数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MAST90025

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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中,代数整数的环是Dedekind环,因此它构成了一类重要的换元环。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MAST90025

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Finiteness Conditions and the Snake Lemma

To start with, let us recall the notion of exact sequences of modules over a ring $R$. A sequence of $R$-modules is a chain of morphisms of $R$-modules
$$
\ldots \stackrel{f_{n-2}}{\longrightarrow} M_{n-1} \stackrel{f_{n-1}}{\longrightarrow} M_{n} \stackrel{f_{n}}{\longrightarrow} M_{n+1} \stackrel{f_{n+1}}{\longrightarrow} \ldots
$$
where the indices are varying over a finite or an infinite part of $\mathbb{Z}$. We say that the sequence satisfies the complex property at $M_{n}$ (more specifically, at position $n$ ) if we have $f_{n} \circ f_{n-1}=0$ or, in equivalent terms, im $f_{n-1} \subset \operatorname{ker} f_{n}$. Furthermore, the sequence is said to be exact at $M_{n}$ if, in fact, im $f_{n-1}=$ ker $f_{n}$. If the sequence satisfies the complex property at all places $M_{n}$ (of course, except at those where the sequence might terminate), it is called a complex. Likewise, the sequence is called exact, if it is exact at all places. For example, a morphism of $R$-modules $f: M^{\prime} \longrightarrow M$ is injective if and only if the sequence
$$
0 \longrightarrow M^{\prime} \stackrel{f}{\longrightarrow} M
$$
is exact; here 0 denotes the zero module and $0 \longrightarrow M^{\prime}$ the zero mapping, the only possible $R$-homomorphism from 0 to $M^{\prime}$. On the other hand, $f$ is surjective if and only if the sequence
$$
M^{\prime} \stackrel{f}{\longrightarrow} M \longrightarrow 0
$$
is exact; $M \longrightarrow 0$ is the zero mapping, the only possible $R$-homomorphism from $M$ to 0 . Exact sequences of type

$$
0 \longrightarrow M^{\prime} \stackrel{f}{\longrightarrow} M \stackrel{g}{\longrightarrow} M^{\prime \prime} \longrightarrow 0
$$
are referred to as short exact sequences. The exactness of such a sequence means:
(1) $f$ is injective,
(2) $\operatorname{im} f=\operatorname{ker} g$,
(3) $g$ is surjective.
Thus, for a short exact sequence as above, we can view $M^{\prime}$ as a submodule of $M$ via $f$ and we see, using the Fundamental Theorem of Homomorphisms $1.4 / 6$, that $g$ induces an isomorphism $M / M^{\prime} \longrightarrow M^{\prime \prime}$. Conversely, every submodule $N \subset M$ gives rise to the short exact sequence
$$
0 \longrightarrow N \longrightarrow M \longrightarrow M / N \longrightarrow 0
$$
Another type of short exact sequences can be built from the direct sum of two $R$-modules $M^{\prime}$ and $M^{\prime \prime}$, namely
(*)
$$
0 \longrightarrow M^{\prime} \longrightarrow M^{\prime} \oplus M^{\prime \prime} \longrightarrow M^{\prime \prime} \longrightarrow 0
$$

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Background and Overview

As we have seen in $1.5 / 8$, a ring is called Noetherian if all its ideals are finitely generated or, equivalently by $1.5 / 9$, if its ideals satisfy the ascending chain condition. The aim of the present chapter is to show that the Noetherian hypothesis, as simple as it might look, nevertheless has deep impacts on the structure of ideals and their inclusions, culminating in the theory of Krull dimension, to be dealt with in Section 2.4.

To discuss some standard examples of Noetherian and non-Noetherian rings, recall from Hilbert’s Basis Theorem $1.5 / 14$ that all polynomial rings of type $R\left[X_{1}, \ldots, X_{n}\right]$ in finitely many variables $X_{1}, \ldots, X_{n}$ over a Noetherian ring $R$ are Noetherian. The result extends to algebras of finite type over a Noetherian ring $R$, i.e. $R$-algebras of type $R\left[X_{1}, \ldots, X_{n}\right] / \mathfrak{a}$ where $\mathfrak{a}$ is an ideal in $R\left[X_{1}, \ldots, X_{n}\right]$. In particular, algebras of finite type over a field $K$ or over the ring of integers $\mathbb{Z}$ are Noetherian. One also knows that all rings of integral algebraic numbers in finite extensions of $\mathbb{Q}$ are Noetherian (use Atiyah-MacDonald $[2], 5.17)$, whereas the integral closure of $\mathbb{Z}$ in any infinite algebraic extension of $\mathbb{Q}$ is not; see Section $3.1$ for the notion of integral dependence and in particular $3.1 / 8$ for the one of integral closure. Also note that any polynomial ring $R[\mathfrak{X}]$ in an infinite family of variables $\mathfrak{X}$ over a non-zero ring $R$ will not be Noetherian. Other interesting examples of non-Noetherian rings belong to the class of (general) valuation rings, as introduced in $9.5 / 13$.

To approach the subject of Krull dimension for Noetherian rings, the technique of primary decomposition, developed in Section 2.1, is used as a key tool. We will show in $2.1 / 6$ that such a primary decomposition exists for all ideals a of a Noetherian ring $R$. It is of type
$$
\mathfrak{a}=\mathfrak{q}{1} \cap \ldots \cap \mathfrak{q}{r}
$$
where $\mathfrak{q}{1}, \ldots, \mathfrak{q}{r}$ are so-called primary ideals in $R$. Primary ideals generalize the notion of prime powers in principal ideal domains, whereas the concept of primary decomposition generalizes the one of prime factorization.

Looking at a primary decomposition $(*)$, the nilradicals $\mathfrak{p}{i}=\operatorname{rad}\left(\mathfrak{q}{i}\right)$ are of particular significance; they are prime in $R$ and we say that $\mathfrak{q}{i}$ is $\mathfrak{p}{i}$-primary. As any finite intersection of $\mathfrak{p}$-primary ideals, for any prime ideal $\mathfrak{p} \subset R$, is $\mathfrak{p}$-primary again (see $2.1 / 4$ ), we may assume that all $\mathfrak{p}{1}, \ldots, \mathfrak{p}{\tau}$ belonging to the primary decomposition () are different. In addition, we can require that the decomposition $()$ is minimal in the sense that it cannot be shortened any further. In such a situation we will show in $2.1 / 8$ that the set of prime ideals $\mathfrak{p}{1}, \ldots, \mathfrak{p}{r}$ is uniquely determined by $\mathfrak{a}$; it is denoted by Ass $(\mathfrak{a})$, referring to the members of this set as the prime ideals associated to $a$. There is a uniqueness assertion for some of the primary ideals $\mathfrak{q}_{i}$ as well (see $2.1 / 15$ ), although not all of them will be unique in general.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Primary Decomposition of Ideals

Let $R$ be a principal ideal domain. Then $R$ is factorial and any non-zero element $a \in R$ admits a factorization $a=\varepsilon p_{1}^{n_{1}} \ldots p_{r}^{n_{r}}$ with a unit $\varepsilon \in R^{*}$, pairwise non-

equivalent prime elements $p_{i} \in R$, and exponents $n_{i}>0$, where these quantities are essentially unique. Passing to ideals, it follows that every ideal $\mathfrak{a} \subset R$ admits a decomposition
$$
\mathfrak{a}=\mathfrak{p}{1}^{n{1}} \cap \ldots \cap \mathfrak{p}{r}^{n{r}}
$$
with pairwise different prime ideals $\mathfrak{p}{i}$ that are unique up to order, and exponents $n{i}>0$ that are unique as well. The purpose of the present section is to study similar decompositions for more general rings $R$, where the role of the above prime powers $\mathfrak{p}{i}^{n{i}}$ is taken over by the so-called primary ideals. In the following we start with a general ring $R$ (commutative and with a unit element, as always). Only later, when we want to show the existence of primary decompositions, $R$ will be assumed to be Noetherian. For a generalization of primary decompositions to the context of modules see Serre [24], I.B.

Definition 1. A proper ideal $\mathfrak{q} \subset R$ is called a primary ideal if $a b \in \mathfrak{q}$ for any elements $a, b \in R$ implies $a \in \mathfrak{q}$ or, if the latter is not the case, that there is an exponent $n \in \mathbb{N}$ such that $b^{n} \in \mathfrak{q}$.

Clearly, any prime ideal is primary. Likewise, for a prime element $p$ of a factorial ring, all powers $(p)^{n}, n>0$, are primary. But for general rings we will see that the higher powers of prime ideals may fail to be primary. Also note that an ideal $\mathfrak{q} \subset R$ is primary if and only if the zero ideal in $R / \mathfrak{q}$ is primary. The latter amounts to the fact that all zero-divisors in $R / \mathfrak{q}$ are nilpotent. More generally, if $\pi: R \longrightarrow R / \mathfrak{a}$ is the canonical projection from $R$ onto its quotient by any ideal $\mathfrak{a} \subset R$, then an ideal $\mathfrak{q} \subset R / \mathfrak{a}$ is primary if and only if its preimage $\pi^{-1}(\mathfrak{q})$ is primary in $R$.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MAST90025

交换代数代考

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Finiteness Conditions and the Snake Lemma

首先,让我们回顾一下环上模块的精确序列的概念R. 一个序列R-modules 是一个态射链R-模块

…⟶Fn−2米n−1⟶Fn−1米n⟶Fn米n+1⟶Fn+1…
其中索引在 的有限或无限部分上变化从. 我们说这个序列满足复数性质米n(更具体地说,在位置n) 如果我们有Fn∘Fn−1=0或者,在同等条件下,我Fn−1⊂克尔⁡Fn. 此外,据说该序列在米n如果,事实上,我Fn−1=克尔Fn. 如果序列在所有地方都满足复数性质米n(当然,除了那些序列可能终止的地方),它被称为复合体。同样,如果序列在所有地方都是精确的,则称为精确序列。例如,态射R-模块F:米′⟶米当且仅当序列是单射的

0⟶米′⟶F米
是准确的;这里 0 表示零模块并且0⟶米′零映射,唯一可能的R- 同态从 0 到米′. 另一方面,F是满射的当且仅当序列

米′⟶F米⟶0
是准确的;米⟶0是零映射,唯一可能的R-同态来自米为 0 。类型的确切序列

0⟶米′⟶F米⟶G米′′⟶0
被称为短精确序列。这种序列的准确性意味着:
(1)F是单射的,
(2)在里面⁡F=克尔⁡G,
(3) G是主观的。
因此,对于上面的一个简短的精确序列,我们可以查看米′作为一个子模块米通过F我们看到,使用同态基本定理1.4/6, 那G诱导同构米/米′⟶米′′. 相反,每个子模块ñ⊂米产生短精确序列

0⟶ñ⟶米⟶米/ñ⟶0
另一种类型的短精确序列可以从两个的直接和构建R-模块米′和米′′, 即
(*)

0⟶米′⟶米′⊕米′′⟶米′′⟶0

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Background and Overview

正如我们在1.5/8,如果一个环的所有理想都是有限生成的,或者等价地由1.5/9,如果其理想满足升链条件。本章的目的是表明,诺特假说虽然看起来很简单,但对理想结构及其包含物具有深远的影响,最终形成了克鲁尔维数理论,将在第 2.4 节中讨论。

为了讨论诺特环和非诺特环的一些标准例子,回忆一下希尔伯特的基定理1.5/14所有类型的多项式环R[X1,…,Xn]在有限多个变量中X1,…,Xn在诺特环上R是诺特式的。结果扩展到诺特环上的有限代数R, IER- 代数类型R[X1,…,Xn]/一个在哪里一个是一个理想的R[X1,…,Xn]. 特别是域上的有限代数ķ或在整数环上从是诺特式的。人们还知道,整数代数数的所有环在的有限扩展问是 Noetherian(使用 Atiyah-MacDonald[2],5.17),而积分闭包从在任何无限代数扩展问不是; 见部分3.1对于积分依赖的概念,特别是3.1/8为整体闭合之一。另请注意,任何多项式环R[X]在无限的变量族中X在非零环上R不会是诺特式的。其他有趣的非诺特环的例子属于(一般)估值环类,如在9.5/13.

为了探讨诺特环的克鲁尔维数,2.1 节开发的初级分解技术被用作关键工具。我们将在2.1/6对于诺特环的所有理想 a 都存在这样的初级分解R. 它是类型

一个=q1∩…∩qr
在哪里q1,…,qr是所谓的初级理想R. 初级理想概括了初级理想域中的素幂的概念,而初级分解的概念概括了素因子分解的概念。

查看初级分解(∗), nilradicalsp一世=拉德⁡(q一世)具有特殊意义;他们是主要的R我们说q一世是p一世-基本的。作为任何有限的交集p- 初级理想,适用于任何初级理想p⊂R, 是p-再次主要(见2.1/4),我们可以假设所有p1,…,pτ属于初级分解()是不同的。此外,我们可以要求分解()是最小的,因为它不能被进一步缩短。在这种情况下,我们将展示2.1/8那组素理想p1,…,pr唯一地由一个; 它用 Ass 表示(一个),将这个集合的成员称为与一个. 一些主要理想有一个独特性断言q一世以及(见2.1/15),尽管它们通常不是唯一的。

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Primary Decomposition of Ideals

让R是一个主理想域。然后R是阶乘且任何非零元素一个∈R承认因式分解一个=ep1n1…prnr有一个单位e∈R∗, 成对非

等效素数p一世∈R, 和指数n一世>0,其中这些量本质上是唯一的。传递给理想,因此每一个理想一个⊂R承认分解

一个=p1n1∩…∩prnr
具有成对不同的素理想p一世是唯一的订单,和指数n一世>0这也是独一无二的。本节的目的是研究更一般环的类似分解R,其中上述素数的作用p一世n一世被所谓的初级理想所接管。下面我们从一个通用的环开始R(与往常一样,可交换并带有单位元素)。只是稍后,当我们想证明初级分解的存在时,R将被假定为 Noetherian。有关将初级分解推广到模块上下文的信息,请参见 Serre [24], IB

定义 1. 适当的理想q⊂R称为初级理想,如果一个b∈q对于任何元素一个,b∈R暗示一个∈q或者,如果不是后者,则存在指数n∈ñ这样bn∈q.

显然,任何首要理想都是首要的。同样,对于素数p阶乘环的所有幂(p)n,n>0, 是主要的。但是对于一般环,我们将看到素理想的更高幂可能不是主要的。另请注意,理想q⊂R是主要的当且仅当零理想R/q是主要的。后者相当于这样一个事实,即所有零除数R/q是幂零的。更一般地说,如果圆周率:R⟶R/一个是来自的规范投影R任何理想的商一个⊂R, 那么一个理想q⊂R/一个当且仅当它的原像是主要的圆周率−1(q)主要在R.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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