数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MAST90025

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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中,代数整数的环是Dedekind环,因此它构成了一类重要的换元环。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MAST90025

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Primary decomposition

In this section, one confronts the role of the associated primes with the theory of primary decomposition. The latter was a brilliant achievement of Emmy Noether and constitutes a great simplification of prime and primary ideal theory in Noetherian rings.
2.6.1 The nature of the components
The basic insight of E. Noether consisted in starting out with a stronger notion than that of a primary ideal.

Definition 2.6.1. Let $R$ be a ring. An ideal $I \subset R$ is irreducible if it is not the proper intersection of two ideals, that is, whenever there are ideals $I_{1}, I_{2} \subset R$ such that $I=$ $I_{1} \cap I_{2}$, then either $I_{1}=I$ or $I_{2}=I$.

The terminology is inspired from the classical case of an irreducible polynomial. Noether showed the following.
Lemma 2.6.2. Let $R$ denote a Noetherian ring. Then:
(1) (Satz II) Any ideal is the intersection of a finite set of irreducible ideals.
(2) (Satz VI) An irreducible ideal is primary.
Proof. (1) $\Lambda s s u m e ~ t h e ~ a s s e r t i o n ~ i s ~ f a l s e, ~ s o ~ t h e ~ f a m i l y ~ o f ~ i d e a l s ~ o f ~$ sertion fails has a maximal element $I \subset R$. Since $I$ is not irreducible, one must have an intersection $I=I_{1} \cap I_{2}$ where both factors contain $I$ properly. By the maximality of $I$, both $I_{1}$ and $I_{2}$ must be finite intersections of irreducible ideals, hence so is $I$-a contradiction.
(2) Let $I \subset R$ be irreducible, but not primary. By definition, there dre elements $a, b \in R$ such that $a b \in I$, but neither $a \in I$ nor $b^{l} \in I$ for every integer $l \geq 1$. Then the ideals $(I, a)$ and $\left(I, b^{l}\right)$ (for all $l \geq 1$ ) contain $I$ properly.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Lasker–Noether fundamental theorem

Theorem 2.6.3 (Primary decomposition). Let $I \subset R$ be an ideal of a Noetherian ring $R$. For any reduced primary decomposition $I=\bigcap_{t=1}^{m} \mathcal{P}_{t}$, one has:

(a) $\left{\sqrt{\mathcal{P}{1}}, \ldots, \sqrt{\mathcal{P}{m}}\right}=\operatorname{Ass}(R / I)$.
(b) For any other reduced primary decomposition $I=\bigcap_{i=1}^{m} \mathcal{Q}{i}$, one has $$ \left{\mathcal{P}{i} \mid \sqrt{\mathcal{P}{i}} \in \operatorname{Min}(R / I)\right}=\left{\mathcal{Q}{i} \mid \sqrt{\mathcal{Q}{i}} \in \operatorname{Min}(R / I)\right} $$ Proof. Let $I=\bigcap{I} \mathcal{P}{i}$ stand for a reduced primary decomposition and set $P{i}=\mathcal{P}{i}$. (a) Let $P \in \operatorname{Ass}(R / I)$ be an associated prime of $R / I$. Say, $P=I:(x)$, for some $x \in R \backslash I$ (cf. Definition 2.5.17). Then $P=\bigcap{i}\left(\mathcal{P}{i}:(x)\right.$ ). Note that $\mathcal{P}{i}:(x)$ is again $P_{i}$-primary if $x \notin \mathcal{P}{i}$, else it is $(1)=R$. Thus, passing to radicals, $P$ is the intersection of a (necessarily, nonempty) finite subset of the set $\left{P{i}\right}_{i}$. Therefore, $P$ must coincide with one of these prime ideals.

Conversely, let $P$ denote the radical of a primary component. In order to show that $P \in \operatorname{Ass}(R / I)$, it suffices to show that $P_{P} \in \operatorname{Ass}\left(R_{P} / I_{P}\right)$. Changing notation, one can now assume that $R$ is local, with unique maximal ideal $\mathrm{m}$, and $I \subset \mathrm{m}$ admits a reduced primary decomposition with an m-primary component $\mathcal{M}$. One wishes to show that $m \in \operatorname{Ass}(R / I)$

Now, the radical of any other primary component is a prime ideal contained in $\mathrm{m}$. Let $x \in \mathfrak{M} \backslash \mathcal{M}$ be an element contained in every other primary component, a choice granted by the reduced nature of the primary decomposition. Then $I:(x)=\mathcal{M}:(x)$, hence $I:(x)$ is m-primary. By Proposition 2.5.18(i), there is an element $y \in \mathrm{m}$ such that $I$ : $(y)$ is an associated prime of $R / I$. But then $I:(y)$ contains a power of $m$, so necessarily $I:(y)=m$. Therefore, $\mathfrak{m} \in \operatorname{Ass}(R / I)$, as was to be shown.
(b) Given $P \in \operatorname{Min}(R / I)$, localizing at $P$, clearly $I_{p}=\mathcal{P}{p}$, where $\mathcal{P}$ denotes the corresponding primary component of the given primary decomposition. If $\mathcal{Q}$ is the $P$-primary component of another reduced primary decomposition, one must have the equality $\mathcal{P}{P}=\mathcal{Q}_{P}$, locally of two $P$-primary ideals. It follows that they are also equal over $R$ (cf. Proposition 2.1.4).

Remark 2.6.4. It had been realized by Noether, if not earlier by Lasker, that the nonminimal primary components in a reduced primary decomposition of an ideal are not uniquely determined by the ideal. Even worse, to any embedded associated prime of $R / I$ there usually correspond infinitely many distinct primary components. Noether gave the following simple example on a footnote of her paper: $I=\left(X^{2}, X Y\right) \subset k[X, Y]$ ( $k$ an infinite field). Then $I=(X) \cap\left(X^{2}, Y+a X\right)$ is a reduced primary decomposition for any $a \in k$.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Basics on the underlying graded structures

A more comprehensive treatment of graded structures will be considered in Chapter $7 .$ Here, one focus on the following special setup: $R:=k\left[x_{0}, \ldots, x_{n}\right]$ stands for a polyno-mial ring over a field $k$. One endows $R$ with a structure of graded ring, by which one means the decomposition
$$
R=\bigoplus_{t \geq 0} R_{t}, \quad R_{t}=k x_{0}^{t}+k x_{0}^{t-1} x_{1}+\cdots+k x_{n}^{t} \subset R .
$$
The $k$-vector space $R_{t}$, spanned by the homogeneous polynomials of degree $t$, is called the $t$ th graded part of $R$. An ideal $I \subset R$ is homogeneous if it can be generated by homogeneous polynomials or, equivalently, if $I=\bigoplus_{t \geq 0} I_{t}$, where $I_{t}:=I \cap R_{t}$.

Often a homogeneous polynomial of degree $t$ will be called a $t$-form. Given a homogeneous ideal $I$, an important related degree is the initial degree of $I$, defined to be the least $t \geq 0$ such that $I_{t} \neq 0$.

Perhaps the first feature of homogeneous ideals is that the property of being prime or primary can be verified solely by using homogeneous test elements.

Lemma 2.7.1. Let $I \subset R$ denote a homogeneous ideal. Then $I$ is prime (resp., primary) if given homogeneous elements $f, g \in R$ such that $f g \in I$ then either $f \in I$ or else $g \in I$ (resp., $g^{\ell} \in I$, for some $\ell \geq 1$ ).

Proof. One proves the case of a prime ideal, leaving the case of a primary ideal to the reader as being similarly handled. Here, one argues with the initial degree of a polynomial. Let $f, g \in R$ such that $f \in I$ nor $g \in I$. Write $f=f_{u}+\cdots, g=g_{v}+\cdots$, with $f_{u} \neq 0$, $g_{v} \neq 0$. Let $f_{u+u_{0}}$ and $g_{v+v_{0}}$ denote the respective first homogeneous constituents not belonging to $I$. By assumption on homogeneous test elements, one has $f_{u+u_{0}} g_{v+v_{0}} \notin I$. By homogeneity of $I$, it follows that
$$
\left(f-\left(f_{u}+\cdots+f_{u+u_{0}-1}\right)\right)\left(g-\left(g_{v}+\cdots+g_{v+v_{0}-1}\right)\right) \notin I .
$$
But since by construction, $f-\left(f_{u}+\cdots+f_{u+u_{0}-1}\right)$ and $g-\left(g_{v}+\cdots+g_{v+v_{0}-1}\right)$ belong to $I$, necessarily $f g \notin I$, as was to be shown.
One next collects the main operationwise properties of homogeneous ideals.

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交换代数代考

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Primary decomposition

在本节中,我们将用初级分解理论来讨论关联素数的作用。后者是艾美·诺特 (Emmy Noether) 的杰出成就,是诺特环中素数和原初理想理论的极大简化。
2.6.1 组成部分的本质
E. Noether 的基本见解在于从一个比基本理想更强大的概念开始。

定义 2.6.1。让R轴承。一个理想我⊂R是不可约的,如果它不是两个理想的适当交集,也就是说,只要有理想我1,我2⊂R这样我= 我1∩我2,那么要么我1=我或者我2=我.

该术语的灵感来自于不可约多项式的经典案例。诺特展示了以下内容。
引理 2.6.2。让R表示诺特环。那么:
(1) (Satz II) 任何理想都是一组有限的不可约理想的交集。
(2) (Satz VI) 一个不可约的理想是首要的。
证明。(1)Λss在米和 吨H和 一个ss和r吨一世○n 一世s F一个ls和, s○ 吨H和 F一个米一世l是 ○F 一世d和一个ls ○F sertion 失败有一个最大元素我⊂R. 自从我不是不可约的,一定有交集我=我1∩我2其中两个因素都包含我适当地。通过最大我, 两个都我1和我2必须是不可约理想的有限交集,因此是我——矛盾。
(2) 让我⊂R是不可约的,但不是主要的。根据定义,有 dre 元素一个,b∈R这样一个b∈我, 但两者都不一个∈我也不bl∈我对于每个整数l≥1. 然后是理想(我,一个)和(我,bl)(对所有人l≥1) 包含我适当地。

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Lasker–Noether fundamental theorem

定理 2.6.3(初级分解)。让我⊂R成为诺特环的理想R. 对于任何简化的初级分解我=⋂吨=1米磷吨,一个有:

(一个)\left{\sqrt{\mathcal{P}{1}}, \ldots, \sqrt{\mathcal{P}{m}}\right}=\operatorname{Ass}(R / I)\left{\sqrt{\mathcal{P}{1}}, \ldots, \sqrt{\mathcal{P}{m}}\right}=\operatorname{Ass}(R / I).
(b) 对于任何其他简化的初级分解我=⋂一世=1米问一世, 一个有

\left{\mathcal{P}{i} \mid \sqrt{\mathcal{P}{i}} \in \operatorname{Min}(R / I)\right}=\left{\mathcal{Q}{ i} \mid \sqrt{\mathcal{Q}{i}} \in \operatorname{Min}(R / I)\right}\left{\mathcal{P}{i} \mid \sqrt{\mathcal{P}{i}} \in \operatorname{Min}(R / I)\right}=\left{\mathcal{Q}{ i} \mid \sqrt{\mathcal{Q}{i}} \in \operatorname{Min}(R / I)\right}证明。让我=⋂我磷一世代表简化的初级分解和集合磷一世=磷一世. (a) 让磷∈屁股⁡(R/我)是的关联素数R/我. 说,磷=我:(X), 对于一些X∈R∖我(参见定义 2.5.17)。然后磷=⋂一世(磷一世:(X))。注意磷一世:(X)又是磷一世- 主要的如果X∉磷一世, 否则是(1)=R. 因此,传递给自由基,磷是集合的(必然是非空的)有限子集的交集\left{P{i}\right}_{i}\left{P{i}\right}_{i}. 所以,磷必须符合这些主要理想之一。

反之,让磷表示主要成分的自由基。为了表明磷∈屁股⁡(R/我), 足以证明磷磷∈屁股⁡(R磷/我磷). 改变符号,现在可以假设R是局部的,具有独特的最大理想米, 和我⊂米允许使用 m 主成分进行简化的主分解米. 一个人希望表明米∈屁股⁡(R/我)

现在,任何其他主要成分的根式都是包含在米. 让X∈米∖米是包含在所有其他主要组件中的元素,这是主要分解的简化性质所授予的选择。然后我:(X)=米:(X), 因此我:(X)是m-主要的。根据命题 2.5.18(i),有一个要素是∈米这样我 : (是)是一个相关的素数R/我. 但是之后我:(是)包含一种力量米,所以必然我:(是)=米. 所以,米∈屁股⁡(R/我),如将要显示的那样。
(b) 给定磷∈敏⁡(R/我), 定位于磷, 清楚地我p=磷p, 在哪里磷表示给定初级分解的相应初级分量。如果问是个磷-另一个简化的初级分解的初级组件,必须具有相等性磷磷=问磷, 局部的两个磷——基本理想。因此它们也相等于R(参见提案 2.1.4)。

备注 2.6.4。诺特已经意识到,如果不是拉斯克更早的话,理想的简化初级分解中的非最小初级成分并不是由理想唯一决定的。更糟糕的是,对于任何嵌入的相关质数R/我通常有无数个不同的主要组件对应。Noether 在她论文的脚注中给出了以下简单的例子:我=(X2,X是)⊂ķ[X,是] ( ķ一个无限的领域)。然后我=(X)∩(X2,是+一个X)是任何一个简化的初级分解一个∈ķ.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Basics on the underlying graded structures

对分级结构的更全面的处理将在本章中考虑7.在这里,一个重点是以下特殊设置:R:=ķ[X0,…,Xn]表示域上的多项式环ķ. 一赋R具有渐变环的结构,这意味着分解

R=⨁吨≥0R吨,R吨=ķX0吨+ķX0吨−1X1+⋯+ķXn吨⊂R.
这ķ-向量空间R吨, 由次数的齐次多项式跨越吨,称为吨分级的部分R. 一个理想我⊂R如果它可以由齐次多项式生成,则它是齐次的,或者等效地,如果我=⨁吨≥0我吨, 在哪里我吨:=我∩R吨.

通常是齐次多项式吨将被称为吨-形式。给定一个同质理想我,一个重要的相关度是初始度我,定义为最小吨≥0这样我吨≠0.

也许齐次理想的第一个特征是,可以仅通过使用齐次测试元素来验证是否为素数或主要属性。

引理 2.7.1。让我⊂R表示同质理想。然后我如果给定同质元素,则为素数(分别为主要)F,G∈R这样FG∈我然后要么F∈我要不然G∈我(分别,Gℓ∈我, 对于一些ℓ≥1 ).

证明。一个人证明了主要理想的情况,将主要理想的情况留给读者,以进行类似的处理。在这里,有人与多项式的初始次数争论。让F,G∈R这样F∈我也不G∈我. 写F=F在+⋯,G=G在+⋯, 和F在≠0, G在≠0. 让F在+在0和G在+在0表示不属于的各个第一均质成分我. 通过对同质测试元素的假设,有F在+在0G在+在0∉我. 通过同质化我, 它遵循

(F−(F在+⋯+F在+在0−1))(G−(G在+⋯+G在+在0−1))∉我.
但由于通过施工,F−(F在+⋯+F在+在0−1)和G−(G在+⋯+G在+在0−1)属于我, 必然FG∉我,如将要显示的那样。
接下来收集齐次理想的主要操作属性。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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