,X∈[−1,1].
功能F和多项式G度数最多 13 满足 (2.2) 与[一个,b]=[−1,1]和是一世=F(X一世),一世=1,…,14如图 2.1 所示。插值在范围末端附近有很大的振荡。这是龙格现象的一个例子。使用更大的n只会使振荡更大。

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