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MAST20022｜Group Theory and Linear Algebra群论与线性代数 墨尔本大学

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课程介绍：

This subject introduces the theory of groups, which is at the core of modern algebra, and which has applications in many parts of mathematics, chemistry, computer science and theoretical physics. It also develops the theory of linear algebra, building on material in earlier subjects and providing both a basis for later mathematics studies and an introduction to topics that have important applications in science and technology.

Topics include: modular arithmetic and RSA cryptography; abstract groups, homomorphisms, normal subgroups, quotient groups, group actions, symmetry groups, permutation groups and matrix groups; theory of general vector spaces, inner products, linear transformations, spectral theorem for normal matrices, Jordan normal form.

MAST20022｜Group Theory and Linear Algebra群论与线性代数 墨尔本大学

Group Theory and Linear Algebra群论与线性代数案例

问题 1.

Let $\mathbf{A}$ be a $n$ by $n$ matrix, then the following 4 statements are equivalent:
(a) The matrix $\mathbf{A}$ is invertible (non-singular).
(b) The linear system $\mathbf{A x}=\mathbf{O}$ only has the trivial solution $\mathbf{x}=\mathbf{O}$.

(c) The reduced row echelon form of the matrix $\mathbf{A}$ is the identity matrix $\mathbf{I}$.
(d) $\mathbf{A}$ is a product of elementary matrices.


We show (a) implies (b) and (b) implies (c) and (c) implies (d) and (d) implies (a). In symbolic notation, this is (a) $\Rightarrow(b) \Rightarrow(c) \Rightarrow(d) \Rightarrow(a)$. We first prove (a) implies (b).
For $(\mathbf{a}) \Rightarrow(\mathbf{b})$ :
We assume statement (a) to be true and deduce statement (b).
By assuming $\mathbf{A}$ is an invertible matrix we need to show that the linear system $\mathbf{A x}=\mathbf{O}$ only has the trivial solution $\mathbf{x}=\mathbf{O}$. Consider the linear system $\mathbf{A x}=\mathbf{O}$, because $\mathbf{A}$ is invertible, therefore there is a unique matrix $\mathbf{A}^{-1}$ such that $\mathbf{A}^{-1} \mathbf{A}=\mathbf{I}$. Multiplying both sides of $\mathbf{A x}=\mathbf{O}$ by $\mathbf{A}^{-1}$ yields
$$
\begin{aligned}
& \underbrace{\mathbf{A}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{x}}_{=\mathbf{I}}=\mathbf{A}^{-1} \mathbf{O} \
& \qquad \mathbf{I x}=\mathbf{A}^{-1} \mathbf{O}=\mathbf{O} \
& \mathbf{I x}=\mathbf{O} \text { which gives } \mathbf{x}=\mathbf{O} \quad[\text { because } \mathbf{I x}=\mathbf{x}]
\end{aligned}
$$
The answer $\mathbf{x}=\mathbf{O}$ means that we only have the trivial solution $\mathbf{x}=\mathbf{O}$. Hence we have shown (a) $\Rightarrow$ (b). Next we prove (b) implies (c).
For $(b) \Rightarrow(c)$ :
The procedure to prove (b) $\Rightarrow$ (c) is to assume statement (b) and deduce (c). This time we assume that $\mathbf{A x}=\mathbf{O}$ only has the trivial solution $\mathbf{x}=\mathbf{O}$ and, by using this, prove that the reduced row echelon form of the matrix $\mathbf{A}$ is the identity matrix $\mathbf{I}$.

The reduced row echelon form of matrix A cannot have a row (equation) of zeros, otherwise we would have $n$ unknowns but less than $n$ non-zero rows (equations), which means that by Proposition (1.31): if $r<n$ then the linear system $\mathbf{A x}=\mathbf{O}$ has an infinite number of solutions.

We would have an infinite number of solutions. However, we only have a unique solution to $\mathbf{A x}=\mathbf{O}$, therefore there are no zero rows.

Question (7) of Exercises 1.7 claims: the reduced row echelon form of a matrix is either the identity $\mathbf{I}$ or it contains a row of zeros.
Hence the reduced row echelon form of $\mathbf{A}$ is the identity matrix. We have (b) $\Rightarrow$ (c). For $(c) \Rightarrow$ (d):
In this case, we assume part (c), that is ‘the reduced row echelon form of the matrix $\mathbf{A}$ is the identity matrix I’, which means that the matrix $\mathbf{A}$ is row equivalent to the identity matrix I. By definition (1.33):
$\mathbf{B}$ is row equivalent to a matrix $A$ if and only if $\mathbf{B}=\mathbf{E}n \mathbf{E}{n-1} \cdots \mathbf{E}2 \mathbf{E}_1 \mathbf{A}$. There are elementary matrices $\mathbf{E}_1, \mathbf{E}_2, \mathbf{E}_3, \ldots$ and $\mathbf{E}_k$ such that $$ \begin{aligned} \mathbf{A} & =\mathbf{E}_k \mathbf{E}{k-1} \cdots \mathbf{E}2 \mathbf{E}_1 \mathbf{I} \ & =\mathbf{E}_k \mathbf{E}{k-1} \cdots \mathbf{E}_2 \mathbf{E}_1
\end{aligned}
$$
[because $\mathbf{A}$ is row equivalent to $\mathbf{I}$ ]

This shows that matrix $\mathbf{A}$ is a product of elementary matrices. We have (c) $\Rightarrow$ (d). For $(\mathbf{d}) \Rightarrow$ (a):
In this last case, we assume that matrix $\mathbf{A}$ is a product of elementary matrices and deduce that matrix A is invertible. By Proposition (1.34): an elementary matrix is invertible.

We know that elementary matrices are invertible (have an inverse) and therefore the matrix multiplication $\mathbf{E}k \mathbf{E}{k-1} \cdots \mathbf{E}2 \mathbf{E}_1$ is invertible. In fact, we have $$ \begin{aligned} \mathbf{A}^{-1} & =\left(\mathbf{E}_k \mathbf{E}{k-1} \cdots \mathbf{E}2 \mathbf{E}_1\right)^{-1} \ & =\mathbf{E}_1^{-1} \mathbf{E}_2^{-1} \cdots \mathbf{E}{k-1}^{-1} \mathbf{E}_k^{-1} \quad\left[\text { because }(\mathbf{X Y Z})^{-1}=\mathbf{Z}^{-1} \mathbf{Y}^{-1} \mathbf{X}^{-1}\right]
\end{aligned}
$$
Hence the matrix $\mathbf{A}$ is invertible, which means that we have proven (d) $\Rightarrow$ (a). We have shown (a) $\Rightarrow$ (b) $\Rightarrow$ (c) $\Rightarrow$ (d) $\Rightarrow$ (a) which means that the four statements (a), (b), (c) and (d) are equivalent.

问题 2. Let $\mathbf{A}$ be a square matrix and $\mathbf{R}$ be the reduced row echelon form of $\mathbf{A}$. Then $\mathbf{R}$ has at least one row of zeros $\Leftrightarrow \mathbf{A}$ is non-invertible (singular).

The proof of this result can be made a lot easier if we understand some mathematical logic. Generally to prove a statement of the type $P \Leftrightarrow Q$ we assume $P$ to be true and then deduce $Q$. Then we assume $Q$ to be true and deduce $P$.
However, in mathematical logic this can also be proven by showing:
$$
(\operatorname{Not} P) \Leftrightarrow(\operatorname{Not} Q)
$$
Means that $(\operatorname{Not} P) \Rightarrow(\operatorname{Not} Q)$ and $(\operatorname{Not} Q) \Rightarrow(\operatorname{Not} P)$. This is because statements $P \Leftrightarrow Q$ and $(\operatorname{Not} P) \Leftrightarrow($ Not $Q)$ are equivalent. See website for more details.
The following demonstrates this proposition.


MAST20022｜Group Theory and Linear Algebra群论与线性代数 墨尔本大学

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


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回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

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PHYC10004｜Physical Science & Technology物理科学与技术 墨尔本大学

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课程介绍：

Fluids: water and air pressure, breathing, hydraulics, flight (pressure in fluids, buoyancy, fluid flow, viscosity, surface tension).
Electricity and magnetism: electrical devices, lightning, household electricity and electrical safety, electric motors, power generation and transmission, Earth’s magnetic field, particle accelerators, communications (electric charge and field, conductors and insulators, electric potential, capacitance, resistance, electric circuits, magnetic field, Faraday’s law of induction, Maxwell’s equations, electromagnetic waves).
Quantum and atomic physics: spectroscopy, lasers (photon, blackbody radiation, matter waves, quantisation in atoms, interaction of light with matter, x-rays).
Nuclear physics and radiation: nuclear energy, radiation safety, formation of atoms in stars, carbon dating (the atomic nucleus, radioactive decay, half-life, ionising radiation, nuclear fission and fusion).

PHYC10004｜Physical Science & Technology物理科学与技术 墨尔本大学

Physical Science & Technology物理科学与技术案例

问题 1. What information about a quantum system can you obtain from the wavefunction?

The wavefunction contains all possible information about the state of a quantum system. Thus from the wavefunction it is possible to extract information about the probability of measurement outcomes for any observable (thus also the expectation values of the observables). The probability distribution function of the system position (obtained from the absolute value square of the wavefunction) is just one of the .


问题 2.

6) Which one of the following statements (if any) is correct, based on the properties of the angular momentum and its eigenfunctions?
a) A particle is in the angular momentum eigenstate, $\psi_{l, m_z}(\vartheta, \varphi)=\left|l=3, m_z=-4\right\rangle$.

b) A particle is in the angular momentum eigenstate, $\psi_{l, m_x, m_z}(\vartheta, \varphi)=\left|l=4, m_x=3, m_z=-2\right\rangle$.
c) A particle is in the angular momentum eigenstate, $\psi_{l, m_x}(\vartheta, \varphi)=\left|l=4, m_x=3\right\rangle$.

We know that the eigenvalues of $L^2$ and the components $L_x, L_z, L_y$ have to satisfy the relationship: $-l \leq m \leq l$. Thus the first statement is incorrect.

The second statement is also not possible because $L_x$ and $L_z$ do not commute, thus there cannot be a common eigenfunction of the two operators with a fixed $m_x$ and $m_z$. The last statement is instead a valid eigenfunction of the angular momentum operator.
Note: many of you tried to answer this question from considerations regarding the relationship $\hat{L}^2=\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2$. If we apply this equation to the state $\left|l=3, m_z=-4\right\rangle$, this gives:
$$
\hbar^2 3(3+1)\left|l=3, m_z=-4\right\rangle=\left(\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2\right)\left|l=3, m_z=-4\right\rangle+\hbar^2 4^2\left|l=3, m_z=-4\right\rangle
$$
Changing the order of the equation we obtain it implies that $\left|l=3, m_z=-4\right\rangle$ is an eigenfunction of the operator $\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2$, with eigenvalue $-4 \hbar^2$ :
$$
\left(\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2\right)\left|l=3, m_z=-4\right\rangle=\hbar^2\left(3(3+1)-4^2\right)\left|l=3, m_z=-4\right\rangle=-4 \hbar^2\left|l=3, m_z=-4\right\rangle
$$
However the operator $\left(\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2\right)$ should have positive eigenvalues: Thus the state $\left|l=3, m_z=-4\right\rangle$ cannot be an eigenfunction of $\hat{L}^2, \hat{L}_z$.
Note that the equations above are operator equations, or, when applied to functions, equations involving functions. They are not directly equations involving the eigenvalues alone. Thus I cannot state the implication:
$$
\hat{L}^2=\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2 \rightarrow \hbar^2 l(l+1)=\hbar^2 m_x^2+\hbar^2 m_y^2+\hbar^2 m_z^2
$$
The only thing I can state is if I consider the expectation value of the operators wrt a valid eigenfunction:
$$
\begin{gathered}
\left\langle l, m_z\left|\hat{L}^2\right| l, m_z\right\rangle=\left\langle l, m_z\left|\hat{L}_x^2\right| l, m_z\right\rangle+\left\langle l, m_z\left|\hat{L}_y^2\right| l, m_z\right\rangle+\left\langle l, m_z\left|\hat{L}_z^2\right| l, m_z\right\rangle \
\rightarrow \quad \hbar^2 l(l+1)=\left\langle l, m_z\left|\hat{L}_x^2\right| l, m_z\right\rangle+\left\langle l, m_z\left|\hat{L}_y^2\right| l, m_z\right\rangle+\hbar^2 m_z^2
\end{gathered}
$$
$\left|l, m_z\right\rangle$ is not an eigenfunction of $\hat{L}_x$ and $\hat{L}_y$ so the previous equation is not correct.


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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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