数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|MATH3205

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傅里叶分析是一种用三角函数s来定义周期性波形的方法。

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数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|MATH3205

数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Pointwise Convergence

In the following we will see that for frequently appearing classes of functions stronger convergence results can be proved. A function $f: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{C}$ is called piecewise continuously differentiable, if there exist finitely many points $0 \leq x_{0}<$ $x_{1}<\ldots<x_{n-1}<2 \pi$ such that $f$ is continuously differentiable on each subinterval $\left(x_{j}, x_{j+1}\right), j=0, \ldots, n-1$ with $x_{n}=x_{0}+2 \pi$, and the left and right limits $f\left(x_{j} \pm 0\right), f^{\prime}\left(x_{j} \pm 0\right)$ for $j=0, \ldots, n$ exist and are finite. In the case $f\left(x_{j}-0\right) \neq f\left(x_{j}+0\right)$, the piecewise continuously differentiable function $f: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{C}$ has a jump discontinuity at $x_{j}$ with jump height $\left|f\left(x_{j}+0\right)-f\left(x_{j}-0\right)\right|$. Simple examples of piecewise continuously differentiable functions $f: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{C}$ are the sawtooth function and the rectangular pulse function (see Examples $1.9$ and 1.10). This definition is illustrated in Fig. 1.9.

The next convergence statements will use the following result of RiemannLebesgue.

Lemma $1.27$ (Lemma of Riemann-Lebesgue) Let $f \in L_{1}(\overline{(a, b)})$ with $-\infty \leq$ $a<b \leq \infty$ be given. Then the following relations hold:
$$
\lim {|v| \rightarrow \infty} \int{a}^{b} f(x) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x v} \mathrm{~d} x=0,
$$
$$
\lim {|v| \rightarrow \infty} \int{a}^{b} f(x) \sin (x v) \mathrm{d} x=0, \quad \lim {|v| \rightarrow \infty} \int{a}^{b} f(x) \cos (x v) \mathrm{d} x=0 .
$$

数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Uniform Convergence

A useful criterion for uniform convergence of the Fourier series of a function $f \in$ $C(\mathbb{T})$ is the following:
Theorem 1.37 If $f \in C(\mathbb{T})$ fulfills the condition
$$
\sum_{k \in \mathbb{Z}}\left|c_{k}(f)\right|<\infty,
$$
then the Fourier series of $f$ converges uniformly to $f$. Each function $f \in C^{1}(\mathbb{T})$ has the property (1.49).
Proof By the assumption (1.49) and
$$
\left|c_{k}(f) \mathrm{e}^{\mathrm{i} k \cdot}\right|=\left|c_{k}(f)\right|,
$$
the uniform convergence of the Fourier series follows from the Weierstrass criterion of uniform convergence. If $g \in C(\mathbb{T})$ is the sum of the Fourier series of $f$, then we obtain for all $k \in \mathbb{Z}$
$$
c_{k}(g)=\left\langle g, \mathrm{e}^{\mathrm{i} k \cdot}\right\rangle=\sum_{n \in \mathbb{Z}} c_{n}(f)\left\langle\mathrm{e}^{\mathrm{i} n \cdot}, \mathrm{e}^{\mathrm{i} k \cdot}\right\rangle=c_{k}(f)
$$
such that $g=f$ by Theorem $1.1$.
Assume that $f \in C^{1}(\mathbb{T})$. By the convergence Theorem $1.34$ of Dirichlet-Jordan we know already that the Fourier series of $f$ converges uniformly to $f$. This could be also seen as follows: By the differentiation property of the Fourier coefficients in Lemma 1.6, we have $c_{k}(f)=(\mathrm{i} k)^{-1} c_{k}\left(f^{\prime}\right)$ for all $k \neq 0$ and $c_{0}\left(f^{\prime}\right)=0$. By Parseval equality of $f^{\prime} \in L_{2}(\mathbb{T})$ it follows
$$
\left|f^{\prime}\right|^{2}=\sum_{k \in \mathbb{Z}}\left|c_{k}\left(f^{\prime}\right)\right|^{2}<\infty .
$$
Using Cauchy-Schwarz inequality, we get finally
$$
\begin{aligned}
\sum_{k \in \mathbb{Z}}\left|c_{k}(f)\right| &=\left|c_{0}(f)\right|+\sum_{k \neq 0} \frac{1}{|k|}\left|c_{k}\left(f^{\prime}\right)\right| \
& \leq\left|c_{0}(f)\right|+\left(\sum_{k \neq 0} \frac{1}{k^{2}}\right)^{1 / 2}\left(\sum_{k \neq 0}\left|c_{k}\left(f^{\prime}\right)\right|^{2}\right)^{1 / 2}<\infty .
\end{aligned}
$$
This completes the proof.

数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|MATH3205

傅里叶分析代写

数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Pointwise Convergence

下面我们将看到,对于频牧出现的函数类,可以证明更强的收敛结果。一个函数 $f: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{C}$ 称为分段连续可微, 如果存在有限多个点 $0 \leq x_{0}<x_{1}<\ldots<x_{n-1}<2 \pi$ 这样 $f$ 在每个子区间上连续可微 $\left(x_{j}, x_{j+1}\right), j=0, \ldots, n-1$ 和 $x_{n}=x_{0}+2 \pi$, 以及左右界限 $f\left(x_{j} \pm 0\right), f^{\prime}\left(x_{j} \pm 0\right)$ 为了 $j=0, \ldots, n$ 存在并且是有限的。在这种情况下 $f\left(x_{j}-0\right) \neq f\left(x_{j}+0\right)$ ,分段连续可微函数 $f: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{C}$ 在 $x_{j}$ 有跳跃高度 $\left|f\left(x_{j}+0\right)-f\left(x_{j}-0\right)\right|$. 分段连续可微函数的简单示例 $f: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{C}$ 是锯齿函数和矩形脉冲函数(参见示例 1.9和 1.10)。这个定义如图 $1.9$ 所示。
下一个收敛语句将使用 RiemannLebesgue 的以下结果。
引理 $1.27$ (黎曼-勒贝格引理) 让 $f \in L_{1}(\overline{(a, b)})$ 和 $-\infty \leq a<b \leq \infty$ 被给予。那么以下关系成立:
$$
\lim |v| \rightarrow \infty \int a^{b} f(x) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x v} \mathrm{~d} x=0
$$
$$
\lim |v| \rightarrow \infty \int a^{b} f(x) \sin (x v) \mathrm{d} x=0, \quad \lim |v| \rightarrow \infty \int a^{b} f(x) \cos (x v) \mathrm{d} x=0 .
$$

数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Uniform Convergence

函数傅里叶级数一致收敛的有用准则 $f \in C(\mathbb{T})$ 如下:
定理 $1.37$ 如果 $f \in C(\mathbb{T})$ 满足条件
$$
\sum_{k \in \mathbb{Z}}\left|c_{k}(f)\right|<\infty
$$
那么傅里叶级数 $f$ 均匀地收敛到 $f$. 每个功能 $f \in C^{1}(\mathbb{T})$ 具有属性 (1.49)。
证明通过假设 (1.49) 和
$$
\left|c_{k}(f) \mathrm{e}^{\mathrm{i} k \cdot}\right|=\left|c_{k}(f)\right|
$$
傅立叶级数的一致收敛遵循 Weierstrass 一致收敛准则。如果 $g \in C(\mathbb{T})$ 是傅里叶级数的总和 $f$ ,那么我们得到所 有 $k \in \mathbb{Z}$
$$
c_{k}(g)=\left\langle g, \mathrm{e}^{\mathrm{i} k \cdot}\right\rangle=\sum_{n \in \mathbb{Z}} c_{n}(f)\left\langle\mathrm{e}^{\mathrm{i} n \cdot}, \mathrm{e}^{\mathrm{i} k \cdot}\right\rangle=c_{k}(f)
$$
这样 $g=f$ 由定理 $1.1$.
假使,假设 $f \in C^{1}(\mathbb{T})$. 由收玫定理1.34Dirichlet-Jordan 我们已经知道傅里叶级数 $f$ 均匀地收敛到 $f$. 这也可以 看作如下: 通过引理 $1.6$ 中傅里叶系数的微分性质,我们有 $c_{k}(f)=(\mathrm{i} k)^{-1} c_{k}\left(f^{\prime}\right)$ 对所有人 $k \neq 0$ 和 $c_{0}\left(f^{\prime}\right)=0$. 通过 Parseval 相等 $f^{\prime} \in L_{2}(\mathbb{T})$ 它遵循
$$
\left|f^{\prime}\right|^{2}=\sum_{k \in \mathbb{Z}}\left|c_{k}\left(f^{\prime}\right)\right|^{2}<\infty .
$$
使用 Cauchy-Schwarz 不等式,我们最终得到
$$
\sum_{k \in \mathbb{Z}}\left|c_{k}(f)\right|=\left|c_{0}(f)\right|+\sum_{k \neq 0} \frac{1}{|k|}\left|c_{k}\left(f^{\prime}\right)\right| \quad \leq\left|c_{0}(f)\right|+\left(\sum_{k \neq 0} \frac{1}{k^{2}}\right)^{1 / 2}\left(\sum_{k \neq 0}\left|c_{k}\left(f^{\prime}\right)\right|^{2}\right)^{1 / 2}<\infty
$$
这样就完成了证明。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

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