数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|ME672
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有限元方法finite differences method是一类通过近似有限差分导数来求解微分方程的数值技术。空间域和时间间隔(如果适用)都被离散化，或者被分解成有限数量的步骤，并且这些离散点的解的值通过求解包含有限差分和邻近点的值的代数方程来近似。
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数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|General Outline
A typical finite element program consists of three basic units (see Fig. 8.3.1):
- Preprocessor
- Processor
- Postprocessor
In the preprocessor part of the program, the input data of the problem are read in and/or generated. This includes the geometry (e.g., length of the domain and boundary conditions), the data of the problem (e.g., coefficients in the differential equation), finite element mesh information (e.g., element type, number of elements, element length, coordinates of the nodes, and connectivity matrix), and indicators for various options (e.g., print, no print, type of field problem analyzed, static analysis, eigenvalue analysis, transient analysis, and degree of interpolation).
In the processor part, all steps of the finite element analysis discussed in the preceding chapters, except for postprocessing, are performed. The major steps of the processor are:
- Generation of the element matrices using numerical integration.
- Assembly of element equations.
- Imposition of the boundary conditions.
- Solution of the algebraic equations for the nodal values of the primary variables.
数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Preprocessor
The preprocessor unit consists of reading input data and generating finite element mesh, and printing the data and mesh information. The input data to a finite element program consist of element type, IELEM (i.e., Lagrange element or Hermite element), number of elements in the mesh (NEM), specified boundary conditions on primary and secondary variables (number of boundary conditions, global node number and degree of freedom, and specified values of the degrees of freedom), the global coordinates of global nodes, and element properties [e.g., coefficients $a(x), b(x), c(x), f(x)$, etc.] If a uniform mesh is used, the length of the domain should be read in, and global coordinates of the nodes can be generated in the program.
The preprocessor portion that deals with the generation of finite element mesh information (when not supplied by the user) can be separated into a subroutine (MESH1D), depending on the convenience and complexity of the program. Mesh generation includes computation of the global coordinates $X_I$ and the connectivity array NOD $\left(=B_{i j}\right)$. Recall that the connectivity matrix describes the relationship between element nodes to global nodes:
$\operatorname{NOD}(n, j)=$ Global node number corresponding to the $j$ th (local) node of element $n$
This array is used in the assembly procedure as well as to transfer information from element to the global system and vice versa. For example, to extract the vector ELX of global coordinates of element nodes from the vector GLX of global coordinates of global nodes, we can use the matrix NOD as follows. The global coordinate $x_i^{(n)}$ of the $i$ th node of the $n$th element is the same as the global coordinate $X_I$ of the global node $I$, where $I=$ $\operatorname{NOD}(n, i)$ :
$$
\left{x_i^{(n)}\right}=\left{X_l\right}, \quad I=\operatorname{NOD}(n, i) \rightarrow \operatorname{ELX}(i)=\operatorname{GLX}(\operatorname{NOD}(n, i))
$$
有限元方法代考
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典型的有限元程序由三个基本单元组成(如图8.3.1所示):
预处理机
处理机
后处理程序
在程序的预处理器部分，问题的输入数据被读入和/或生成。这包括几何(例如，域的长度和边界条件)，问题的数据(例如，微分方程中的系数)，有限元网格信息(例如，元素类型，元素数量，元素长度，节点坐标和连通性矩阵)，以及各种选项的指标(例如，打印，不打印，分析的现场问题类型，静态分析，特征值分析，瞬态分析和插值程度)。
在处理器部分，除后处理外，执行前面章节中讨论的有限元分析的所有步骤。处理器的主要步骤是:
用数值积分法生成元素矩阵。
单元方程的装配。
施加边界条件。
求解主变量节点值的代数方程。
数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Preprocessor
预处理器单元包括读取输入数据、生成有限元网格、打印数据和网格信息。有限元程序的输入数据包括单元类型、IELEM(即拉格朗日单元或Hermite单元)、网格中单元数(NEM)、主、次变量的指定边界条件(边界条件个数、全局节点数和自由度、自由度的指定值)、全局节点的全局坐标和单元属性[如系数$a(x), b(x), c(x), f(x)$等]。读入域的长度，在程序中生成节点的全局坐标。
根据程序的便利性和复杂性，处理生成有限元网格信息(当用户不提供时)的预处理器部分可以分离成子程序(MESH1D)。网格生成包括全局坐标$X_I$和连通性数组NOD $\left(=B_{i j}\right)$的计算。回想一下，连接性矩阵描述了元素节点与全局节点之间的关系:
$\operatorname{NOD}(n, j)=$元素$n$的第$j$个(本地)节点对应的全局节点号
该数组用于组装过程以及将信息从元素传递到全局系统，反之亦然。例如，要从全局节点的全局坐标的向量GLX中提取元素节点的全局坐标的向量ELX，我们可以使用如下的矩阵NOD。$n$元素的$i$第th节点的全局坐标$x_i^{(n)}$与全局节点$I$的全局坐标$X_I$相同，其中$I=$$\operatorname{NOD}(n, i)$:
$$
\left{x_i^{(n)}\right}=\left{X_l\right}, \quad I=\operatorname{NOD}(n, i) \rightarrow \operatorname{ELX}(i)=\operatorname{GLX}(\operatorname{NOD}(n, i))
$$
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有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。