数学代写|拓扑学代写Topology代考|Math8750
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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Weak versus strong fillings
The following definitions of weak and strong symplectic fillings of contact manifolds are the obvious modifications of those in dimension 3. In this general setting, it is useful to consider an intermediate notion of domination, see [79], [176].
Definition 5.1.1 Let $M$ be a closed manifold of dimension $2 n-1$ with cooriented contact structure $\xi=\operatorname{ker} \alpha$. Notice that the (positive) conformal class of the symplectic bundle structure $\left.d \alpha\right|{\xi}$ is independent of the choice of contact form defining $\xi$ with given coorientation. We orient $\xi$ by $(d \alpha)^{n-1}$. (a) A compact symplectic manifold $(W, \omega)$ of dimension $2 n$ is called a weak (symplectic) filling of $(M, \xi)$ if $\partial W=M$ as oriented manifolds $\dagger$ and $\left.\omega^{n-1}\right|{\xi}>0$.
(b) We say that a compact symplectic manifold $(W, \omega)$ dominates $(M, \xi)$ if $\partial W=M$ as oriented manifolds and $\left.\omega\right|{\xi}$ is in the conformal class of $\left.d \alpha\right|{\xi}$.
(c) A compact symplectic manifold $(W, \omega)$ is called a strong (symplectic) filling of $(M, \xi)$ if $\partial W=M$ and there is a Liouville vector field $Y$ defined near $\partial W$, pointing outwards along $\partial W$, and satisfying $\xi=\operatorname{ker}\left(\left.i_Y \omega\right|_{T M}\right)$ (as cooriented contact structure). In this case we say that $(M, \xi)$ is the convex (or more precisely: $\omega$-convex) boundary of $(W, \omega)$.
Remark 5.1.2 In the terminology of Definition 1.4.5, the boundary of a strong filling is of contact type.
Example 5.1.3 By Examples 1.4.8 and 2.1.7, the disc $D^{2 n}$ with its standard symplectic form $\omega_{\mathrm{st}}$ is a strong filling of the sphere $S^{2 n-1}$ with its standard contact structure $\xi_{\text {st }}$.
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Symplectic cobordisms
There is a natural correspondence between surgery and cobordisms, which we are going to recall in detail in Section 6.1. When one wants to perform surgery on contact manifolds, this gives rise to a corresponding notion of symplectic cobordisms. With the following discussion of such cobordisms we thus pave the way to the next chapter.
Definition 5.2.1 Let $\left(M_{ \pm}, \xi_{ \pm}\right)$be closed contact manifolds of dimension $2 n-1$ with cooriented contact structures, which induce the orientation of the respective manifold. A symplectic cobordism from $\left(M_{-}, \xi_{-}\right)$to $\left(M_{+}, \xi_{+}\right)$ is a compact $2 n$-dimensional symplectic manifold $(W, \omega)$, oriented by the volume form $\omega^n$, such that the following conditions hold.
- The oriented boundary of $W$ equals $\partial W=M_{+} \sqcup \bar{M}{-}$, where $\bar{M}{-}$ stands for $M_{-}$with reversed orientation.
- In a neighbourhood of $\partial W$, there is a Liouville vector field $Y$ for $\omega$, transverse to the boundary and pointing outwards along $M_{+}$, inwards along $M_{-}$.
- The 1-form $\alpha:=i_Y \omega$ restricts to $T M_{ \pm}$as a contact form for $\xi_{ \pm}$.
We call $M_{+}$the convex boundary of the cobordism $W$ and $M_{-}$the concave boundary.
Example 5.2.2 Every closed contact manifold $(M, \xi=\operatorname{ker} \alpha)$ is symplectically cobordant to itself via the trivial symplectic cobordism
$$
\left([0,1] \times M, d\left(\mathrm{e}^t \alpha\right)\right),
$$
with $Y=\partial_t$.
拓扑学代考
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Weak versus strong fillings
下面的接触流形弱辛填充和强辛填充的定义是对3维定义的明显修改。在这种一般情况下，考虑支配的中间概念是有用的，参见[79]，[176]。
定义5.1.1设$M$为维度为$2 n-1$的封闭流形，具有共向接触结构$\xi=\operatorname{ker} \alpha$。注意，辛束结构$\left.d \alpha\right|{\xi}$的(正)共形类与定义$\xi$的接触形式的选择无关。我们通过$(d \alpha)^{n-1}$定位$\xi$。(a)尺寸为$2 n$的紧辛流形$(W, \omega)$称为$(M, \xi)$的弱(辛)填充，如果$\partial W=M$是面向流形$\dagger$和$\left.\omega^{n-1}\right|{\xi}>0$。
(b)如果$\partial W=M$是有向流形，且$\left.\omega\right|{\xi}$在$\left.d \alpha\right|{\xi}$的保形类中，则紧辛流形$(W, \omega)$优于$(M, \xi)$。
(c)紧辛流形$(W, \omega)$称为$(M, \xi)$的强(辛)填充，如果$\partial W=M$，并且在$\partial W$附近定义一个Liouville向量场$Y$，沿着$\partial W$向外指向，并满足$\xi=\operatorname{ker}\left(\left.i_Y \omega\right|_{T M}\right)$(作为共向接触结构)。在这种情况下，我们说$(M, \xi)$是$(W, \omega)$的凸(或者更准确地说:$\omega$ -凸)边界。
注5.1.2在定义1.4.5的术语中，强填料的边界为接触型。
通过例1.4.8和2.1.7，具有标准辛形式$\omega_{\mathrm{st}}$的圆盘$D^{2 n}$是具有标准接触结构$\xi_{\text {st }}$的球体$S^{2 n-1}$的强填充。
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Symplectic cobordisms
在外科手术和协方差之间有一种天然的对应关系，我们将在6.1节中详细回顾。当人们想要对接触流形进行手术时，这就产生了相应的辛协的概念。因此，通过下面对这种协调的讨论，我们为下一章铺平了道路。
5.2.1设$\left(M_{ \pm}, \xi_{ \pm}\right)$为尺寸为$2 n-1$的闭合接触流形，它们具有共取向的接触结构，由此推导出各自流形的取向。从$\left(M_{-}, \xi_{-}\right)$到$\left(M_{+}, \xi_{+}\right)$的辛协矩阵是一个紧致的$2 n$维辛流形$(W, \omega)$，由体积形式$\omega^n$定向，满足以下条件。
$W$的有向边界等于$\partial W=M_{+} \sqcup \bar{M}{-}$，其中$\bar{M}{-}$表示方向相反的$M_{-}$。
在$\partial W$的邻域中，$\omega$有一个Liouville向量场$Y$，横向于边界，沿$M_{+}$向外，沿$M_{-}$向内。
1-form $\alpha:=i_Y \omega$限制为$T M_{ \pm}$作为$\xi_{ \pm}$的联系表单。
我们称$M_{+}$为协坐标$W$的凸边界，称$M_{-}$为凹边界。
例5.2.2每一个闭合接触流形$(M, \xi=\operatorname{ker} \alpha)$都通过平凡的辛协度与自身辛协度
$$
\left([0,1] \times M, d\left(\mathrm{e}^t \alpha\right)\right),
$$
通过$Y=\partial_t$。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。