澳洲代写｜STAT3006｜Statistical Learning统计学习 昆士兰大学
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课程介绍：
Statistics is a key building block for numerous modern machine learning algorithms that have found success in many important applications. The course will cover key ideas behind these algorithms from a statistical perspective, and provide an in-depth knowledge that will enable students to apply the methods with awareness of their strengths and limitations. The topics covered will include probabilistic and analytic foundations, multivariate statistical analysis and machine learning, with a particular focus on clustering, classification, model selection and high-dimensional statistical analysis. Students will gain a theoretical understanding of these techniques and develop practical skills by using the R statistical programming language to solve problems involving various real and simulated datasets.
Statistical Learning统计学习案例1
Least Angle Regression: Lasso Modification.
If a non-zero coefficient hits zero, drop its variable from the active set of variables and recompute the current joint least squares direction.
The LAR(lasso) algorithm is extremely efficient, requiring the same order of computation as that of a single least squares fit using the $p$ predictors. Least angle regression always takes $p$ steps to get to the full least squares estimates. The lasso path can have more than $p$ steps, although the two are often quite similar. Algorithm 3.2 with the lasso modification $3.2 \mathrm{a}$ is an efficient way of computing the solution to any lasso problem, especially when $p \gg N$. Osborne et al. (2000a) also discovered a piecewise-linear path for computing the lasso, which they called a homotopy algorithm.
We now give a heuristic argument for why these procedures are so similar. Although the LAR algorithm is stated in terms of correlations, if the input features are standardized, it is equivalent and easier to work with innerproducts. Suppose $\mathcal{A}$ is the active set of variables at some stage in the algorithm, tied in their absolute inner-product with the current residuals $\mathbf{y}-\mathbf{X} \beta$. We can express this as
$$
\mathbf{x}_j^T(\mathbf{y}-\mathbf{X} \beta)=\gamma \cdot s_j, \forall j \in \mathcal{A}
$$
where $s_j \in{-1,1}$ indicates the sign of the inner-product, and $\gamma$ is the common value. Also $\left|\mathbf{x}_k^T(\mathbf{y}-\mathbf{X} \beta)\right| \leq \gamma \forall k \notin \mathcal{A}$. Now consider the lasso criterion (3.52), which we write in vector form
$$
R(\beta)=\frac{1}{2}|\mathbf{y}-\mathbf{X} \beta|_2^2+\lambda|\beta|_1 .
$$
Let $\mathcal{B}$ be the active set of variables in the solution for a given value of $\lambda$. For these variables $R(\beta)$ is differentiable, and the stationarity conditions give
$$
\mathbf{x}_j^T(\mathbf{y}-\mathbf{X} \beta)=\lambda \cdot \operatorname{sign}\left(\beta_j\right), \forall j \in \mathcal{B}
$$
最小角度回归：套索修改。
如果非零系数为零，则从活动变量集中删除其变量并重新计算当前联合最小二乘方向。
LAR(lasso) 算法非常高效，需要与使用 $p$ 预测器的单个最小二乘拟合相同的计算顺序。 最小角度回归总是需要 $p$ 步才能获得完整的最小二乘估计。 套索路径可以有超过 $p$ 步，尽管两者通常非常相似。 带有套索修改的算法 3.2 $3.2 \mathrm{a}$ 是计算任何套索问题的解决方案的有效方法，特别是当 $p \gg N$ 时。 奥斯本等人。 (2000a) 还发现了一种用于计算套索的分段线性路径，他们将其称为同伦算法。
我们现在给出一个启发式的论证来解释为什么这些过程如此相似。 尽管 LAR 算法是用相关性来表述的，但如果输入特征是标准化的，那么使用内积是等效的并且更容易使用。 假设 $\mathcal{A}$ 是算法中某个阶段的活跃变量集，其绝对内积与当前残差 $\mathbf{y}-\mathbf{X} \beta$ 相关联。 我们可以将其表示为
$$
\mathbf{x}_j^T(\mathbf{y}-\mathbf{X} \beta)=\gamma \cdot s_j, \forall j \in \mathcal{A}
$$
$$
其中$s_j \in{-1,1}$表示内积符号，$\gamma$是公共值。 还有 $\left|\mathbf{x}_k^T(\mathbf{y}-\mathbf{X} \beta)\right| \leq \gamma \forall k \notin \mathcal{A}$。 现在考虑套索准则 (3.52)，我们将其写成向量形式
$$
$$
R(\beta)=\frac{1}{2}|\mathbf{y}-\mathbf{X} \beta|_2^2+\lambda|\beta|_1 .
$$
令$\mathcal{B}$ 为给定$\lambda$ 解中的活跃变量集。 对于这些变量 $R(\beta)$ 是可微的，平稳性条件给出
$$
$$
\mathbf{x}_j^T(\mathbf{y}-\mathbf{X} \beta)=\lambda \cdot \operatorname{sign}\left(\beta_j\right), \forall j \in \mathcal{B}
$$
偏最小二乘法 Partial Least Squares知识点
Partial Least Squares
This technique also constructs a set of linear combinations of the inputs for regression, but unlike principal components regression it uses $\mathbf{y}$ (in addition to $\mathbf{X}$ ) for this construction. Like principal component regression, partial least squares (PLS) is not scale invariant, so we assume that each $\mathbf{x}j$ is standardized to have mean 0 and variance 1 . PLS begins by computing $\hat{\varphi}{1 j}=\left\langle\mathbf{x}j, \mathbf{y}\right\rangle$ for each $j$. From this we construct the derived input $\mathbf{z}_1=\sum_j \hat{\varphi}{1 j} \mathbf{x}_j$, which is the first partial least squares direction. Hence in the construction of each $\mathbf{z}_m$, the inputs are weighted by the strength of their univariate effect on $\mathbf{y}^3$. The outcome $\mathbf{y}$ is regressed on $\mathbf{z}_1$ giving coefficient $\hat{\theta}_1$, and then we orthogonalize $\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_p$ with respect to $\mathbf{z}_1$. We continue this process, until $M \leq p$ directions have been obtained. In this manner, partial least squares produces a sequence of derived, orthogonal inputs or directions $\mathbf{z}_1, \mathbf{z}_2, \ldots, \mathbf{z}_M$. As with principal-component regression, if we were to construct all $M=p$ directions, we would get back a solution equivalent to the usual least squares estimates; using $M<p$ directions produces a reduced regression.
In the prostate cancer example, cross-validation chose $M=2$ PLS directions in Figure 3.7. This produced the model given in the rightmost column of Table 3.3 .
What optimization problem is partial least squares solving? Since it uses the response $\mathbf{y}$ to construct its directions, its solution path is a nonlinear function of $\mathbf{y}$. It can be shown that partial least squares seeks directions that have high variance and have high correlation with the response, in contrast to principal components regression which keys only on high variance (Stone and Brooks 1990, Frank and Friedman 1993). In particular, the $m$ th principal component direction $v_m$ solves:
$$
\begin{gathered}
\max \alpha \operatorname{Var}(\mathbf{X} \alpha) \ \text { subject to }|\alpha|=1, \alpha^T \mathbf{S} v{\ell}=0, \ell=1, \ldots, m-1,
\end{gathered}
$$
where $\mathbf{S}$ is the sample covariance matrix of the $\mathbf{x}j$. The conditions $\alpha^T \mathbf{S} v{\ell}=$ 0 ensures that $\mathbf{z}m=\mathbf{X} \alpha$ is uncorrelated with all the previous linear combinations $\mathbf{z}{\ell}=\mathbf{X} v_{\ell}$. The $m$ th PLS direction $\hat{\varphi}m$ solves: $$ \begin{gathered} \max \alpha \operatorname{Corr}^2(\mathbf{y}, \mathbf{X} \alpha) \operatorname{Var}(\mathbf{X} \alpha) \
\text { subject to }|\alpha|=1, \hat{\varphi}_{\ell}^T \mathbf{S} \alpha=0, \ell=1, \ldots, m-1 .
\end{gathered}
$$
偏最小二乘法
该技术还构造了一组用于回归的输入的线性组合，但与主成分回归不同，它使用 $\mathbf{y}$ （除了 $\mathbf{X}$ 之外）进行此构造。 与主成分回归一样，偏最小二乘法 (PLS) 不是尺度不变的，因此我们假设每个 $\mathbf{x}j$ 被标准化为均值 0 和方差 1 。 PLS 首先计算每个 $j$ 的 $\hat{\varphi}{1 j}=\left\langle\mathbf{x}j, \mathbf{y}\right\rangle$。 由此我们构造导出输入 $\mathbf{z}_1=\sum_j \hat{\varphi}{1 j} \mathbf{x}_j$，这是第一个偏最小二乘方向。 因此，在构建每个 $\mathbf{z}_m$ 时，输入按其对 $\mathbf{y}^3$ 的单变量影响的强度进行加权。 结果 $\mathbf{y}$ 在 $\mathbf{z}_1$ 上回归，给出系数 $\hat{\theta}_1$，然后我们正交化 $\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{ x}_p$ 相对于 $\mathbf{z}_1$。 我们继续这个过程，直到获得 $M \leq p$ 方向。 以这种方式，偏最小二乘产生一系列导出的正交输入或方向$\mathbf{z}_1，\mathbf{z}_2，\ldots，\mathbf{z}_M$。 与主成分回归一样，如果我们要构造所有 $M=p$ 方向，我们将得到相当于通常最小二乘估计的解； 使用 $M<p$ 方向会产生减少的回归。偏最小二乘法解决什么优化问题？ 由于它使用响应 $\mathbf{y}$ 来构造其方向，因此其解路径是 $\mathbf{y}$ 的非线性函数。 可以证明，偏最小二乘寻求具有高方差且与响应具有高相关性的方向，这与仅依赖于高方差的主成分回归相反（Stone 和 Brooks 1990，Frank 和 Friedman 1993）。 特别是，第 $m$ 个主成分方向 $v_m$ 求解：
$$
\begin{gathered}
\max \alpha \operatorname{Var}(\mathbf{X} \alpha) \ \text { subject to }|\alpha|=1, \alpha^T \mathbf{S} v{\ell}=0, \ell=1, \ldots, m-1,
\end{gathered}
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。