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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Topological surgery
Basic references on surgery are the textbooks by Kosinski [153] and Ranicki [213]. Milnor’s beautiful article [183] remains one of the best introductions to surgery; the survey [216] by Rosenberg is also very useful. In the topological setting, it is usually not vital to have an explicit coordinate description for surgeries or the corresponding handle attachments. This situation changes, however, once we want to construct geometric structures on the surgered manifolds or the corresponding cobordisms. Such explicit coordinate descriptions are given in Milnor’s article, and, following Weinstein, we are going to adapt them to the contact geometric or symplectic setting, respectively. In the present section we first give the topological picture.
Let $D^{k+1}$ denote the unit disc in the Euclidean space $\mathbb{R}^{k+1}$, with boundary $\partial D^{k+1}=S^k$ the unit $k$-sphere. The product manifold $S^k \times S^{n-k-1}$ may be regarded as the boundary either of $S^k \times D^{n-k}$ or of $D^{k+1} \times S^{n-k-1}$.
Now let $M$ be an $n$-dimensional differential manifold, and suppose that we have an embedded $k$-sphere $S^k \subset M$ with trivial normal bundle. This implies that we can find an embedded copy of $S^k \times D^{n-k}$ in $M$.
Definition 6.1.1 Given $S^k \times D^{n-k} \subset M$, one can form a new manifold
$$
M^{\prime}:=\left(M \backslash S^k \times \operatorname{Int}\left(D^{n-k}\right)\right) \cup_{S^k \times S^{n-k-1}}\left(D^{k+1} \times S^{n-k-1}\right)
$$
by making the obvious identification along
$$
S^k \times S^{n-k-1}=\partial\left(M \backslash S^k \times \operatorname{Int}\left(D^{n-k}\right)\right)=\partial\left(D^{k+1} \times S^{n-k-1}\right) .
$$
(The fact that $M^{\prime}$ is indeed a manifold is a simple consequence of the collaring theorem for manifolds with boundary, see [38], [132] or [153].) The procedure of constructing $M^{\prime}$ from $M$ is called a surgery along $S^k \subset M$.
Observe that $M$ may be recovered from $M^{\prime}$ by a surgery along $S^{n-k-1}$.
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Contact surgery and symplectic cobordisms
In the preceding section, the key point in the construction of the cobordism corresponding to a surgery was the following. Given $S^k \subset M$ with trivial normal bundle, it has a neighbourhood in $M$ diffeomorphic to a neighbourhood of the $k$-sphere given by ${\mathbf{y}=\mathbf{0}}$ in the lower boundary of $H$. This diffeomorphism extends to a diffeomorphism of the punctured neighbourhood $S^k \times\left(D^{n-k} \backslash{\mathbf{0}}\right)$ crossed with the interval $[-1,1]$ on the one side, and $H$ with the coordinate planes removed on the other, by mapping the obvious foliation by line segments in one space to the foliation by gradient flow lines $\gamma$ on the other. This allowed the gluing that gave us the desired cobordism.
We now want to show that one can perform surgery along an isotropic sphere with trivial conformal symplectic normal bundle in a given contact manifold such that the resulting manifold carries again a contact structure (which coincides with the old one outside the neighbourhood where surgery takes place). We shall call this a contact surgery. We are going to perform this surgery by constructing the corresponding symplectic cobordism. Thus, the task becomes obvious. First of all, we need a neighbourhood theorem for isotropic submanifolds in a contact manifold. This will enable us to identify (by a contactomorphism) a neighbourhood of an isotropic sphere in a given contact manifold with a neighbourhood of an isotropic sphere in a model handle. Such a neighbourhood theorem has already been proved (Thm. 2.5.8). As we shall see, the isotropic spheres in the model handle will have trivial conformal symplectic normal bundle, so the same condition will have to be imposed on any sphere along which we want to perform contact surgery.
Secondly, we need to work with a suitable flow, replacing the gradient flow in the topological picture, that will yield a symplectomorphism for the gluing construction. Observe that if $(M, \xi=\operatorname{ker} \alpha)$ is a contact manifold, then a natural symplectic structure $\omega$ on $[-1,1] \times M$ is obtained by symplectisation (see Example 1.4.7), that is, $\omega:=d\left(\mathrm{e}^t \alpha\right)$. Here the obvious foliation by line segments is given by the flow of the Liouville vector field $\partial_t$. Correspondingly, the gradient flow in our topological handle $H$ will have to be replaced by a Liouville flow on a symplectic handle. Moreover, the neighbourhood theorem for isotropic submanifolds will have to be strong enough so that the identification of flow lines in $[-1,1] \times M$ with those in $H$ actually yields a symplectomorphism.
For that last point, we shall need a version of Theorem 2.5 .8 for strict contact manifolds, see Definition 2.1.2. In the process, we also provide the argument hinted at in Remark 2.5.12. For the following definition recall Lemma 1.3.3 and Definition 2.5.3.
拓扑学代考
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Topological surgery
外科的基本参考文献是Kosinski[153]和Ranicki[213]的教科书。米尔诺那篇漂亮的文章[183]仍然是对外科手术最好的介绍之一;Rosenberg的调查[216]也很有用。在拓扑设置中，通常不需要对手术或相应的手柄附件进行明确的坐标描述。然而，当我们想要在流形或相应的协坐标上构造几何结构时，这种情况就改变了。这种明确的坐标描述在Milnor的文章中给出，并且，根据Weinstein，我们将分别将它们适应于接触几何或辛设置。在本节中，我们首先给出拓扑图。
设$D^{k+1}$表示欧几里得空间$\mathbb{R}^{k+1}$中的单位圆盘，边界$\partial D^{k+1}=S^k$表示单位$k$球。积流形$S^k \times S^{n-k-1}$可以看作是$S^k \times D^{n-k}$或$D^{k+1} \times S^{n-k-1}$的边界。
现在设$M$是一个$n$维的微分流形，并假设我们有一个内嵌的$k$ -球$S^k \subset M$，它具有平凡的法向束。这意味着我们可以在$M$中找到一个嵌入的$S^k \times D^{n-k}$副本。
定义6.1.1给定$S^k \times D^{n-k} \subset M$，可以形成一个新的流形
$$
M^{\prime}:=\left(M \backslash S^k \times \operatorname{Int}\left(D^{n-k}\right)\right) \cup_{S^k \times S^{n-k-1}}\left(D^{k+1} \times S^{n-k-1}\right)
$$
通过进行明显的识别
$$
S^k \times S^{n-k-1}=\partial\left(M \backslash S^k \times \operatorname{Int}\left(D^{n-k}\right)\right)=\partial\left(D^{k+1} \times S^{n-k-1}\right) .
$$
($M^{\prime}$确实是流形的事实是有边界流形的项圈定理的一个简单结果，参见[38]，[132]或[153]。)从$M$构造$M^{\prime}$的过程称为沿$S^k \subset M$的手术。
观察$M$可以通过沿$S^{n-k-1}$的手术从$M^{\prime}$恢复。
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Contact surgery and symplectic cobordisms
在上一节中，构建手术对应的协坐标的关键点如下。给定具有平凡法线束的$S^k \subset M$，它在$M$上有一个邻域，与${\mathbf{y}=\mathbf{0}}$在$H$下界上给出的$k$ -球的邻域是微分同构的。通过在一个空间中通过线段将明显的叶理映射到另一个空间中通过梯度流线$\gamma$的叶理，这种微同构扩展到与一边的区间$[-1,1]$相交的被刺破的邻域$S^k \times\left(D^{n-k} \backslash{\mathbf{0}}\right)$，以及与另一边的坐标平面相交的$H$。这样就可以粘合出我们想要的协同效果。
我们现在要证明，在给定的接触流形中，可以沿着具有平凡共形辛法向束的各向同性球体进行手术，使得所得到的流形再次携带一个接触结构(该结构与发生手术的邻域外的旧结构一致)。我们称之为接触手术。我们将通过构造相应的辛共来做这个手术。因此，任务变得显而易见。首先，我们需要接触流形中各向同性子流形的邻域定理。这将使我们能够(通过接触同构)在给定的接触流形中识别各向同性球体的邻域与模型柄中的各向同性球体的邻域。这样的邻域定理已经被证明了(公式2.5.8)。正如我们将看到的，模型柄中的各向同性球体将具有平凡的共形辛法向束，因此我们必须对任何想要进行接触手术的球体施加相同的条件。
其次，我们需要使用合适的流，取代拓扑图中的梯度流，这将为粘合构造产生辛形态。注意，如果$(M, \xi=\operatorname{ker} \alpha)$是一个接触流形，那么通过辛化(见例1.4.7)，在$[-1,1] \times M$上得到一个自然辛结构$\omega$，即$\omega:=d\left(\mathrm{e}^t \alpha\right)$。这里明显的线段分叶是由Liouville向量场的流动$\partial_t$给出的。相应地，我们的拓扑句柄$H$中的梯度流将不得不被辛句柄上的刘维尔流所取代。此外，各向同性子流形的邻域定理必须足够强大，才能使$[-1,1] \times M$中的流线与$H$中的流线的识别实际上产生一种复形态。
对于最后一点，我们需要定理2.5 .8的一个版本，用于严格接触流形，参见定义2.1.2。在此过程中，我们还提供了2.5.12中暗示的论证。对于下面的定义，请参考引理1.3.3和定义2.5.3。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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