统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|MAST90085
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多变量统计分析被认为是评估地球化学异常与任何单独变量和变量之间相互影响的意义的有用工具。
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- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
- Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Transformations
Suppose that $X$ has pdf $f_{X}(x)$. What is the pdf of $Y=3 X$ ? Or if $X=$ $\left(X_{1}, X_{2}, X_{3}\right)^{\top}$, what is the pdf of
$$
Y=\left(\begin{array}{c}
3 X_{1} \
X_{1}-4 X_{2} \
X_{3}
\end{array}\right) ?
$$
This is a special case of asking for the pdf of $Y$ when
$$
X=u(Y)
$$
for a one-to-one transformation $u: \mathbb{R}^{p} \rightarrow \mathbb{R}^{p}$. Define the Jacobian of $u$ as
$$
\mathcal{J}=\left(\frac{\partial x_{i}}{\partial y_{j}}\right)=\left(\frac{\partial u_{i}(y)}{\partial y_{j}}\right)
$$
and let $\operatorname{abs}(|\mathcal{J}|)$ be the absolute value of the determinant of this Jacobian. The pdf of $Y$ is given by
$$
f_{Y}(y)=\operatorname{abs}(|\mathcal{J}|) \cdot f_{X}{u(y)}
$$
Using this we can answer the introductory questions, namely
$$
\left(x_{1}, \ldots, x_{p}\right)^{\top}=u\left(y_{1}, \ldots, y_{p}\right)=\frac{1}{3}\left(y_{1}, \ldots, y_{p}\right)^{\top}
$$
with
$$
\mathcal{J}=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{1}{3} & & 0 \
& \ddots & \
0 & & \frac{1}{3}
\end{array}\right)
$$
and hence $\operatorname{abs}(|\mathcal{J}|)=\left(\frac{1}{3}\right)^{p}$. So the pdf of $Y$ is $\frac{1}{3^{p}} f_{X}\left(\frac{y}{3}\right)$.
This introductory example is a special case of
$$
Y=\mathcal{A} X+b \text {, where } \mathcal{A} \text { is nonsingular. }
$$
The inverse transformation is
$$
X=\mathcal{A}^{-1}(Y-b)
$$
统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|The Multinormal Distribution
The multinormal distribution with mean $\mu$ and covariance $\Sigma>0$ has the density
$$
f(x)=|2 \pi \Sigma|^{-1 / 2} \exp \left{-\frac{1}{2}(x-\mu)^{\top} \Sigma^{-1}(x-\mu)\right}
$$
We write $X \sim N_{p}(\mu, \Sigma)$.
How is this multinormal distribution with mean $\mu$ and covariance $\Sigma$ related to the multivariate standard normal $N_{p}\left(0, \mathcal{I}_{p}\right)$ ? Through a linear transformation using the results of Sect. $4.3$, as shown in the next theorem.
Theorem 4.5 Let $X \sim N_{p}(\mu, \Sigma)$ and $Y=\Sigma^{-1 / 2}(X-\mu)$ (Mahalanobis transfor mation). Then
$$
Y \sim N_{p}\left(0, \mathcal{I}{p}\right), $$ i.e. the elements $Y{j} \in \mathbb{R}$ are independent, one-dimensional $N(0,1)$ variables.
Proof Note that $(X-\mu)^{\top} \Sigma^{-1}(X-\mu)=Y^{\top} Y$. Application of (4.45) gives $\mathcal{J}=$ $\Sigma^{1 / 2}$, hence
$$
f_{Y}(y)=(2 \pi)^{-p / 2} \exp \left(-\frac{1}{2} y^{\top} y\right)
$$
which is by $(4.47)$ the pdf of a $N_{p}\left(0, \mathcal{I}_{p}\right)$.
统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Sampling Distributions and Limit Theorems
In multivariate statistics, we observe the values of a multivariate random variable $X$ and obtain a sample $\left{x_{i}\right}_{i=1}^{n}$, as described in Chap. 3. Under random sampling, these observations are considered to be realisations of a sequence of i.i.d. random variables $X_{1}, \ldots, X_{n}$, where each $X_{i}$ is a $p$-variate random variable which replicates the parent or population random variable $X$. Some notational confusion is hard to avoid: $X_{i}$ is not the $i$ th component of $X$, but rather the $i$ th replicate of the $p$-variate random variable $X$ which provides the $i$ th observation $x_{i}$ of our sample.
For a given random sample $X_{1}, \ldots, X_{n}$, the idea of statistical inference is to analyse the properties of the population variable $X$. This is typically done by analysing some characteristic $\theta$ of its distribution, like the mean, covariance matrix, etc. Statistical inference in a multivariate setup is considered in more detail in Chaps. 6 and $7 .$
Inference can often be performed using some observable function of the sample $X_{1}, \ldots, X_{n}$, i.e. a statistics. Examples of such statistics were given in Chap. 3: the sample mean $\bar{x}$, the sample covariance matrix $\mathcal{S}$. To get an idea of the relationship between a statistics and the corresponding population characteristic, one has to derive the sampling distribution of the statistic. The next example gives some insight into the relation of $(\bar{x}, S)$ to $(\mu, \Sigma)$.
Example $4.15$ Consider an iid sample of $n$ random vectors $X_{i} \in \mathbb{R}^{p}$ where $\mathrm{E}\left(X_{i}\right)=\mu$ and $\operatorname{Var}\left(X_{i}\right)=\Sigma$. The sample mean $\bar{x}$ and the covariance matrix $\mathcal{S}$ have already been defined in Sect. 3.3. It is easy to prove the following results:
$$
\begin{aligned}
&\mathrm{E}(\bar{x})=n^{-1} \sum_{i=1}^{n} \mathrm{E}\left(X_{i}\right)=\mu \
&\operatorname{Var}(\bar{x})=n^{-2} \sum_{i=1}^{n} \operatorname{Var}\left(X_{i}\right)=n^{-1} \Sigma=\mathrm{E}\left(\bar{x} \bar{x}^{\top}\right)-\mu \mu^{\top}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\mathrm{E}(\mathcal{S}) &=n^{-1} \mathrm{E}\left{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{x}\right)\left(X_{i}-\bar{x}\right)^{\top}\right} \
&=n^{-1} \mathrm{E}\left{\sum_{i=1}^{n} X_{i} X_{i}^{\top}-n \bar{x} \bar{x}^{\top}\right} \
&=n^{-1}\left{n\left(\Sigma+\mu \mu^{\top}\right)-n\left(n^{-1} \Sigma+\mu \mu^{\top}\right)\right} \
&=\frac{n-1}{n} \Sigma .
\end{aligned}
$$
This shows in particular that $\mathcal{S}$ is a biased estimator of $\Sigma$. By contrast, $\mathcal{S}_{u t}=\frac{n}{n-1} \mathcal{S}$ is an unbiased estimator of $\Sigma$.
Statistical inference often requires more than just the mean and/or the variance of a statistic. We need the sampling distribution of the statistics to derive confidence intervals or to define rejection regions in hypothesis testing for a given significance level. Theorem $4.9$ gives the distribution of the sample mean for a multinormal population.
多元统计分析代考
统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Transformations
假设X有pdfFX(X). 什么是pdf是=3X? 或者如果X= (X1,X2,X3)⊤，什么是pdf
是=(3X1 X1−4X2 X3)?
这是要求pdf的特殊情况是什么时候
X=在(是)
一对一的转换在:Rp→Rp. 定义雅可比行列式在作为
Ĵ=(∂X一世∂是j)=(∂在一世(是)∂是j)
然后让腹肌(|Ĵ|)是这个雅可比行列式的绝对值。的pdf是是（谁）给的
F是(是)=腹肌(|Ĵ|)⋅FX在(是)
使用它，我们可以回答介绍性问题，即
(X1,…,Xp)⊤=在(是1,…,是p)=13(是1,…,是p)⊤
和
Ĵ=(130 ⋱ 013)
因此腹肌(|Ĵ|)=(13)p. 所以pdf是是13pFX(是3).
这个介绍性的例子是一个特例
是=一个X+b， 在哪里 一个 是非奇异的。
逆变换是
X=一个−1(是−b)
统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|The Multinormal Distribution
具有均值的多元正态分布μ和协方差Σ>0有密度
f(x)=|2 \pi \Sigma|^{-1 / 2} \exp \left{-\frac{1}{2}(x-\mu)^{\top} \Sigma^{-1 }(x-\mu)\right}f(x)=|2 \pi \Sigma|^{-1 / 2} \exp \left{-\frac{1}{2}(x-\mu)^{\top} \Sigma^{-1 }(x-\mu)\right}
我们写X∼ñp(μ,Σ).
这种具有均值的多正态分布如何μ和协方差Σ与多元标准正态有关ñp(0,我p)? 通过使用 Sect 的结果进行线性变换。4.3，如下一个定理所示。
定理 4.5 让X∼ñp(μ,Σ)和是=Σ−1/2(X−μ)（马氏变换）。然后
是∼ñp(0,我p),即元素是j∈R是独立的，一维的ñ(0,1)变量。
证明 请注意(X−μ)⊤Σ−1(X−μ)=是⊤是. (4.45) 的应用给出Ĵ= Σ1/2， 因此
F是(是)=(2圆周率)−p/2经验(−12是⊤是)
这是由(4.47)一个的pdfñp(0,我p).
统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Sampling Distributions and Limit Theorems
在多元统计中，我们观察多元随机变量的值X并获取样本\left{x_{i}\right}_{i=1}^{n}\left{x_{i}\right}_{i=1}^{n}，如第 1 章所述。3. 在随机抽样下，这些观察被认为是一系列独立同分布随机变量的实现X1,…,Xn, 其中每个X一世是一个p- 复制父或群体随机变量的变量随机变量X. 一些符号混淆是难以避免的：X一世不是一世的第一个组成部分X，而是一世的第一次复制p- 变量随机变量X它提供了一世观察X一世我们的样本。
对于给定的随机样本X1,…,Xn, 统计推断的思想是分析总体变量的性质X. 这通常是通过分析一些特征来完成的θ其分布，如均值、协方差矩阵等。多变量设置中的统计推断在章节中进行了更详细的考虑。6 和7.
推理通常可以使用样本的一些可观察函数来执行X1,…,Xn，即统计。此类统计的示例在第 1 章中给出。3：样本均值X¯, 样本协方差矩阵小号. 要了解统计量与相应的总体特征之间的关系，必须推导出统计量的抽样分布。下一个例子给出了一些关于关系的见解(X¯,小号)至(μ,Σ).
例子4.15考虑一个独立同分布的样本n随机向量X一世∈Rp在哪里和(X一世)=μ和曾是(X一世)=Σ. 样本均值X¯和协方差矩阵小号已在 Sect 中定义。3.3. 很容易证明以下结果：
和(X¯)=n−1∑一世=1n和(X一世)=μ 曾是(X¯)=n−2∑一世=1n曾是(X一世)=n−1Σ=和(X¯X¯⊤)−μμ⊤
\begin{对齐} \mathrm{E}(\mathcal{S}) &=n^{-1} \mathrm{E}\left{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i }-\bar{x}\right)\left(X_{i}-\bar{x}\right)^{\top}\right} \ &=n^{-1} \mathrm{E}\left {\sum_{i=1}^{n} X_{i} X_{i}^{\top}-n \bar{x} \bar{x}^{\top}\right} \ &=n^ {-1}\left{n\left(\Sigma+\mu \mu^{\top}\right)-n\left(n^{-1} \Sigma+\mu \mu^{\top}\right) \right} \ &=\frac{n-1}{n} \Sigma 。\end{对齐}\begin{对齐} \mathrm{E}(\mathcal{S}) &=n^{-1} \mathrm{E}\left{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i }-\bar{x}\right)\left(X_{i}-\bar{x}\right)^{\top}\right} \ &=n^{-1} \mathrm{E}\left {\sum_{i=1}^{n} X_{i} X_{i}^{\top}-n \bar{x} \bar{x}^{\top}\right} \ &=n^ {-1}\left{n\left(\Sigma+\mu \mu^{\top}\right)-n\left(n^{-1} \Sigma+\mu \mu^{\top}\right) \right} \ &=\frac{n-1}{n} \Sigma 。\end{对齐}
这尤其表明小号是一个有偏估计量Σ. 相比之下，小号在吨=nn−1小号是一个无偏估计量Σ.
统计推断通常需要的不仅仅是统计数据的均值和/或方差。我们需要统计数据的抽样分布来推导置信区间或在给定显着性水平的假设检验中定义拒绝区域。定理4.9给出多正态总体的样本均值分布.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
