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随机过程 用于表示在时间上发展的统计现象以及在处理这些现象时出现的理论模型，由于这些现象在许多领域都会遇到，因此这篇文章具有广泛的实际意义。

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Global Carleman Estimate for Stochastic Parabolic

In this subsection, as a preliminary to prove Theorem 9.28 , we shall derive a global Carleman estimate for the following stochastic parabolic equation:
$$
\begin{cases}d h-\sum_{j, k=1}^n\left(a^{j k} h_{x_j}\right){x_k} d t=f d t+g d W(t), & \text { in } Q, \ h=0, & \text { on } \Sigma, \ h(0)=h_0, & \text { in } G,\end{cases} $$ where $h_0 \in L{\mathcal{F}_0}^2\left(\Omega ; L^2(G)\right)$, while $f$ and $g$ are suitable stochastic processes to be given later.

We begin with the following known technical result (See [117, p. 4, Lemma 1.1] and [337, Lemma 2.1] for its proof), which shows the existence of a nonnegative function with an arbitrarily given critical point location in $G$.
Lemma 9.29. For any nonempty open subset $G_1$ of $G$, there is a $\psi \in C^{\infty}(\bar{G})$ such that $\psi>0$ in $G, \psi=0$ on $\Gamma$, and $|\nabla \psi(x)|>0$ for all $x \in \overline{G \backslash G_1}$.
In the rest of this section, we choose $\theta$ and $\ell$ as that in (9.88), and $\psi$ given by Lemma 9.29 with $G_1$ being any fixed nonempty open subset of $G$ such that $\overline{G_1} \subset G_0$. The desired Carleman estimate for $(9.94)$ is stated as follows:

Theorem 9.30. There is a constant $\mu_0=\mu_0\left(G, G_0,\left(a^{j k}\right){n \times n}, T\right)>0$ such that for all $\mu \geq \mu_0$, one can find two constants $\mathcal{C}=\mathcal{C}(\mu)>0$ and $\lambda_0=\lambda_0(\mu)>$ 0 such that for any $\lambda \geq \lambda_0, h_0 \in L{\mathcal{F}0}^2\left(\Omega ; L^2(G)\right), f \in L{\mathbb{F}}^2\left(0, T ; L^2(G)\right)$ and $g \in$ $L_{\mathbb{F}}^2\left(0, T ; H^1(G)\right)$, the corresponding solution $h \in L_{\mathbb{F}}^2\left(\Omega ; C\left([0, T] ; L^2(G)\right)\right) \cap$ $L_F^2\left(0, T ; H_0^1(G)\right)$ to $(9.94)$ satisfies
$$
\begin{aligned}
& \lambda^3 \mu^4 \mathbb{E} \int_Q \theta^2 \varphi^3 h^2 d x d t+\lambda \mu^2 \mathbb{E} \int_Q \theta^2 \varphi|\nabla h|^2 d x d t \
& \leq \mathcal{C} \mathbb{E}\left[\int_Q \theta^2\left(f^2+|\nabla g|^2+\lambda^2 \mu^2 \varphi^2 g^2\right) d x d t+\lambda^3 \mu^4 \int_{Q_0} \theta^2 \varphi^3 h^2 d x d t\right]
\end{aligned}
$$
Proof: We barrow some idea from [117]. We shall use Theorem 9.27 with $b^{j k}$ being replaced by $a^{j k}$ (and hence $\mathbf{u}=h$ ). The proof is divided into three steps.

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Global Carleman Estimate for Stochastic Parabolic

In this subsection, we derive an improved global Carleman estimate for the forward stochastic parabolic equation (9.94).

Throughout this subsection, $\mu=\mu_0$ and $\lambda \geq \lambda_0$ are given as that in Theorem 9.30, and $\theta$ and $\varphi$ are the same as that in the last subsection.

For any fixed $f, g \in L_F^2\left(0, T ; L^2(G)\right)$ and $h_0 \in L_{\mathcal{F}0}^2\left(\Omega ; L^2(G)\right)$, let $h$ denote the corresponding solution to the equation (9.94). Based on the Carleman estimate in Corollary 9.32 , we give below a “partial” null controllability result for the following controlled backward stochastic parabolic equation: $$ \begin{cases}d r+\sum{j, k=1}^n\left(a^{j k} r_{x_j}\right){x_k} d t=\left(\lambda^3 \theta^2 \varphi^3 h+\chi{G_1} u\right) d t+R d W(t) & \text { in } Q, \ r=0 & \text { on } \Sigma, \ r(T)=0 & \text { in } G,\end{cases}
$$
where $u \in L_{\mathbb{F}}^2\left(0, T ; L^2\left(G_1\right)\right)$ is the control variable and $(r, R)$ is the state variable.

Proposition 9.33. There exists a control $\hat{u} \in L_{\mathrm{F}}^2\left(0, T ; L^2\left(G_1\right)\right)$ such that the corresponding solution $(\hat{r}, \widehat{R}) \in\left(L_{\mathbb{F}}^2\left(\Omega ; C\left([0, T] ; L^2(G)\right)\right) \cap L_{\mathbb{F}}^2\left(0, T ; H_0^1(G)\right)\right)$ $\times L_{\mathbb{F}}^2\left(0, T ; L^2(G)\right)$ to $(9.108)$ with $u=\hat{u}$ satisfies $\hat{r}(0)=0$ in $G$, a.s. Moreover,
$$
\mathbb{E} \int_Q \theta^{-2}\left(\hat{r}^2+\lambda^{-3} \varphi^{-3} \hat{u}^2+\lambda^{-2} \varphi^{-2} \widehat{R}^2\right) d x d t \leq \mathcal{C} \lambda^3 \mathbb{E} \int_Q \theta^2 \varphi^3 h^2 d x d t .
$$

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Global Carleman Estimate for Stochastic Parabolic

在本小节中，作为定理 9.28 的初步证明，我们将推导以下随机抛物线方程的全局 Carleman 估计:
$$
\left{d h-\sum_{j, k=1}^n\left(a^{j k} h_{x_j}\right) x_k d t=f d t+g d W(t), \quad \text { in } Q, h=0, \quad \text { on } \Sigma, h(0)=h_0,\right.
$$
在哪里 $h_0 \in L \mathcal{F}0{ }^2\left(\Omega ; L^2(G)\right)$ ，尽管 $f$ 和 $g$ 是稍后给出的合适的随机过程。 我们从以下已知的技术结果开始（参见 [117，第 4 页，引理 1.1] 和 [337，引理 2.1] 的证 明），它表明存在一个具有任意给定临界点位置的非负函数 $G$. 引理 9.29。对于任何非空开子集 $G_1$ 的 $G$ ，有一个 $\psi \in C^{\infty}(\bar{G})$ 这样 $\psi>0$ 在 $G, \psi=0$ 在 $\Gamma$ ， 和 $|\nabla \psi(x)|>0$ 对全部 $x \in \overline{G \backslash G_1}$. 在本节的其余部分，我们选择 $\theta$ 和 $\ell$ 与 (9.88) 中的一样，并且 $\psi$ 由引理 9.29 给出 $G_1$ 是的任何固 定非空开子集 $G$ 这样 $\overline{G_1} \subset G_0$. 所需的 Carleman 估计(9.94)说明如下: 定理 9.30。有一个常数 $\mu_0=\mu_0\left(G, G_0,\left(a^{j k}\right) n \times n, T\right)>0$ 这样对于所有人 $\mu \geq \mu_0$ ，可 以找到两个常数 $\mathcal{C}=\mathcal{C}(\mu)>0$ 和 $\lambda_0=\lambda_0(\mu)>0$ 这样对于任何 $\lambda \geq \lambda_0, h_0 \in L \mathcal{F} 0^2\left(\Omega ; L^2(G)\right), f \in L \mathbb{F}^2\left(0, T ; L^2(G)\right)$ 和 $g \in L{\mathbb{F}}^2\left(0, T ; H^1(G)\right)$,
对应的解 $h \in L_{\mathbb{F}}^2\left(\Omega ; C\left([0, T] ; L^2(G)\right)\right) \cap L_F^2\left(0, T ; H_0^1(G)\right)$ 到 $(9.94)$ 满足
$$
\lambda^3 \mu^4 \mathbb{E} \int_Q \theta^2 \varphi^3 h^2 d x d t+\lambda \mu^2 \mathbb{E} \int_Q \theta^2 \varphi|\nabla h|^2 d x d t \quad \leq \mathcal{C} \mathbb{E}\left[\int _ { Q } \theta ^ { 2 } \left(f^2+|\nabla g|^2+\lambda^2\right.\right.
$$
证明: 我们借鉴了[117]中的一些想法。我们将使用定理 $9.27 b^{j k}$ 被取代 $a^{j k}$ (因此 $\mathbf{u}=h$ ). 证 明分为三个步骤。

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Global Carleman Estimate for Stochastic Parabolic

在本小节中，我们推导出前向随机抛物线方程 (9.94) 的改进全局 Carleman 估计。
在本小节中， $\mu=\mu_0$ 和 $\lambda \geq \lambda_0$ 在定理 9.30 中给出，并且 $\theta$ 和 $\varphi$ 与上一节中的相同。
对于任何固定 $f, g \in L_F^2\left(0, T ; L^2(G)\right)$ 和 $h_0 \in L_{\mathcal{F} 0}^2\left(\Omega ; L^2(G)\right)$ ，让 $h$ 表示方程 (9.94) 的相应解。基于推论 9.32 中的 Carleman 估计，我们在下面给出以下受控后向随机抛物线方 程的“部分”零可控性结果：
$$
\left{d r+\sum j, k=1^n\left(a^{j k} r_{x_j}\right) x_k d t=\left(\lambda^3 \theta^2 \varphi^3 h+\chi G_1 u\right) d t+R d W(t) \quad \text { in } Q, r=0\right.
$$
在哪里 $u \in L_{\mathbb{F}}^2\left(0, T ; L^2\left(G_1\right)\right)$ 是控制变量和 $(r, R)$ 是状态变量。
提案 9.33。存在一个控件 $\hat{u} \in L_{\mathrm{F}}^2\left(0, T ; L^2\left(G_1\right)\right)$ 使得相应的解决方案 $(\hat{r}, \widehat{R}) \in\left(L_{\mathbb{F}}^2\left(\Omega ; C\left([0, T] ; L^2(G)\right)\right) \cap L_{\mathbb{F}}^2\left(0, T ; H_0^1(G)\right)\right) \times L_{\mathbb{F}}^2\left(0, T ; L^2(G)\right)$ 到 $(9.108)$ 和 $u=\hat{u}$ 满足 $\hat{r}(0)=0$ 在 $G$ ，作为 此外，
$$
\mathbb{E} \int_Q \theta^{-2}\left(\hat{r}^2+\lambda^{-3} \varphi^{-3} \hat{u}^2+\lambda^{-2} \varphi^{-2} \widehat{R}^2\right) d x d t \leq \mathcal{C} \lambda^3 \mathbb{E} \int_Q \theta^2 \varphi^3 h^2 d x d t
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Proof of the Negative Null Controllability Result

In this subsection, we show the lack of null controllability for the system (9.58), presented in Theorem 9.19.

Proof of Theorem 9.19: First, we prove that the system (9.58) is not null controllable if $a_5(\cdot)=0$ in $(0, T) \times \Omega$, a.e.

Without loss of generality, we may assume that the coefficient $a_6(\cdot)$ in the system (9.58) is equal to 0 (Otherwise, we introduce a simple transformation $\tilde{y}=y, \tilde{z}(t)=e^{-\int_0^t a_6(s) d s} z(t)$ and $\tilde{u}=u$ and consider the system for the new state variable $(\tilde{y}, \tilde{z})$ and the control variable $\tilde{u})$. Then, by the system (9.58), and noting that $a_5(\cdot)=a_6(\cdot)=0$ in $(0, T) \times \Omega$, a.e., we find that $(\mathbb{E} y, \mathbb{E} z)$ solves
$$
\begin{cases}(\mathbb{E} y)t-\sum{j, k=1}^n\left(a^{j k}(\mathbb{E} y){x_j}\right){x_k}=\mathbb{E}\left(a_1(t) y+a_2(t) z+\chi_{G_0} u\right) & \text { in } Q, \ (\mathbb{E} z)t-\sum{j, k=1}^n\left(a^{i j}(\mathbb{E} z){x_j}\right){x_k}=0 & \text { in } Q, \ \mathbb{E} y=\mathbb{E} z=0 & \text { on } \Sigma, \ (\mathbb{E} y)(0)=y_0,(\mathbb{E} z)(0)=z_0 & \text { in } G .\end{cases}
$$
Since there is no control in the second equation of (9.73), $\mathbb{E} z$ cannot be driven to the rest for any time $T$ if $z_0 \neq 0$ in $G$.

Next, we prove that the system (9.58) is not null controllable if $a_8(\cdot) \neq 0$ in $(0, T) \times \Omega$, a.e. and $\frac{a_5(\cdot)}{a_8(\cdot)} \in L_{\mathrm{F}}^{\infty}(0, T)$.

In the following, we construct a nontrivial solution $(\alpha, \beta, K, R)$ to (9.60) such that $a_5(t) \alpha+a_8(t) K=0$ and $(\bar{\beta}, R)=0$ in $\bar{Q}$, a.s. For this purpose, we consider the following linear stochastic differential equation:
$$
\left{\begin{array}{l}
d \zeta-\lambda_1 \zeta d t=a_6(t) \zeta d t-\frac{a_5(t)}{a_8(t)} \zeta d W(t) \text { in }(0, T) \
\zeta(0)=1
\end{array}\right.
$$

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Observability Estimate for Stochastic Parabolic

In this section, we shall establish an observability estimate for the stochastic parabolic equation (9.16). The main content of this section is taken from $[218,315]$
We have the following result.
Theorem 9.28. Let the condition (9.17) be satisfied. Then, solutions to (9.16) satisfy that, for any $z_0 \in L_{\mathcal{F}0}^2\left(\Omega ; L^2\left(G ; \mathbb{R}^m\right)\right)$, $$ |z(T)|{L_{\mathcal{F}T}^2\left(\Omega ; L^2\left(G ; \mathbb{R}^m\right)\right)} \leq \mathcal{C} e^{\mathcal{C} R_2^2}|z|{L_F^2\left(0, T ; L^2\left(G_0 ; \mathbb{R}^m\right)\right)},
$$
where $R_2$ is given in Corollary 9.5.
We shall give a proof of Theorem 9.28 in Subsection 9.5.3. For simplicity, we consider only the case $m=1$.

In this subsection, as a preliminary to prove Theorem 9.28 , we shall derive a global Carleman estimate for the following stochastic parabolic equation:
$$
\begin{cases}d h-\sum_{j, k=1}^n\left(a^{j k} h_{x_j}\right){x_k} d t=f d t+g d W(t), & \text { in } Q \ h=0, & \text { on } \Sigma, \ h(0)=h_0, & \text { in } G\end{cases} $$ where $h_0 \in L{\mathcal{F}_0}^2\left(\Omega ; L^2(G)\right)$, while $f$ and $g$ are suitable stochastic processes to be given later.

We begin with the following known technical result (See [117, p. 4, Lemma 1.1] and [337, Lemma 2.1] for its proof), which shows the existence of a nonnegative function with an arbitrarily given critical point location in $G$.
Lemma 9.29. For any nonempty open subset $G_1$ of $G$, there is a $\psi \in C^{\infty}(\bar{G})$ such that $\psi>0$ in $G, \psi=0$ on $\Gamma$, and $|\nabla \psi(x)|>0$ for all $x \in \overline{G \backslash G_1}$.

In the rest of this section, we choose $\theta$ and $\ell$ as that in (9.88), and $\psi$ given by Lemma 9.29 with $G_1$ being any fixed nonempty open subset of $G$ such that $\overline{G_1} \subset G_0$. The desired Carleman estimate for $(9.94)$ is stated as follows:

Theorem 9.30. There is a constant $\mu_0=\mu_0\left(G, G_0,\left(a^{j k}\right){n \times n}, T\right)>0$ such that for all $\mu \geq \mu_0$, one can find two constants $\mathcal{C}=\mathcal{C}(\mu)>0$ and $\lambda_0=\lambda_0(\mu)>$ 0 such that for any $\lambda \geq \lambda_0, h_0 \in L{\mathcal{F}0}^2\left(\Omega ; L^2(G)\right), f \in L{\mathrm{F}}^2\left(0, T ; L^2(G)\right)$ and $g \in$ $L_{\mathbb{F}}^2\left(0, T ; H^1(G)\right)$, the corresponding solution $h \in L_{\mathbb{F}}^2\left(\Omega ; C\left([0, T] ; L^2(G)\right)\right) \cap$ $L_{\mathrm{F}}^2\left(0, T ; H_0^1(G)\right)$ to $(9.94)$ satisfies
$$
\begin{aligned}
& \lambda^3 \mu^4 \mathbb{E} \int_Q \theta^2 \varphi^3 h^2 d x d t+\lambda \mu^2 \mathbb{E} \int_Q \theta^2 \varphi|\nabla h|^2 d x d t \
& \leq \mathcal{C} \mathbb{E}\left[\int_Q \theta^2\left(f^2+|\nabla g|^2+\lambda^2 \mu^2 \varphi^2 g^2\right) d x d t+\lambda^3 \mu^4 \int_{Q_0} \theta^2 \varphi^3 h^2 d x d t\right]
\end{aligned}
$$

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Proof of the Negative Null Controllability Result

在本小节中，我们将展示定理 9.19 中提出的系统 (9.58) 缺乏零可控性。
定理 9.19 的证明: 首先，我们证明系统 (9.58) 不是空可控的，如果 $a_5(\cdot)=0$ 在 $(0, T) \times \Omega$, a.e
不失一般性，我们可以假设系数 $a_6(\cdot)$ 在系统 (9.58) 中等于0 (否则，我们引入一个简单的变 换 $\tilde{y}=y, \tilde{z}(t)=e^{-\int_0^t a_6(s) d s} z(t)$ 和 $\tilde{u}=u$ 并考虑新状态变量的系统 $(\tilde{y}, \tilde{z})$ 和控制变量 $\left.\tilde{u}\right)$. 然后，通过系统 (9.58)，并注意到 $a_5(\cdot)=a_6(\cdot)=0$ 在 $(0, T) \times \Omega$, ae, 我们发现 $(\mathbb{E} y, \mathbb{E} z)$ 解决
$$
\left{(\mathbb{E} y) t-\sum j, k=1^n\left(a^{j k}(\mathbb{E} y) x_j\right) x_k=\mathbb{E}\left(a_1(t) y+a_2(t) z+\chi_{G_0} u\right) \quad \text { in } Q,(\mathbb{E} z) t\right.
$$
由于在 (9.73) 的第二个方程中没有控制， $\mathbb{E} z$ 任何时候都不能被驱龪到休息处 $T$ 如果 $z_0 \neq 0$ 在 $G$.
接下来，我们证明系统 (9.58) 不是空可控的，如果 $a_8(\cdot) \neq 0$ 在 $(0, T) \times \Omega$, 和 $\frac{a_5(\cdot)}{a_8(\cdot)} \in L_{\mathrm{F}}^{\infty}(0, T)$
下面，我们构建一个非平凡的解决方案 $(\alpha, \beta, K, R)$ 到 $(9.60)$ 这样 $a_5(t) \alpha+a_8(t) K=0$ 和 $(\bar{\beta}, R)=0$ 在 $\bar{Q}$ ，为此，我们考虑以下线性随机微分方程:
$\$ \$$
Veft
$$
d \zeta-\lambda_1 \zeta d t=a_6(t) \zeta d t-\frac{a_5(t)}{a_8(t)} \zeta d W(t) \text { in }(0, T) \zeta(0)=1
$$
l正确的。
$\$ \$$

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Observability Estimate for Stochastic Parabolic

在本节中，我们将为随机抛物线方程 (9.16) 建立可观察性估计。本节主要内容摘自 $[218,315]$ 我们有以下结果。
定理 9.28。让条件 (9.17) 满足。然后，(9.16) 的解满足，对于任何 $z_0 \in L_{\mathcal{F} 0}^2\left(\Omega ; L^2\left(G ; \mathbb{R}^m\right)\right)$
$$
|z(T)| L_{\mathcal{F} T}^2\left(\Omega ; L^2\left(G ; \mathbb{R}^m\right)\right) \leq \mathcal{C} e^{\mathcal{C} R_2^2}|z| L_F^2\left(0, T ; L^2\left(G_0 ; \mathbb{R}^m\right)\right),
$$
在哪里 $R_2$ 在推论 9.5 中给出。
我们将在 9.5.3 小节给出定理 9.28 的证明。为简单起见，我们只考虑这种情况 $m=1$.
在本小节中，作为定理 9.28 的初步证明，我们将推导以下随机抛物线方程的全局 Carleman 估计：
$\left{d h-\sum_{j, k=1}^n\left(a^{j k} h_{x_j}\right) x_k d t=f d t+g d W(t), \quad\right.$ in $Q h=0, \quad$ on $\Sigma, h(0)=h_0$,
在哪里 $h_0 \in L \mathcal{F}0^2\left(\Omega ; L^2(G)\right)$ ，尽管 $f$ 和 $g$ 是稍后给出的合适的随机过程。 我们从以下已知的技术结果开始（参见 [117，第 4 页，引理 1.1] 和 [337，引理 2.1] 的证 明），它表明存在一个具有任意给定临界点位置的非负函数 $G$. 引理 9.29。对于任何非空开子集 $G_1$ 的 $G$, 有一个 $\psi \in C^{\infty}(\bar{G})$ 这样 $\psi>0$ 在 $G, \psi=0$ 在 $\Gamma$ ， 和 $|\nabla \psi(x)|>0$ 对全部 $x \in \overline{G \backslash G_1}$. 在本节的其余部分，我们选择 $\theta$ 和 $\ell$ 与 (9.88) 中的一样，并且 $\psi$ 由引理 9.29 给出 $G_1$ 是的任何固 定非空开子集 $G$ 这样 $\overline{G_1} \subset G_0$. 所需的 Carleman 估计(9.94)说明如下: 定理 9.30。有一个常数 $\mu_0=\mu_0\left(G, G_0,\left(a^{j k}\right) n \times n, T\right)>0$ 这样对于所有人 $\mu \geq \mu_0$, 可 以找到两个常数 $\mathcal{C}=\mathcal{C}(\mu)>0$ 和 $\lambda_0=\lambda_0(\mu)>0$ 这样对于任何 $\lambda \geq \lambda_0, h_0 \in L \mathcal{F} 0^2\left(\Omega ; L^2(G)\right), f \in L \mathrm{~F}^2\left(0, T ; L^2(G)\right)$ 和 $g \in L{\mathbb{F}}^2\left(0, T ; H^1(G)\right)$,
对应的解 $h \in L_{\mathbb{F}}^2\left(\Omega ; C\left([0, T] ; L^2(G)\right)\right) \cap L_{\mathrm{F}}^2\left(0, T ; H_0^1(G)\right)$ 到 $(9.94)$ 满足
$$
\lambda^3 \mu^4 \mathbb{E} \int_Q \theta^2 \varphi^3 h^2 d x d t+\lambda \mu^2 \mathbb{E} \int_Q \theta^2 \varphi|\nabla h|^2 d x d t \quad \leq \mathcal{C} \mathbb{E}\left[\int _ { Q } \theta ^ { 2 } \left(f^2+|\nabla g|^2+\lambda^2\right.\right.
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

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时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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随机过程 用于表示在时间上发展的统计现象以及在处理这些现象时出现的理论模型，由于这些现象在许多领域都会遇到，因此这篇文章具有广泛的实际意义。

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Formulation of the Problems

The $(F, \Gamma)$-controllability concept introduced in Definition 5.6 (in Section 5.3 of Chapter 5) is quite general, which is very hard to be studied (even in the deterministic setting and in finite dimensions). In this chapter, we shall focus mainly on exact/null/approximate controllability problems for stochastic linear evolution equations in the abstract setting.

Throughout this chapter, $H, V$ and $U$ are three Hilbert spaces which are identified with their dual spaces, $\mathcal{L}2^0 \triangleq \mathcal{L}_2(V ; H)$, and $A$ is the generator of a $C_0$-semigroup ${S(t)}{t \geq 0}$ on $H$. In this chapter, $H$ and $U$ will serve as respectively the state and the control spaces for the systems under consideration unless other stated.

For any fixed $T>0$ and a control operator $B \in \mathcal{L}(U ; H)$, we begin with the following deterministic controlled evolution equation:
$$
\left{\begin{array}{l}
y_t(t)=A y(t)+B u(t) \quad \text { in }(0, T], \
y(0)=y_0,
\end{array}\right.
$$
where $y_0 \in H, y$ is the state variable, and $u\left(\in L^2(0, T ; U)\right)$ is the control variable. The exact/null/approximate controllability of (7.1) can be defined as that in Definition 5.6. For example, the system (7.1) is called exactly (resp. null) controllable at time $T$ if for any $y_0, y_T \in H$ (resp. $y_0 \in H$ ), one can find a control $u \in L^2(0, T ; U)$ so that the corresponding solution to (7.1) verifies $y(T)=y_T($ resp. $y(T)=0)$

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Well-Posedness of Stochastic Systems

In this section, we shall use the transposition method to establish the wellposedness of stochastic control systems (7.8) and (7.9).

In order to define transposition solutions to $(7.8)$, we introduce the following (backward stochastic) test equation evolved in $O$ :
$$
\left{\begin{array}{l}
d \xi(t)=-\left(A^* \xi(t)+\mathcal{F}(t)^* \xi(t)+\mathcal{G}(t)^* \Xi(t)\right) d t+\Xi(t) d W(t) \text { in }[0, \tau), \
\xi(\tau)=\xi_\tau .
\end{array}\right.
$$
In (7.14), $\tau \in[0, T]$ and $\xi_\tau \in L_{\mathcal{F}\tau}^2(\Omega ; O)$. Recall that we assume $\mathbb{F}$ is the natural filtration. Hence, by Theorem $4.10$, the equation $(7.14)$ admits a unique mild solution $(\xi, \Xi) \in L{\mathbb{F}}^2(\Omega ; C([0, \tau] ; O))$ $\times L_{\mathbb{F}}^2\left(0, \tau ; \mathcal{L}2(V ; O)\right)$ such that $$ |(\xi, \Xi)|{L_F^2(\Omega ; C([0, \tau] ; O)) \times L_F^2\left(0, \tau ; \mathcal{L}2(V ; O)\right)} \leq \mathcal{C}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\left|\xi\tau\right|{L{\mathcal{F}\gamma}^2(\Omega ; O)} $$ We make the following additional assumptions. Condition 7.1 There exists a sequence $\left{u_n\right}{n=1}^{\infty} \subset \mathcal{U}T$ such that $\mathcal{B} u_n \in$ $L{\mathbb{F}}^2\left(0, T ; O^{\prime}\right)$ and $\mathcal{D} u_n \in L_{\mathbb{F}}^2\left(0, T ; \mathcal{L}2\left(V ; O^{\prime}\right)\right)$ for each $n \in \mathbb{N}$ and $$ \lim {n \rightarrow \infty} u_n=u \quad \text { in } \mathcal{U}T \text {. } $$ Condition 7.2 There exists a constant $\mathcal{C}>0$ such that for any $\tau \in[0, T]$ and $\xi\tau \in L_{\mathcal{F}\tau}^2(\Omega ; O)$, the solution $(\xi, \Xi)$ to (7.14) satisfies that $$ \left|\mathcal{B}^* \xi+\mathcal{D}^* \Xi\right|{L_F^2(0, \tau ; U)} \leq \mathcal{C}\left|\xi_\tau\right|{L{\mathcal{F}\tau}^2(\Omega ; O)} $$ Remark 7.10. When $\mathcal{D}$ is bounded, i.e., $\mathcal{D} \in \mathcal{L}\left(U ; \mathcal{L}_2\left(V ; O^{\prime}\right)\right)$, the condition $\mathcal{D} u_n \in L{\mathbb{F}}^2\left(0, T ; \mathcal{L}2\left(V ; O^{\prime}\right)\right)$ in Condition $7.1$ holds automatically, and the inequality (7.17) in Condition $7.2$ is equivalent to the following estimate: $$ \left|\mathcal{B}^* \xi\right|{L_F^2(0, \tau ; U)} \leq \mathcal{C}\left|\xi_\tau\right|{L{\mathcal{F}_\tau}^2(\Omega ; O)}
$$

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Formulation of the Problems

这 $(F, \Gamma)$ – 定义 $5.6$ (第 5 章 $5.3$ 节) 中引入的可控性概念非常笼统，很难研究 (即使在确定 性设置和有限维中）。在本章中，我们将主要关注抽象设置中随机线性演化方程的精确零/近 似可控性问题。
在本章中， $H, V$ 和 $U$ 是三个希尔伯特空间，用它们的对偶空间来标识， $\mathcal{L} 2^0 \triangleq \mathcal{L}_2(V ; H)$ ， 和 $A$ 是a的生成器 $C_0$-半群 $S(t) t \geq 0$ 在 $H$. 在这一章当中， $H$ 和 $U$ 除非另有说明，否则将分别 用作所考虑系统的状态和控制空间。
对于任何固定 $T>0$ 和一个控制操作员 $B \in \mathcal{L}(U ; H)$ ，我们从以下确定性受控进化方程开 始:
$\$ \$$
Veft {
$$
y_t(t)=A y(t)+B u(t) \quad \text { in }(0, T], y(0)=y_0,
$$
\正确的。
$\$ \$$
哪里 $y_0 \in H, y$ 是状态变量，并且 $u\left(\in L^2(0, T ; U)\right)$ 是控制变量。(7.1) 的精确/零近似可控 性可以定义为定义 $5.6$ 中的可控性。例如，系统 (7.1) 在时间上被称为完全 (resp.null) 可控 $T$ 如果有的话 $y_0, y_T \in H$ (分别。 $y_0 \in H$ ), 可以找到一个控件 $u \in L^2(0, T ; U$ )使得 (7.1) 的相应解验证 $y(T)=y_T($ 分别 $y(T)=0)$

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Well-Posedness of Stochastic Systems

在本节中，我们将使用转置法来建立随机控制系统（7.8) 和（7.9) 的适定性。
为了定义转置解决方案 (7.8)，我们引入了以下 (后向随机) 测试方程 $O$ :
$\$ \$$
$\sqrt{1}$ 左 {
$d \xi(t)=-\left(A^* \xi(t)+\mathcal{F}(t)^* \xi(t)+\mathcal{G}(t)^* \Xi(t)\right) d t+\Xi(t) d W(t)$ in $[0, \tau), \xi(\tau)=\xi_\tau$
正确的。
$\operatorname{In}(7.14), \$ \tau \in[0, T] \$ a n d \$ \xi_\tau \in L_{\mathcal{F}\tau}^2(\Omega ; O) \$$. Recallthatweassume $\$ \mathbb{F}$ \$isthenatur $|(\backslash x i, \backslash X i)|\left{L{-} F^{\wedge} 2(\backslash O m e g a ; C([0, \backslash t a u] ; O)) \backslash\right.$ times L_F^2\left(0, Itau ; Imathcal ${\mathrm{L}} 2(V$;
O)\right)} \leq \mathcal${C}(\backslash m a t h c a l{F}, \backslash m a t h c a \mid{G}) \backslash \backslash e f t|\backslash x i \backslash t a u \backslash r i g h t|$
$\left{\mathrm{L}{\text { mathcal{F}\gamma }}^{\wedge} 2(\backslash O m e g a ; O)\right}$
$\backslash \lim {\mathrm{n} \backslash$ rightarrow $\backslash$ infty $}$ u_n=u \quad $\backslash$ text ${$ in $} \backslash m a t h c a \mid{U} T \backslash t e x t{$.
Condition7.2Thereexistsaconstant $\$ \mathcal{C}>0 \$$ suchthatforany $\$ \tau \in[0, T] \$ a n d \$ \xi \tau$
$\backslash$ left $|\backslash m a t h c a|{B}^{\wedge *} \backslash x i+\backslash m a t h c a l{D}^{\wedge} \backslash$ Xi $\backslash$ right $\mid\left{L_{-} F^{\wedge} 2(0, \backslash\right.$ tau $\left.; U)\right} \backslash l e q$
Imathcal{C}$\backslash$ left $\mid \backslash x i _\backslash$ tau $\backslash$ right $\mid{L{\backslash m a t h c a l{F} \backslash t a u} \wedge 2(\backslash O m e g a ; O)}$
Remark7.10.When $\$ \mathcal{D} \$ i$ isbounded, i.e., $\$ \mathcal{D} \in \mathcal{L}\left(U ; \mathcal{L}2\left(V ; O^{\prime}\right)\right) \$$, thecondition $\$$ \eft $\left|\backslash m a t h c a l{B}^{\wedge *} \backslash x i \backslash r i g h t\right|\left{L{-} F^{\wedge} 2(0, \backslash t a u ; U)\right} \backslash e q \backslash$ mathcal${C} \backslash \backslash e f t\left|\backslash x i _I t a u \backslash r i g h t\right|$ $\left{\mathrm{L}\left{\text { \mathcal }{F}_{-} \backslash \operatorname{Itau}\right}^{\wedge} 2(\backslash \mathrm{Omega} ; O)\right}$
$\$ \$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

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广义线性模型代考

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随机分析代写

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时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Control System With a Control in the Drift Term

In this subsection, we study a special case for which the control is only acted in the drift term.
Let us consider the following special case of the system (6.1):
$$
\left{\begin{array}{l}
d y=(A y+B u) d t+C y d W(t) \text { in }[0, T], \
y(0)=y_0 .
\end{array}\right.
$$
In (6.30), $u(\cdot) \in L_{\mathbb{F}}^1\left(0, T ; L^2\left(\Omega ; \mathbb{R}^m\right)\right)$ is the control variable and $y(\cdot)$ is the state. Clearly, $y(\cdot) \in L_{\mathbb{F}}^2\left(\Omega ; C\left([0, T] ; \mathbb{R}^n\right)\right)$. The exact controllability for (6.30) is defined as follows:

Definition 6.12. The system (6.30) is called exactly controllable (at time T) if for any $y_0 \in \mathbb{R}^n$ and $y_1 \in L_{\mathcal{F}T}^2\left(\Omega ; \mathbb{R}^n\right)$, there exists a control $u(\cdot) \in$ $L{\mathbb{F}}^1\left(0, T ; L^2\left(\Omega ; \mathbb{R}^m\right)\right)$ so that the corresponding solution $y$ to $(6.30)$ verifies that $y(T)=y_1$, a.s.
Let us first show the following preliminary result.
Theorem 6.13. Let $H$ be a Hilbert space and $p \in[1, \infty)$. For any $\xi \in$ $L_{\mathcal{F}T}^p(\Omega ; H)$, there is an $f \in L{\mathbb{P}}^1\left(0, T ; L^p(\Omega ; H)\right)$ such that $$
\xi=\int_0^T f(t) d t
$$
and
$$
|f(\cdot)|{L_F^1\left(0, T ; L^p(\Omega ; H)\right)} \leq|\xi|{\left.L_{\mathcal{F}T}^p(\Omega ; H)\right)} . $$ Proof: For any $p \in[1, \infty)$, define an operator $\mathbb{L}_T: L_F^1\left(0, T ; L^p(\Omega ; H)\right) \rightarrow$ $L{\mathcal{F}_T}^p(\Omega ; H)$ by
$$
\mathbb{L}_T(f(\cdot))=\int_0^T f(t) d t, \quad \forall f(\cdot) \in L_F^1\left(0, T ; L^p(\Omega ; H)\right) .
$$

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Lack of Robustness for Null

In this section we shall show the lack of robustness for null/approximate controllability for stochastic differential equations.

We begin with the following two notions of controllability for the system $(6.1)$

Definition 6.22. The system (6.1) is called null controllable (at time $T$ ) if for any $y_0 \in \mathbb{R}^n$, there exists a control $u(\cdot) \in L_{\mathbb{F}}^1\left(0, T ; L^2\left(\Omega ; \mathbb{R}^m\right)\right.$ so that $D u \in L_{\mathrm{F}}^{2, l o c}\left(0, T ; \mathbb{R}^n\right)$ and the corresponding solution $y(\cdot)$ to (6.1) satisfies $y(T)=0$, a.s.

Definition 6.23. The system (6.1) is called approximately controllable (at time T) if for any $y_0 \in \mathbb{R}^n, y_1 \in L_{\mathcal{F}T}^2\left(\Omega ; \mathbb{R}^n\right)$ and $\varepsilon>0$, there exists a control $u(\cdot) \in L{\mathbb{F}}^1\left(0, T ; L^2\left(\Omega ; \mathbb{R}^m\right)\right.$ so that $D u \in L_{\mathbb{F}}^{2, l o c}\left(0, T ; \mathbb{R}^n\right)$ and the corresponding solution $y(\cdot)$ to $(6.1)$ satisfies that $y(T) \in L_{\mathcal{F}T}^2\left(\Omega ; \mathbb{R}^n\right)$ and that $\left|y(T)-y_1\right|{L_{\mathcal{F}_T}^2\left(\Omega ; \mathbb{R}^n\right)}<\varepsilon$

To show the lack of robustness for null/approximate controllability for (6.1), we consider the following very simple stochastic control system (in two dimensions):
$$
\begin{cases}d y_1=y_2 d t+\varepsilon y_2 d W(t) & \text { in }[0, T], \ d y_2=u d t & \text { in }[0, T], \ y_1(0)=y_{10}, y_2(0)=y_{20}, & \end{cases}
$$
where $\left(y_{10}, y_{20}\right) \in \mathbb{R}^2, u(\cdot) \in L_{\mathrm{F}}^1\left(0, T ; L^2(\Omega)\right)$ is the control variable, $\varepsilon$ is a parameter.

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Control System With a Control in the Drift Term

在本小节中，我们研究了一种特殊情况，即仅在漂移项中进行控制。 让我们考虑系统 (6.1) 的以下特例:
$\$ \$$
Veft {
$$
d y=(A y+B u) d t+C y d W(t) \text { in }[0, T], y(0)=y_0
$$
、正确的。
$\$ \$$
在 (6.30) 中， $u(\cdot) \in L_{\mathbb{F}}^1\left(0, T ; L^2\left(\Omega ; \mathbb{R}^m\right)\right)$ 是控制变量和 $y(\cdot)$ 是状态。清楚地， $y(\cdot) \in L_{\mathbb{F}}^2\left(\Omega ; C\left([0, T] ; \mathbb{R}^n\right)\right)$. (6.30) 的精确可控性定义如下:
定义 6.12。系统 (6.30) 被称为精确可控 (在时间 $T$ ) $y_0 \in \mathbb{R}^n$ 和 $y_1 \in L_{\mathcal{F} T}^2\left(\Omega ; \mathbb{R}^n\right)$, 存在 一个控制 $u(\cdot) \in L \mathbb{F}^1\left(0, T ; L^2\left(\Omega ; \mathbb{R}^m\right)\right)$ 使得对应的解 $y$ 到 $(6.30)$ 证实 $y(T)=y_1$ ， as 让我们首先展示以下初步结果。
定理 6.13。让 $H$ 是一个希尔伯特空间并且 $p \in[1, \infty)$. 对于任何 $\xi \in L_{\mathcal{F} T}^p(\Omega ; H)$ ，有一个 $f \in L \mathbb{P}^1\left(0, T ; L^p(\Omega ; H)\right)$ 这样
$$
\xi=\int_0^T f(t) d t
$$
和
$$
\left.|f(\cdot)| L_F^1\left(0, T ; L^p(\Omega ; H)\right) \leq|\xi| L_{\mathcal{F} T}^p(\Omega ; H)\right)
$$
证明: 对于任何 $p \in[1, \infty)$ ，定义一个运算符 $\mathbb{L}_T: L_F^1\left(0, T ; L^p(\Omega ; H)\right) \rightarrow L \mathcal{F}_T^p(\Omega ; H)$ 经过
$$
\mathbb{L}_T(f(\cdot))=\int_0^T f(t) d t, \quad \forall f(\cdot) \in L_F^1\left(0, T ; L^p(\Omega ; H)\right) .
$$

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Lack of Robustness for Null

在本节中，我们将展示随机微分方程的零近似可控性缺乏鲁棒性。
我们从系统的以下两个可控性概念开始(6.1)
定义 6.22。系统 (6.1) 称为零可控 (在时间 $T$ ) 如果有的话 $y_0 \in \mathbb{R}^n$ ，存在一个控制 $u(\cdot) \in L_{\mathbb{F}}^1\left(0, T ; L^2\left(\Omega ; \mathbb{R}^m\right)\right.$ 以便 $D u \in L_{\mathrm{F}}^{2, l o c}\left(0, T ; \mathbb{R}^n\right)$ 以及相应的解决方案 $y(\cdot)$ 到 (6.1) 满足 $y(T)=0$ ，作为
定义 6.23。系统 (6.1) 被称为近似可控 (在时间 $T$ ) 如果 $y_0 \in \mathbb{R}^n, y_1 \in L_{\mathcal{F} T}^2\left(\Omega ; \mathbb{R}^n\right)$ 和 $\varepsilon>0$, 存在一个控制 $u(\cdot) \in L \mathbb{F}^1\left(0, T ; L^2\left(\Omega ; \mathbb{R}^m\right)\right.$ 以便 $D u \in L_{\mathbb{F}}^{2, \text { loc }}\left(0, T ; \mathbb{R}^n\right)$ 以及相 应的解诀方案 $y(\cdot)$ 到 $(6.1)$ 满足那个 $y(T) \in L_{\mathcal{F} T}^2\left(\Omega ; \mathbb{R}^n\right)$ 然后 $\left|y(T)-y_1\right| L_{\mathcal{F}T}^2\left(\Omega ; \mathbb{R}^n\right)<\varepsilon$ 为了显示 (6.1) 的零近似可控性缺乏鲁棒性，我们考虑以下非常简单的随机控制系统（二 维)： $$ \left{d y_1=y_2 d t+\varepsilon y_2 d W(t) \quad \text { in }[0, T], d y_2=u d t \quad \text { in }[0, T], y_1(0)=y{10}, y_2(0)=y_{20}\right.
$$
在哪里 $\left(y_{10}, y_{20}\right) \in \mathbb{R}^2, u(\cdot) \in L_{\mathrm{F}}^1\left(0, T ; L^2(\Omega)\right)$ 是控制变量， $\varepsilon$ 是一个参数。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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随机过程 用于表示在时间上发展的统计现象以及在处理这些现象时出现的理论模型，由于这些现象在许多领域都会遇到，因此这篇文章具有广泛的实际意义。

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• Foundations of Data Science 数据科学基础

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Stochastic Evolution Equations in Finite Dimensions

In this section, we shall consider the well-posedness of stochastic evolution equations in finite dimensions, i.e., stochastic (ordinary) differential equations.
Fix $d, n \in \mathbb{N}$ and $p \geq 1$. Let $W(\cdot)=\left(W^1(\cdot), \cdots, W^d(\cdot)\right)^{\top}$ be an $d-$ dimensional standard Brownian motion. We consider the following stochastic differential equation:
$$
\left{\begin{array}{l}
d X(t)=F(t, X) d t+\tilde{F}(t, X) d W(t) \quad \text { in }[0, T], \
X(0)=X_0 .
\end{array}\right.
$$
In (3.1), $X$ is an unknown, and the initial datum $X_0$ is a given $\mathcal{F}_0$-measurable $\mathbb{R}^n$-valued function; $F(\cdot, \cdot, \cdot):[0, T] \times \Omega \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ and $\widetilde{F}(\cdot, \cdot, \cdot):[0, T] \times$ $\Omega \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^{n \times d}$ are two given functions. Here and in what follows, when the context is clear, we omit the $\omega(\in \Omega)$ argument in the defined functions. In the sequel, we call $F(t, X) d t$ and $\widetilde{F}(t, X) d W(t)$ the drift and diffusion terms of $(3.1)$, respectively.

To begin with, as for ordinal differential equations, one needs to define the solution to (3.1). The following is the most natural one.

Definition 3.1. An $\mathbb{R}^n$-valued, F-adapted, continuous process $X(\cdot)$ is called a solution to (3.1) if $F(\cdot, X(\cdot)) \in L^1\left(0, T ; \mathbb{R}^n\right)$ a.s., $\widetilde{F}(\cdot, X(\cdot)) \in L_{\mathrm{F}}^{2, \text { loc }}(0, T$; $\left.\mathbb{R}^{n \times d}\right)$, and for each $t \in[0, T]$,
$$
X(t)=X_0+\int_0^t F(s, X(s)) d s+\int_0^t \widetilde{F}(s, X(s)) d W(s), \quad \text { a.s. }
$$
The solution to (3.1) is said to be unique, if for any other solution $Y(\cdot)$ to (3.1), one has $\mathbb{P}({X(t)=Y(t), t \in[0, T]})=1$.
In the rest of this section, we assume that
1) Both $F(\cdot, x)$ and $\widetilde{F}(\cdot, x)$ are $\mathbf{F}$-adapted for each $x \in \mathbb{R}^n$; and
2) $F(\cdot, 0) \in L_{\mathbb{F}}^p\left(\Omega ; L^1\left(0, T ; \mathbb{R}^n\right)\right)$ and $\widetilde{F}(\cdot, 0) \in L_{\mathbb{F}}^p\left(\Omega ; L^2\left(0, T ; \mathbb{R}^{n \times d}\right)\right)$, and there exist two nonnegative functions $L_1(\cdot) \in L^1(0, T)$ and $L_2(\cdot) \in L^2(0, T)$ such that for any $x, y \in \mathbb{R}^n$ and a.e. $t \in[0, T]$,
$$
\left{\begin{array}{l}
|F(t, x)-F(t, y)|{\mathbb{R}^n} \leq L_1(t)|x-y| \mathbb{R}^n, \ |\widetilde{F}(t, x)-\widetilde{F}(t, y)|{\mathbb{R}^{n \times d}} \leq L_2(t)|x-y|_{\mathbb{R}^n},
\end{array} \quad\right. \text { a.s. }
$$
The fundamental existence and uniqueness result for the equation (3.1) is as follows.

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Well-Posedness of Stochastic Evolution Equations

In the rest of this chapter, $W(\cdot)$ may be a $V$-valued, $Q$-Brownian motion or cylindrical Brownian motion but we only consider the case of cylindrical Brownian motion.
We consider the following stochastic evolution equation:
$$
\left{\begin{array}{l}
d X(t)=(A X(t)+F(t, X(t))) d t+\tilde{F}(t, X(t)) d W(t) \quad \text { in }(0, T], \
X(0)=X_0 .
\end{array}\right.
$$
Here $X_0: \Omega \rightarrow H$ is an $\mathcal{F}0$-random variable, $A$ generates a $C_0$-semigroup ${S(t)}{t \geq 0}$ on $H$, and $F(\cdot, \cdot):[0, T] \times \Omega \times H \rightarrow H$ and $\widetilde{F}(\cdot, \cdot):[0, T] \times \Omega \times$ $H \rightarrow \mathcal{L}_2^0$ are two given functions. Similarly to the case of finite dimensions, in the sequel, we call $(A X(t)+F(t, X(t))) d t$ and $\widetilde{F}(t, X) d W(t)$ the drift and diffusion terms of $(3.16)$, respectively.
It is easy to show the following result (and hence we omit the details).
Proposition 3.5. For any $g \in L_F^{2, l o c}\left(0, T ; \mathcal{L}_2^0\right)$, the $H$-valued, stochastic process $\int_0 S(\cdot-s) g(s) d W(s)$ has a continuous modification ${ }^1$.

Similar to the case of deterministic evolution equations, one has several ways to define solutions to (3.16). The most natural way seems to be the following one.

Example 3.7. Let $V=\mathbb{R},{T(t)}_{t \geq 0}$ be another $C_0$-semigroups on $H$ with the infinitesimal generator $B$ so that $D(A) \subset D\left(B^2\right)$ and $S(\cdot) T(\cdot)=T(\cdot) S(\cdot)$ (Particularly, we may take $B=I$ ). Then, by Itô’s formula, a strong solution to the following equation
$$
\left{\begin{array}{l}
d X(t)=A X(t) d t+\frac{1}{2} B^2 X(t) d t+B X(t) d W \quad \text { in }[0, \infty), \
X(0)=X_0 \in D(A),
\end{array}\right.
$$
is given by $X(t)=S(t)\left(T(W(t)) X_0\right)$.

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Stochastic Evolution Equations in Finite Dimensions

在本节中，我们将考虑有限维随机演化方程的适定性，即随机（常) 微分方程。
使固定 $d, n \in \mathbb{N}$ 和 $p \geq 1$. 让 $W(\cdot)=\left(W^1(\cdot), \cdots, W^d(\cdot)\right)^{\top}$ 豆 $d$-维标准布朗运动。我们考虑以下随 机微分方程:
$\$ \$$
Veft {
$$
d X(t)=F(t, X) d t+\tilde{F}(t, X) d W(t) \quad \text { in }[0, T], X(0)=X_0 .
$$
\正确的。
$\$ \$$
在 (3.1) 中， $X$ 是末知数，初始数据 $X_0$ 是给定的 $\mathcal{F}0$-可衡量的 $\mathbb{R}^n$-值函数; $F(\cdot, \cdot, \cdot):[0, T] \times \Omega \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ 和 $\widetilde{F}(\cdot, \cdot, \cdot):[0, T] \times \Omega \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^{n \times d}$ 是两个给定的函数。在 这里和接下来的内容中，当上下文清楚时，我们省略了 $\omega(\in \Omega)$ 定义函数中的参数。在续集中，我们称 $F(t, X) d t$ 和 $\widetilde{F}(t, X) d W(t)$ 的漂移和扩散项 $(3.1)$ ，分别。 首先，对于序微分方程，需要定义 (3.1) 的解。下面是最自然的。 定义 3.1。一个 $\mathbb{R}^n$-valued, F-adapted, continuous process $X(\cdot)$ 被称为 (3.1) 的解，如果 $F(\cdot, X(\cdot)) \in L^1\left(0, T ; \mathbb{R}^n\right)$ 作为， $\widetilde{F}(\cdot, X(\cdot)) \in L{\mathrm{F}}^{2, \text { loc }}\left(0, T ; \mathbb{R}^{n \times d}\right)$ ，并且对于每个 $t \in[0, T]$,
$$
X(t)=X_0+\int_0^t F(s, X(s)) d s+\int_0^t \widetilde{F}(s, X(s)) d W(s), \quad \text { a.s. }
$$
如果对于任何其他解决方案，则 (3.1) 的解决方案被认为是唯一的 $Y(\cdot)$ 对于 (3.1)，一个有 $\mathbb{P}(X(t)=Y(t), t \in[0, T])=1$.
在本节的其余部分，我们假设
1) 两者 $F(\cdot, x)$ 和 $\widetilde{F}(\cdot, x)$ 是 $\mathbf{F}-$ 适应每个 $x \in \mathbb{R}^n$; 和
2) $F(\cdot, 0) \in L_{\mathbb{F}}^p\left(\Omega ; L^1\left(0, T ; \mathbb{R}^n\right)\right)$ 和 $\widetilde{F}(\cdot, 0) \in L_{\mathbb{F}}^p\left(\Omega ; L^2\left(0, T ; \mathbb{R}^{n \times d}\right)\right)$, 并且存在两个非负函数 $L_1(\cdot) \in L^1(0, T)$ 和 $L_2(\cdot) \in L^2(0, T)$ 这样对于任何 $x, y \in \mathbb{R}^n$ 和aet $\in[0, T]$,
$\$ \$$
左 {
$$
|F(t, x)-F(t, y)| \mathbb{R}^n \leq L_1(t)|x-y| \mathbb{R}^n,|\widetilde{F}(t, x)-\widetilde{F}(t, y)| \mathbb{R}^{n \times d} \leq L_2(t)|x-y|_{\mathbb{R}^n},
$$
四边形对。Itext ${$ as $}$
$\$ \$$
等式 (3.1）的基本存在唯一性结果如下。

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Well-Posedness of Stochastic Evolution Equations

在本章的其余部分， $W(\cdot)$ 可能是一个 $V$-有价值的， $Q$-布朗运动或圆柱布朗运动但我们只考虑圆柱布朗 运动的情况。 我们考虑以下随机演化方程: $\$ \$$
$\backslash \operatorname{left}{$
$$
d X(t)=(A X(t)+F(t, X(t))) d t+\tilde{F}(t, X(t)) d W(t) \quad \text { in }(0, T], X(0)=X_0
$$
\正确的。
$\$ \$$
这里 $X_0: \Omega \rightarrow H$ 是一个 $\mathcal{F} 0$-随机变量， $A$ 生成一个 $C_0$-半群 $S(t) t \geq 0$ 在 $H$ ，和
$F(\cdot, \cdot):[0, T] \times \Omega \times H \rightarrow H$ 和 $\widetilde{F}(\cdot, \cdot):[0, T] \times \Omega \times H \rightarrow \mathcal{L}2^0$ 是两个给定的函数。类似于有限 维的情况，在续集中，我们称 $(A X(t)+F(t, X(t))) d t$ 和 $\widetilde{F}(t, X) d W(t)$ 的漂移和扩散项 (3.16)， 分别。 很容易显示以下结果（因此我们省略了细节）。 提案 3.5。对于任何 $g \in L_F^{2, l o c}\left(0, T ; \mathcal{L}_2^0\right)$ ，这 $H$ – 有值的随机过程 $\int_0 S(\cdot-s) g(s) d W(s)$ 有连续修 改 ${ }^1$. 与确定性演化方程的情况类似，有几种方法可以定义 (3.16) 的解。最自然的方式似乎是以下一种。 例 3.7。让 $V=\mathbb{R}, T(t){t \geq 0}$ 成为另一个 $C_0$-半群 $H$ 用无穷小发生器 $B$ 以便 $D(A) \subset D\left(B^2\right)$ 和 $S(\cdot) T(\cdot)=T(\cdot) S(\cdot)$ (特别是，我们可以采取 $B=I$ ). 然后，根据 Itô 的公式，以下方程的强解 $\$ \$$
Veft {
$$
d X(t)=A X(t) d t+\frac{1}{2} B^2 X(t) d t+B X(t) d W \quad \text { in }[0, \infty), X(0)=X_0 \in D(A),
$$
\正确的。
$\$ \$$
由 $X(t)=S(t)\left(T(W(t)) X_0\right)$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Martingale Representation Theorem

In this subsection, we always assume that $\mathbf{F}=\left{\mathcal{F}t\right}{t \in[0, T]}$ is the natural filtration generated by the underlying Brownian motion $W(\cdot)$, which can be an $\mathbb{R}^m$-valued (for some $m \in \mathbb{N}$ ), or a $V$-valued, $Q$-Brownian motion, or a $V$-valued, cylindrical Brownian motion but it can be clarified by the context. The goal of this subsection is to prove that any $\eta \in L_{\mathcal{F}T}^2(\Omega ; H)$ with mean 0 can be represented as an Itô integral of a suitable process w.r.t. $W(\cdot)$. We begin with some auxiliary results. Lemma 2.144. Let $W(\cdot)=\left(W_1(\cdot), \cdots, W_m(\cdot)\right)^{\top}$ be an $\mathbb{R}^m$-valued Brownian motion. Then, the following set $$ \begin{array}{r} \left{\phi\left(W_1\left(t_1\right), \cdots, W_1\left(t_n\right), \cdots, W_m\left(t_1\right), \cdots, W_m\left(t_n\right)\right) \mid 0{\mathcal{F}_T}^2(\Omega)$.
Proof: Without loss of generality, we only consider the case that $m=1$. The proof for the general case is similar.

Let $\left{s_i\right}_{i=1}^{\infty}$ be a dense subset of $(0, T]$ and for each $n=1,2, \cdots$, let $\left{s_i\right}_{i=1}^n=\left{t_i\right}_{i=1}^n$ with $0<t_1<\cdots<t_n \leq T$, and $\mathcal{F}^n=\sigma\left(W\left(t_1\right), W\left(t_2\right)-\right.$ $\left.W\left(t_1\right), \cdots, W\left(t_n\right)-W\left(t_{n-1}\right)\right)$. Then, $\mathcal{F}^n \subset \mathcal{F}^{n+1}$ and $\mathcal{F}T$ is the smallest $\sigma$-algebra containing all of the $\mathcal{F}^n$ ‘s. Therefore, $\mathcal{F}_T=\sigma\left(\bigcup{n=1}^{\infty} \mathcal{F}^n\right)$.
Fix any $g \in L_{\mathcal{F}T}^2(\Omega)$. By Theorem $2.96$, we have that $$ g=\mathbb{E}\left(g \mid \mathcal{F}_T\right)=\lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{E}\left(g \mid \mathcal{F}^n\right), \quad \text { in } L_{\mathcal{F}T}^2(\Omega) . $$ By the Doob-Dynkin lemma (i.e., Theorem 2.13), for each $n$, we have that $$ \mathbb{E}\left(g \mid \mathcal{F}^n\right)=g_n\left(W\left(t_1\right), W\left(t_2\right)-W\left(t_1\right), \cdots, W\left(t_n\right)-W\left(t{n-1}\right)\right)
$$
for some Borel measurable function $g_n: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$.

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Notes and Comments

Stochastic Analysis is a huge subject which is still growing up and flourishing. In this chapter, we only present a brief introduction to the relevant results will be used in the rest of the book, and we omit the proofs of some classical results, which can be found in almost all standard books (e.g., [57, 164, 287]). Interested readers can find more materials in the references such as $[58,68,129,140]$. Theorem $2.55$ was proved in [239]. Section $2.5$ was based on [242]. The proof of Theorem 2.140 (Burkholder-Davis-Gundy inequality) can be found in [68], for example. Note that the inverse inequality of (2.137) (resp. (2.138)) in Theorem $2.140$ is also true, i.e., one can prove that
$$
\mathbb{E}\left(\sup {t \in[0, T]}\left|\int_0^t f(s) d W(s)\right|_H^p\right) \geq \frac{1}{\mathcal{C}_p} \mathbb{E}\left(\int_0^T\left|f(s) Q^{\frac{1}{2}}\right|{\mathcal{L}2^0}^2 d s\right)^{\frac{p}{2}} $$ (resp. $$ \left.\mathbb{E}\left(\sup {t \in[0, T]}\left|\int_0^t f(s) d W(s)\right|H^p\right) \geq \frac{1}{\mathcal{C}_p} \mathbb{E}\left(\int_0^T|f(s)|{\mathcal{L}_2^0}^2 d s\right)^{\frac{p}{2}}\right),
$$
but we will not use it in this book. The readers are referred to [327] and the references therein for the general stochastic Fubini theorem. The proof of Theorem $2.142$ can be found in $[282,286]$. In this book, we present an elementary but long proof of the Martingale Representation Theorem (There exist some shorter proofs which need more preliminaries on stochastic analysis, e.g., $[160,175])$.

In this book, we use the Itô integral, which is the most common and useful way to define stochastic integral w.r.t. a Brownian motion. There are two other typical ways to define stochastic integral: Stratonovich integral (e.g., [176]) and rough path integral (e.g., [105, 250]). Stochastic integral (including multiple stochastic integral) w.r.t. more general stochastic processes can be found in $[129,176,182]$.

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Martingale Representation Theorem

在本小节中，我们始终假设 $\backslash$ Imathbf ${F}=\backslash l e f t{\backslash m a t h c a \mid{F} t \backslash r i g h t}{t \backslash i n[0, T]}$ 是由底层布朗运动产生的自然过 滤 $W(\cdot)$ ，这可以是 $\mathbb{R}^m$-有价值的（对于某些 $m \in \mathbb{N}$ ), 或 $V$-有价值的， $Q$-布朗运动，或 $V$ 值，圆柱形布 朗运动，但可以通过上下文来阐明。本小节的目的是证明任何 $\eta \in L_{\mathcal{F} T}^2(\Omega ; H)$ 平均值为 0 的 Itô 积分可 以表示为合适过程的 Itô 积分 $W(\cdot)$. 我们从一些辅助结果开始。引理 2.144。让
$W(\cdot)=\left(W_1(\cdot), \cdots, W_m(\cdot)\right)^{\top}$ 豆 $\mathbb{R}^m$ – 值布朗运动。然后，下面的集合 $\$ \$ \backslash$ begin $\left.{a r r a y} r\right}$
. Proof : Withoutlossofgenerality, weonlyconsiderthecasethat $=1 \$$ 。一般情况的证明是 晄似的。 Veft{s_i`right $}_{_}{\mathrm{i}=1}^{\wedge} n=\backslash$ left $\left{\mathrm{t} _ \text {i } \backslash \text { right }\right}_{-}{\mathrm{i}=1}^{\wedge} n$ 和 $0<t_1<\cdots<t_n \leq T$ ，和 $\mathcal{F}^n=\sigma\left(W\left(t_1\right), W\left(t_2\right)-W\left(t_1\right), \cdots, W\left(t_n\right)-W\left(t_{n-1}\right)\right)$. 然后， $\mathcal{F}^n \subset \mathcal{F}^{n+1}$ 和 $\mathcal{F} T$ 是最 小的 $\sigma$-包含所有的代数 $\mathcal{F}^n$ 的。所以， $\mathcal{F}T=\sigma\left(\bigcup n=1^{\infty} \mathcal{F}^n\right)$. 修复任何 $g \in L{\mathcal{F} T}^2(\Omega)$. 通过定理 $2.96$ ，我们有
$$
g=\mathbb{E}\left(g \mid \mathcal{F}T\right)=\lim n \rightarrow \infty \mathbb{E}\left(g \mid \mathcal{F}^n\right), \quad \text { in } L{\mathcal{F} T}^2(\Omega) .
$$
根据 Doob-Dynkin 引理（即定理 2.13），对于每个 $n$, 我们有
$$
\mathbb{E}\left(g \mid \mathcal{F}^n\right)=g_n\left(W\left(t_1\right), W\left(t_2\right)-W\left(t_1\right), \cdots, W\left(t_n\right)-W(t n-1)\right)
$$
对于某些 Borel 可测函数 $g_n: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$.

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Notes and Comments

随机分析是一门庞大的学科，它仍在成长和蓬勃发展。在本章中，我们只对本书其余部分会用到的相关 结果进行简要介绍，而省略了一些经典结果的证明，这些经典结果几乎可以在所有标准书籍中找到（例 如， $[57,164] ， 287])$. 有兴趣的读者可以在参考资料中找到更多资料，例如 $[58,68,129,140]$. 定理 $2.55$ 在[239]中得到证明。部分2.5是基于[242]。例如，可以在 [68] 中找到定理 $2.140$ (BurkholderDavis-Gundy 不等式) 的证明。请注意定理中 (2.137) (resp. (2.138)) 的逆不等式2.140也是真实的，也 就是说，可以证明
$$
\mathbb{E}\left(\sup t \in[0, T]\left|\int_0^t f(s) d W(s)\right|_H^p\right) \geq \frac{1}{\mathcal{C}_p} \mathbb{E}\left(\int_0^T\left|f(s) Q^{\frac{1}{2}}\right| \mathcal{L} 2^{0^2} d s\right)^{\frac{p}{2}}
$$
(分别
$$
\left.\mathbb{E}\left(\sup t \in[0, T]\left|\int_0^t f(s) d W(s)\right| H^p\right) \geq \frac{1}{\mathcal{C}_p} \mathbb{E}\left(\int_0^T|f(s)| \mathcal{L}_2^{0^2} d s\right)^{\frac{p}{2}}\right)
$$
但我们不会在本书中使用它。读者可以参考 [327] 和其中关于一般随机富比尼定理的参考资料。定理的证 明 $2.142$ 可以在 $[282,286]$. 在这本书中，我们提出了 Martingale 表示定理的基本但冗长的证明（存在一 些较短的证明，需要更多随机分析的预备知识，例如， $[160,175])$.
在本书中，我们使用 Itô 积分，这是定义布朗运动随机积分的最常见和最有用的方法。还有另外两种典型 的方法来定义随机积分: Stratonovich 积分（例如， [176]) 和粗略路径积分（例如，[105, 250]) 。可 以在中找到更一般的随机过程的随机积分（包括多重随机积分） $[129,176,182]$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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随机过程 用于表示在时间上发展的统计现象以及在处理这些现象时出现的理论模型，由于这些现象在许多领域都会遇到，因此这篇文章具有广泛的实际意义。

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• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Signed Measures

Let us begin with the following notion.
Definition 2.28. A function $\mu: \mathcal{F} \rightarrow[-\infty,+\infty]$ is called a signed measure on $(\Omega, \mathcal{F})$ if
1) $\mu(\emptyset)=0$;
2) $\mu\left(\bigcup_{j=1}^{\infty} A_j\right)=\sum_{j=1}^{\infty} \mu\left(A_j\right)$ for any sequence $\left{A_j\right}$ of mutually disjoint sets from $\mathcal{F}$; and
3) $\mu$ assumes at most one of the values $+\infty$ and $-\infty$.
Example 2.29. Let $\nu$ be a measure on $(\Omega, \mathcal{F})$ and $f$ be a real valued integrable function defined on $(\Omega, \mathcal{F}, \nu)$. Then
$$
\mu(A)=\int_A f d \nu, \quad \forall A \in \mathcal{F},
$$
defines a signed measure in $(\Omega, \mathcal{F})$. More generally, the above $\mu$ is still a signed measure if $f$ is a measurable function on $(\Omega, \mathcal{F})$, and one of $f^{+}$and $f^{-}$, the positive and negative parts of $f$, is integrable on $(\Omega, \mathcal{F}, \nu)$.

If $\mu$ is a signed measure on $(\Omega, \mathcal{F})$, we call a set $E \subset \Omega$ positive (resp. negative) (w.r.t. $\mu$ ) if for every $F \in \mathcal{F}, E \cap F$ is measurable, and $\mu(E \cap F) \geq 0$ (resp. $\mu(E \cap F) \leq 0)$.

Theorem 2.30. If $\mu$ is a signed measure on $(\Omega, \mathcal{F})$, then there exist two disjoint sets $A$ and $B$, whose union is $\Omega$, such that $A$ is positive and $B$ is negative w.r.t. $\mu$.

The sets $A$ and $B$ in Theorem $2.30$ are said a Hahn decomposition of $\Omega$ w.r.t. $\mu$. It is not difficult to construct examples to show that Hahn decomposition is not unique. However, if
$$
\Omega=A_1 \cup B_1 \quad \text { and } \quad \Omega=A_2 \cup B_2
$$
are two Hahn decomposition of $\Omega$, then it is easy to show that, for every measurable set $E$, it holds
$$
\mu\left(E \cap A_1\right)=\mu\left(E \cap A_2\right) \quad \text { and } \quad \mu\left(E \cap B_1\right)=\mu\left(E \cap B_2\right) .
$$

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Distribution, Density and Characteristic Functions

Let $\mathbb{P}$ be a probability measure on $(\Omega, \mathcal{F})$, and $X: \Omega \rightarrow H$ be a strongly measurable random variable. Then, as a special case of (2.11), $X$ induces a probability measure $\mathbb{P}_X$ on $(H, \mathcal{B}(H))$ via
$$
\mathbb{P}_X(A) \triangleq \mathbb{P}\left(X^{-1}(A)\right), \quad \forall A \in \mathcal{B}(H) .
$$
We call $\mathbb{P}_X$ the distribution of $X$. If $X$ is Bochner integrable w.r.t. $\mathbb{P}$, then by (2.5) and using (2.12) in Theorem $2.27$, we see that
$$
\mathbb{E} X=\int_H x d \mathbb{P}_X(x) .
$$
In the case of $H=\mathbb{R}^m$ (for some $m \in \mathbb{N}$ ), $\mathbb{P}_X$ can be uniquely determined by the following function:
$$
F(x) \triangleq F\left(x_1, \cdots, x_m\right) \triangleq \mathbb{P}\left{X_i \leq x_i, 1 \leq i \leq m\right},
$$

where $x=\left(x_1, \cdots, x_m\right)$ and $\left(X_1, \cdots, X_m\right)=X$. We call $F(x)$ the distribution function of $X$. If $\mathbb{P}X$ is absolutely continuous w.r.t. the Lebesgue measure in $\mathbb{R}^m$, then by the Radon-Nikodým theorem (i.e., Theorem 2.33), there exists a (nonnegative) function $f \in L^1\left(\mathbb{R}^m\right)$ such that $$ \mathbb{P}_X(A)=\int_A f(x) d x, \quad \forall A \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}^m\right) . $$ Particularly, $$ F(x)=\int{-\infty}^{x_1} \cdots \int_{-\infty}^{x_m} f\left(\xi_1, \cdots, \xi_m\right) d \xi_1 \cdots d \xi_m .
$$
The function $f(x)$ is called the density of $X$. As a special case, if $f(x)$ is of the following form:
$$
f(x)=\left[(2 \pi)^m \operatorname{det} Q\right]^{-1 / 2} \exp \left{-\frac{1}{2}(x-\lambda) Q^{-1}(x-\lambda)^{\top}\right}, \quad x \in \mathbb{R}^m,
$$
for some $\lambda \in \mathbb{R}^m, Q \in \mathbb{R}^{m \times m}$ with $Q^{\top}=Q>0$, then we say that $X$ has a normal distribution with parameter $(\lambda, Q)$, denoted by $X \sim \mathcal{N}(\lambda, Q)$. We call $X$ a Gaussian random variable (valued in $\mathbb{R}^m$ ) if $X$ has a normal distribution or $X$ is constant.

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Signed Measures

让我们从以下概念开始。
定义 2.28。一个功能 $\mu: \mathcal{F} \rightarrow[-\infty,+\infty]$ 被称为签名措施 $(\Omega, \mathcal{F})$ 如果
1) $\mu(\emptyset)=0$
2) $\mu\left(\bigcup_{j=1}^{\infty} A_j\right)=\sum_{j=1}^{\infty} \mu\left(A_j\right)$ 对于任何序列 $\left(L^{\prime}\left{A_{-} j\right.\right.$ 右 $}$ 互不相交的集合来自 $\mathcal{F}$; 和
3) $\mu$ 最多假定一个值 $+\infty$ 和 $-\infty$.
示例 2.29。让 $\nu$ 衡量标准 $(\Omega, \mathcal{F})$ 和 $f$ 是定义在上的实值可积函数 $(\Omega, \mathcal{F}, \nu)$. 然后
$$
\mu(A)=\int_A f d \nu, \quad \forall A \in \mathcal{F},
$$
定义一个签名的措施 $(\Omega, \mathcal{F})$. 更一般地，以上 $\mu$ 仍然是一个有符号的措施，如果 $f$ 是上的可测 函数 $(\Omega, \mathcal{F})$ ，以及其中之一 $f^{+}$和 $f^{-}$，的正负部分 $f$ ，可积于 $(\Omega, \mathcal{F}, \nu)$.
如果 $\mu$ 是一个签署的措施 $(\Omega, \mathcal{F}$ )，我们称一个集合 $E \subset \Omega$ 正（分别为负）（wrt $\mu$ ) 如果对于每 个 $F \in \mathcal{F}, E \cap F$ 是可测量的，并且 $\mu(E \cap F) \geq 0$ (分别 $\mu(E \cap F) \leq 0$ ).
定理 2.30。如果 $\mu$ 是一个签署的措施 $(\Omega, \mathcal{F})$ ，那么存在两个不相交的集合 $A$ 和 $B$ ，其联合是 $\Omega$ ， 这样 $A$ 是积极的和 $B$ 是负面的 $\mu$.
套装 $A$ 和 $B$ 在定理中 $2.30$ 被称为 Hahn 分解 $\Omega \mathrm{wr} t \mu$. 不难构造例子来证明 Hahn 分解不是唯 的。然而，如果
$$
\Omega=A_1 \cup B_1 \quad \text { and } \quad \Omega=A_2 \cup B_2
$$
是两个 Hahn 分解 $\Omega$ ，那么很容易证明，对于每个可测集 $E$ ，它拥有
$$
\mu\left(E \cap A_1\right)=\mu\left(E \cap A_2\right) \quad \text { and } \quad \mu\left(E \cap B_1\right)=\mu\left(E \cap B_2\right) .
$$

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Distribution, Density and Characteristic Functions

让 $P$ 是一个概率测度 $(\Omega, \mathcal{F})$ ，和 $X: \Omega \rightarrow H$ 是一个强可测量的随机变量。那么，作为 (2.11) 的特例， $X$ 引入概率测度 $\mathbb{P}X$ 在 $(H, \mathcal{B}(H))$ 通过 $$ \mathbb{P}_X(A) \triangleq \mathbb{P}\left(X^{-1}(A)\right), \quad \forall A \in \mathcal{B}(H) . $$ 我们称之为 $\mathbb{P}_X$ 的分布 $X$. 如果 $X$ Bochner 是可积的吗 $\mathbb{P}$, 然后通过 (2.5) 并在定理中使用 (2.12) $2.27$, 我们看到 $$ \mathbb{E} X=\int_H x d \mathbb{P}_X(x) . $$ 如果是 $H=\mathbb{R}^m$ (对于一些 $m \in \mathbb{N}$ ), $\mathbb{P}_X$ 可以通过以下函数唯一确定: 在哪里 $x=\left(x_1, \cdots, x_m\right)$ 和 $\left(X_1, \cdots, X_m\right)=X$. 我们称之为 $F(x)$ 的分布函数 $X$. 如果 $\mathbb{P} X$ 是绝对连续的勒贝格测量 $\mathbb{R}^m$ ，那么根据 Radon-Nikodým 定理（即定理 2.33），存在一 个 (非负) 函数 $f \in L^1\left(\mathbb{R}^m\right)$ 这样 $$ \mathbb{P}_X(A)=\int_A f(x) d x, \quad \forall A \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}^m\right) . $$ 特别， $$ F(x)=\int-\infty^{x_1} \cdots \int{-\infty}^{x_m} f\left(\xi_1, \cdots, \xi_m\right) d \xi_1 \cdots d \xi_m .
$$
功能 $f(x)$ 称为密度 $X$. 作为一个特例，如果 $f(x)$ 具有以下形式:
对于一些 $\lambda \in \mathbb{R}^m, Q \in \mathbb{R}^{m \times m}$ 和 $Q^{\top}=Q>0$, 那么我们说 $X$ 服从带参数的正态分布 $(\lambda, Q)$, 表示为 $X \sim \mathcal{N}(\lambda, Q)$. 我们称之为 $X$ 一个高斯随机变量 (取值为 $\left.\mathbb{R}^m\right)$ 如果 $X$ 服从 正态分布或 $X$ 是常数。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
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如果你也在 怎样代写随机过程stochastic process这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

随机过程 用于表示在时间上发展的统计现象以及在处理这些现象时出现的理论模型，由于这些现象在许多领域都会遇到，因此这篇文章具有广泛的实际意义。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写随机过程stochastic process方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写随机过程stochastic process代写方面经验极为丰富，各种代写随机过程stochastic process相关的作业也就用不着说。

我们提供的随机过程stochastic process及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Two Basic Methods in This Book

In this section, we shall present two basic methods (via illuminating examples) that will be systematically used throughout this book.

The main method that we employ in this book to deal with the analysis of the structure of stochastic distributed parameter systems is the global Carleman type estimate. This method was introduced by T. Carleman ([47]) in 1939 to prove the uniqueness of solutions to second order elliptic partial differential equations with two variables. The key in [47] is an elementary energy estimate with some exponential weight. This type of weighted energy estimates, now referred to as Carleman estimates, have become one of the major tools in the study of unique continuation property, inverse problems and control problems for many partial differential equations. However, it is only in the last ten plus years that the power of the global Carleman estimate in the context of controllability of stochastic partial differential equations came to be realized. For the readers’ convenience, we explain the main idea of Carleman estimate by the following very simple example:
Example 1.14. Consider the following ordinary differential equation in $\mathbb{R}^n$ :
$$
\left{\begin{array}{l}
y_t(t)=a(t) y(t) \quad \text { in }[0, T], \
y(0)=y_0 .
\end{array}\right.
$$
It is well-known that if $a \in L^{\infty}(0, T)$, then there is a constant $\mathcal{C}_T>0$ such that for all solutions of (1.45), it holds that $$
\max {t \in[0, T]}|y(t)|{\mathbb{R}^n} \leq \mathcal{C}T\left|y_0\right|{\mathbb{R}^n}, \quad \forall y_0 \in \mathbb{R}^n .
$$
Now we give a slightly different proof of this result via Carleman-type estimate:
For any $\lambda \in \mathbb{R}$, it is easy to see that
$$
\begin{aligned}
& \frac{d}{d t}\left(e^{-2 \lambda t}|y(t)|{\mathbb{R}^n}^2\right) \ & =-2 \lambda e^{-2 \lambda t}|y(t)|{\mathbb{R}^n}^2+2 e^{-2 \lambda t}\left\langle y_t(t), y(t)\right\rangle_{\mathbb{R}^n}=2(a(t)-\lambda) e^{-2 \lambda t}|y(t)|{\mathbb{R}^n}^2 \end{aligned} $$ Choosing $\lambda=|a|{L^{\infty}(0, T)}$, we find that
$$
|y(t)|{\mathbb{R}^n} \leq e^{\lambda T}\left|y_0\right|{\mathbb{R}^n}, \quad t \in[0, T]
$$
which proves (1.46).

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Integrals and Expectation

In this section, we recall the definitions and some basic results for the Bochner integral and the Pettis integral. We omit the proofs and refer the readers to $[74,143]$. Let us fix a $\sigma$-finite measure space $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$, a probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ and a Banach space $H$.

Let $f(\cdot)$ be an (H-valued) $\mathcal{F}$-simple function in the form (2.2). We call $f(\cdot)$ Bochner integrable if $\mu\left(E_i\right)<\infty$ for each $i=1, \cdots, k$. In this case, for any $E \in \mathcal{F}$, the Bochner integral of $f(\cdot)$ over $E$ is defined by
$$
\int_E f(s) d \mu=\sum_{i=1}^k \mu\left(E \cap E_i\right) h_i .
$$
In general, we have the following notion.
Definition 2.14. A strongly $\mathcal{F}$-measurable function $f(\cdot): \Omega \rightarrow H$ is said to be Bochner integrable (w.r.t. $\mu$ ) if there exists a sequence of Bochner integrable $\mathcal{F}$-simple functions $\left{f_i(\cdot)\right}_{i=1}^{\infty}$ converging strongly to $f(\cdot), \mu$-a.e. in $\Omega$, so that
$$
\lim {i, j \rightarrow \infty} \int{\Omega}\left|f_i(s)-f_j(s)\right|_H d \mu=0 .
$$

For any $E \in \mathcal{F}$, the Bochner integral of $f(\cdot)$ over $E$ is defined by
$$
\int_E f(s) d \mu=\lim {i \rightarrow \infty} \int{\Omega} \chi_E(s) f_i(s) d \mu(s) \quad \text { in } H .
$$
It is easy to verify that the limit in the right hand side of (2.4) exists and its value is independent of the choice of the sequence $\left{f_i(\cdot)\right}_{i=1}^{\infty}$. Clearly, when $H=\mathbb{R}^n$ (for some $n \in \mathbb{N}$ ), the above Bochner integral coincides the usual integral for $\mathbb{R}^n$-valued functions.

Particularly, if $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ ia a probability space and $f: \Omega \rightarrow H$ is Bochner integrable (w.r.t. $\mathbb{P}$ ), then we say that $f$ has a mean, denoted by
$$
\mathbb{E} f=\int_{\Omega} f d \mathbb{P} \text {. }
$$
We also call $\mathbb{E} f$ the (mathematical) expectation of $f$.
The following result reveals the relationship between the Bochner integral (for vector-valued functions) and the usual integral (for scalar functions).

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Two Basic Methods in This Book

在本节中，我们将介绍两种基本方法 (通过有启发性的示例)，这两种方法将在整本书中系统 地使用。
我们在本书中用于处理随机分布参数系统结构分析的主要方法是全局 Carleman 类型估计。该 方法由 T. Carleman ([47]) 于 1939 年提出，用于证明二阶双变量椭圆偏微分方程解的唯一 性。[47] 中的关键是具有一些指数权重的基本能量估计。这种加权能量估计，现在称为 Carleman 估计，已成为研究许多偏微分方程的唯一连续性、反问题和控制问题的主要工具之 一。然而，直到最近十多年，全局 Carleman 估计在随机偏微分方程可控性背景下的威力才得 以实现。
示例 1.14。考虑以下常微分方程 $\mathbb{R}^n$ :
$\$ \$$
左 {
$$
y_t(t)=a(t) y(t) \quad \text { in }[0, T], y(0)=y_0 .
$$
正确的。

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Integrals and Expectation

在本节中，我们回顾一下 Bochner 积分和 Pettis 积分的定义和一些基本结果。我们省略了证 明，请读者参考 $[74,143]$. 让我们修复一个 $\sigma$-有限测度空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ ，一个概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 和巴拿赫空间 $H$.
让 $f(\cdot)$ 是一个 ( $\mathrm{H}$ 值) $\mathcal{F}$ – 形式为 $(2.2)$ 的简单函数。我们称之为 $f(\cdot)$ Bochner 可积若 $\mu\left(E_i\right)<\infty$ 每个 $i=1, \cdots, k$. 在这种情况下，对于任何 $E \in \mathcal{F}$ ，的博赫纳积分 $f(\cdot)$ 超过 $E$ 由定义
$$
\int_E f(s) d \mu=\sum_{i=1}^k \mu\left(E \cap E_i\right) h_i .
$$
一般来说，我们有以下概念。
定义 2.14。强烈的 $\mathcal{F}$-可测量的功能 $f(\cdot): \Omega \rightarrow H$ 据说是 Bochner 可积的 $(w r t \mu)$ 如果存在 $\Omega$ ，以便
$$
\lim i, j \rightarrow \infty \int \Omega\left|f_i(s)-f_j(s)\right|H d \mu=0 . $$ 对于任何 $E \in \mathcal{F}$ ，的博赫纳积分 $f(\cdot)$ 超过 $E$ 由定义 $$ \int_E f(s) d \mu=\lim i \rightarrow \infty \int \Omega \chi_E(s) f_i(s) d \mu(s) \quad \text { in } H . $$ 很容易验证式(2.4)右边的极限存在并且它的值与序列的选择无关 Meft{f_i(lcdot)\right}{i=1}^{linfty}. 显然，当 $H=\mathbb{R}^n$ (对于一些 $n \in \mathbb{N}$ ), 上述 Bochner 积分 与通常的积分一致 $\mathbb{R}^n$ – 值函数。
特别是，如果 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) \mathrm{ia}$ 一个概率空间和 $f: \Omega \rightarrow H$ 是 Bochner 可积的 (wrtP), 那么我们 说 $f$ 有一个平均值，表示为
$$
\mathbb{E} f=\int_{\Omega} f d \mathbb{P} .
$$
我们也叫 $f$ 的 (数学) 期望 $f$.
下面的结果揭示了 Bochner 积分 (对于向量值函数) 和通常的积分 (对于标量函数) 之间的 关系。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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随机过程 用于表示在时间上发展的统计现象以及在处理这些现象时出现的理论模型，由于这些现象在许多领域都会遇到，因此这篇文章具有广泛的实际意义。

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• Statistical Inference 统计推断
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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Two Fundamental Issues in Control Theory

Roughly speaking, “control” means one can change the dynamics of the involved system, by means of a suitable way. By our understanding, there are at least two fundamental issues in Control Theory ${ }^1$, i.e., feasibility and optimality, which will be explained more below (c.f. $[220]$ ).

The first fundamental issue in Control Theory is feasibility, or in the terminology of Control Theory, controllability, which means that, one can find at least one way to achieve a goal. More precisely, for simplicity, let us consider the following controlled system governed by a linear ordinary differential equation:
$$
\left{\begin{array}{l}
y_t(t)=A y(t)+B u(t), \quad \text { a.e. } t \in[0, T], \
y(0)=y_0 .
\end{array}\right.
$$
In (1.1), $A \in \mathbb{R}^{n \times n}, B \in \mathbb{R}^{n \times m}(n, m \in \mathbb{N}), T>0, y(\cdot)$ is the state variable, $u(\cdot)$ is the control variable, and $\mathbb{R}^n$ and $\mathbb{R}^m$ are respectively the state and control spaces. We begin with the following notion (More notations/notions, which may be used below, will be given in Chapter 2):

Definition 1.1. The system (1.1) is called exactly controllable (at time T) if for any initial state $y_0 \in \mathbb{R}^n$ and final state $y_1 \in \mathbb{R}^n$, there is a control $u(\cdot) \in L^1\left(0, T ; \mathbb{R}^m\right)$ such that the solution $y(\cdot)$ to (1.1) satisfies
$$
y(T)=y_1,
$$
i.e., the control $u(\cdot)$ transfers the state of (1.1) from $y_0$ to $y_1$ at time $T$.

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Range Inclusion and the Duality Argument

Clearly, any controllability problem (formulated in Definition $1.1$ or more generally, in Definition $5.6$ in Chapter 5) can be viewed as an equation problem, in which both the state $x(\cdot)$ and the control $u(\cdot)$ variables are unknowns. Namely, instead of viewing $u(\cdot)$ as a control variable, we may simply regard it as another unknown variable ${ }^2$. One of the main concerns in this book is to study the controllability problems for linear stochastic evolution equations. As we shall see later, this is far from an easy task.

It is easy to see that, in many cases solving linear equations are equivalent to showing range inclusion for suitable linear operators. Because of this, we shall present below two known range inclusion theorems (i.e., Theorems $1.7$ and $1.10$ below) in an abstract setting.

Throughout this section, $X, Y$ and $Z$ are Banach spaces. Denote by $\mathcal{L}(X ; Y)$ the Banach space of all bounded linear operators from $X$ to $Y$, with the usual operator norm. When $X=Y$, we simply write $\mathcal{L}(X)$ instead of $\mathcal{L}(X ; X)$. For any $L \in \mathcal{L}(X ; Y)$, denote by $\mathcal{R}(L)$ the range of $L$. We begin with the following result.

Theorem 1.7. Let $F \in \mathcal{L}(X ; Z)$ and $G \in \mathcal{L}(Y ; Z)$. The following assertions hold:
1) If $\mathcal{R}(F) \supseteq \mathcal{R}(G)$, then there is a constant $\mathcal{C}>0$ such that
$$
\left|G^* z^\right|{Y^} \leq \mathcal{C}\left|F^* z^\right|{X^}, \quad \forall z^* \in Z^* .
$$
2) If $X$ is reflexive and (1.13) holds for some constant $\mathcal{C}>0$, then $\mathcal{R}(F) \supseteq$ $\mathcal{R}(G)$.

Proof: 1) We use the contradiction argument. Suppose (1.13) did not hold. Then, for each $n \in \mathbb{N}$, we could find $z_n^* \in Z^$ such that $$ \left|F^ z_n^\right|{X^}<\frac{1}{n}\left|G^* z_n^\right|{Y^} .
$$
From (1.14), $G^* z_n^* \neq 0$. Define
$$
\tilde{z}n^=\frac{\sqrt{n}}{\left|G^ z_n^\right|{Y^}} z_n^*, \quad n \geq 1 .
$$

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Two Fundamental Issues in Control Theory

粗略地说，“控制”是指可以通过适当的方式改变相关系统的动态。据我们了解，控制论至少有 两个基本问题 ${ }^1$ ，即可行性和最优性，这将在下面详细解释 (cf [220]).
控制论的第一个基本问题是可行性，或者用控制论的术语来说，可控性，就是说，一个人至少 可以找到一种方法来实现一个目标。更准确地说，为简单起见，让我们考虑以下由线性常微分 方程狖制的受控系统:
$\$ \$$
Veft {
$$
y_t(t)=A y(t)+B u(t), \quad \text { a.e. } t \in[0, T], y(0)=y_0 .
$$
正确的。
$\$ \$$
在 (1.1) 中， $A \in \mathbb{R}^{n \times n}, B \in \mathbb{R}^{n \times m}(n, m \in \mathbb{N}), T>0, y(\cdot)$ 是状态变量， $u(\cdot)$ 是控制变 量，并且 $\mathbb{R}^n$ 和 $\mathbb{R}^m$ 分别是状态空间和控制空间。我们从以下概念开始 (更多符号/概念，可能 会在下面使用，将在第 2 章中给出)：
定义 1.1。如果对于任何初始状态，系统 (1.1) 被称为精确可控 (在时间 $T$ ) $y_0 \in \mathbb{R}^n$ 和最终状 态 $y_1 \in \mathbb{R}^n$ ，有一个控件 $u(\cdot) \in L^1\left(0, T ; \mathbb{R}^m\right)$ 这样解决方案 $y(\cdot)$ 到 $(1.1)$ 满足
$$
y(T)=y_1,
$$
即，控制 $u(\cdot)$ 将 (1.1) 的状态从 $y_0$ 到 $y_1$ 在时间 $T$.

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Range Inclusion and the Duality Argument

显然，任何可控性问题 (在定义中表述 $1.1$ 或者更一般地，在定义中 $5.6$ 在第 5 章中) 可以看 作是一个方程问题，其中状态 $x(\cdot)$ 和控制 $u(\cdot)$ 变量是末知数。即，而不是查看 $u(\cdot)$ 作为控制变 量，我们可以简单地把它看成是另一个末知变量 ${ }^2$. 本书的主要关注点之一是研究线性随机演化 方程的可控性问题。正如我们稍后将看到的，这绝非易事。
很容易看出，在很多情况下求解线性方程等同于显示适合的线性算子的范围包含。正因为如 此，我们将在下面给出两个已知的范围包含定理（即定理1.7和1.10下面）在一个抽象的环境 中。
在本节中， $X, Y$ 和 $Z$ 是 Banach 空间。表示为 $\mathcal{L}(X ; Y)$ 所有有界线性算子的 Banach 空间 $X$ 到 $Y$ ，与通常的运营商规范。什么时候 $X=Y$ ，我们简单地写 $\mathcal{L}(X)$ 代替 $\mathcal{L}(X ; X)$. 对于任何 $L \in \mathcal{L}(X ; Y)$ ，表示为 $\mathcal{R}(L)$ 的范围 $L$. 我们从以下结果开始。
定理 1.7。让 $F \in \mathcal{L}(X ; Z)$ 和 $G \in \mathcal{L}(Y ; Z)$. 以下断言成立:
1) 如果 $\mathcal{R}(F) \supseteq \mathcal{R}(G)$, 那么有一个常数 $\mathcal{C}>0$ 这样
2) 如果 $X$ 是自反的并且 (1.13) 对于某个常数成立 $\mathcal{C}>0$ ， 然后 $\mathcal{R}(F) \supseteq \mathcal{R}(G)$.
证明：1) 我们使用矛盾论证。假设 (1.13) 不成立。然后，对于每个 $n \in \mathbb{N}$ ，我们可以找到 $Z_{-} n^{\wedge } \operatorname{lin} \mathrm{Z}^{\wedge}$ 这样 left $\left|F^{\wedge} z_{-} n^{\wedge}\right|$ right $\left|\left{X^{\wedge}\right}<\right| f r a c{1}{n}|l| e f t\left|G^{\wedge} z_{-} \cap \wedge\right| r i g h t \mid{Y \wedge}$ 。 从 (1.14)， $G^ z_n^* \neq 0$. 定义

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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随机过程 用于表示在时间上发展的统计现象以及在处理这些现象时出现的理论模型，由于这些现象在许多领域都会遇到，因此这篇文章具有广泛的实际意义。

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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Matching Theorems

Chapter 4 makes the point that the generic chaining (or some equivalent form of it) is already required to really understand the irregularities occurring in the distribution of $N$ points $\left(X_i\right)_{i \leq N}$ independently and uniformly distributed in the unit square. These irregularities are measured by the “cost” of pairing (=matching) these points with $N$ fixed points that are very uniformly spread, for various notions of cost.
These optimal results involve mysterious powers of $\log N$. We are able to trace them back to the geometry of ellipsoids in Hilbert space, so we start the chapter with an investigation of these ellipsoids in Sect. 4.1. The philosophy of the main result, the ellipsoid theorem, is that an ellipsoid is in some sense somewhat smaller than it appears at first. This is due to convexity: an ellipsoid gets “thinner” when one gets away from its center. The ellipsoid theorem is a special case of a more general result (with the same proof) about the structure of sufficiently convex bodies, one that will have important applications in Chap. 19.

In Sect.4.3, we provide general background on matchings. In Sect.4.5, we investigate the case where the cost of a matching is measured by the average distance between paired points. We prove the result of Ajtai, Komlós and Tusnády that the expected cost of an optimal matching is at most $L \sqrt{\log N} / \sqrt{N}$ where $L$ is a number. The factor $1 / \sqrt{N}$ is simply a scaling factor, but the fractional power of $\log$ is optimal as shown in Sect. 4.6. In Sect. 4.7, we investigate the case where the cost of a matching is measured instead by the maximal distance between paired points. We prove the theorem of Leighton and Shor that the expected cost of a matching is at most $L(\log N)^{3 / 4} / \sqrt{N}$, and the power of $\log$ is shown to be optimal in Sect. 4.8. With the exception of Sect. 4.1, the results of Chap. 4 are not connected to any subsequent material before Chap. 17.

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Bernoulli Processes

Random signs are obviously important r.v.s and occur frequently in connection with “symmetrization procedures”, a very useful tool. In a Bernoulli process, the individual random variables $X_t$ are linear combinations of independent random signs. Each Bernoulli process is associated with a Gaussian process in a canonical manner, when one replaces the random signs by independent standard Gaussian r.v.s. The Bernoulli process has better tails than the corresponding Gaussian process (it is “sub-Gaussian”) and is bounded whenever the corresponding Gaussian process is bounded. There is, however, a completely different reason for which a Bernoulli process might be bounded, namely, that the sum of the absolute values of the coefficients of the random signs remain bounded independently of the index $t$. A natural question is then to decide whether these two extreme situations are the only fundamental reasons why a Bernoulli process can be bounded, in the sense that a suitable “mixture” of them occurs in every bounded Bernoulli process. This was the “Bernoulli conjecture” (to be stated formally on page 179), which has been so brilliantly solved by W. Bednorz and R. Latała.

It is a long road to the solution of the Bernoulli conjecture, and we start to build the main tools hearing on Rernoulli processes. A linear combination of independent random signs looks like a Gaussian r.v. when the coefficients of the random signs are small. We can expect that a Bernoulli process will look like a Gaussian process when these coefficients are suitably small. This is a fundamental idea: the key to understanding Rernoulli processes is to reduce to situations where these coefficients are small.

The Bernoulli conjecture, on which the author worked so many years, greatly influenced the way he looked at various processes. In the case of empirical processes, this is explained in Sect. $6.8$.

随机过程代考

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第 4 章指出，已经需要通用链接 (或它的某种等效形式) 来真正理解分布中发生的不规则性 $N$ 积分 $\left(X_i\right)_{i \leq N}$ 独立均匀分布在单位正方形内。这些不规则性是通过将这些点与这些点配对 (=匹配) 的“成本” 来衡量的 $N$ 对于各种成本概念，非常均匀分布的固定点。
这些最佳结果涉及神秘的力量 $\log N$. 我们能够将它们追溯到希尔伯特空间中的椭球几何，因此我们在本 章开始时对第 1 节中的这些椭球进行了研究。4.1. 主要结果的哲学，即椭球定理，是一个椭球在某种意 义上比它最初看起来要小一些。这是由于凸性：当一个人远离其中心时，椭圆体会变得 “更薄”。椭球定理 是关于充分凸体结构的更一般结果（具有相同证明）的特例，在第 1 章中有重要应用。19.
在第 $4.3$ 节中，我们提供了匹配的一般背景。在第 $4.5$ 节中，我们研究了匹配成本由成对点之间的平均距 离来衡量的情况。我们证明了 Ajtai、Komlós 和 Tusnády 的结果，即最优匹配的预期成本最多为 $L \sqrt{\log N} / \sqrt{N}$ 在哪里 $L$ 是一个数字。因素 $1 / \sqrt{N}$ 只是一个比例因子，但是分数幕 $\log$ 是最佳的，如 Sect 所示。4.6. 昆虫。4.7，我们研究了匹配成本由成对点之间的最大距离来衡量的情况。我们证明 Leighton 和 Shor 定理，即匹配的预期成本最多为 $L(\log N)^{3 / 4} / \sqrt{N}$ ， 以及的力量log在 Sect. 中被证明 是最优的。4.8. 除了教派。4.1、第一章结果 4 与第 1 章之前的任何后续材料无关。

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随机符号显然是重要的 rvs，并且经常与“对称化程序”相关，这是一个非常有用的工具。在伯努利过程中，各个随机变量 $X_t$ 是独立随机符号的线性组合。当用独立的标准高斯 rvs 替换随机符号时，每个伯努 利过程都以规范的方式与高斯过程相关联相应的高斯过程是有界的。然而，伯努利过程可能有界的原因 完全不同，即随机符号系数的绝对值之和仍然有界，与指数无关 $t$.一个自然的问题是确定这两种极端情 况是否是伯努利过程可以有界的唯一根本原因，因为它们的合适“混合”出现在每个有界伯努利过程中。这 就是“伯努利猜想”（将在第 179 页正式陈述），它已经被 W. Bednorz 和 R. Latała 出色地解决了。
伯努利猜想的求解还有很长的路要走，我们开始构建主要的工具来听取雷努利过程。当随机符号的系数 很小时，独立随机符号的线性组合看起来像高斯 rv。我们可以预期，当这些系数适当小时，伯努利过程 看起来像高斯过程。这是一个基本思想：理解 Rernoulli 过程的关键是减少这些系数很小的情况。
作者研究了多年的伯努利猜想极大地影响了他看待各种过程的方式。在经验过程的情况下，这在第 1 节 中进行了解释。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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