### 数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|MATH 141

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• Statistical Computing 统计计算
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## 数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Nested Cycles with No Geometric Crossings

For $n \in \mathbb{N}$, let $[n]:={1, \ldots, n}$. If we claim that a result holds for $0<a \ll$ $b, c \ll d<1$, it means that there exist positive functions $f, g$ such that the result holds as long as $a<f(b, c)$ and $b<g(d)$ and $c<g(d)$. We will not compute these functions explicitly. In many cases, we treat large numbers as if they are integers, by omitting floors and ceilings if it does not affect the argument. We write log for the base-e logarithm.

Given a graph $G$, denote its average degree $2 e(G) /|G|$ by $d(G)$. Let $F \subseteq G$ and $H$ be graphs, and $U \subseteq V(G)$. We write $G[U] \subseteq G$ for the induced subgraph of $G$ on vertex set $U$. Denote by $G \cup H$ the graph with vertex set $V(G) \cup V(H)$ and edge set $E(G) \cup E(H)$, and write $G-U$ for the induced subgraph $G[V(G) \backslash U]$, and $G \backslash F$ for the spanning subgraph of $G$ obtained from removing the edge set of $F$. For a set of vertices $X \subseteq V(G)$ and $i \in \mathbb{N}$, denote
$N^{i}(X):={u \in V(G)$ : the distance in $G$ between $X$ and $u$ is exactly $i}$,
and write $N^{0}(X)=X, N(X):=N^{1}(X)$, and for $i \in \mathbb{N} \cup{0}$, let $B^{i}(X)=$ $\bigcup_{j=0}^{i} N^{j}(X)$ be the ball of radius $i$ around $X$. For a path $P$, we write $\ell(P)$ for its length, which is the number of edges in the path.

## 数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Sublinear Expander

Our proof makes use of the sublinear expander introduced by Komlós and Szemerédi $[9]$. We shall use the following extension from $[7]$.

Definition 1. Let $\varepsilon_{1}>0$ and $k \in \mathbb{N}$. A graph $G$ is an $\left(\varepsilon_{1}, k\right)$-expander if for all $X \subset V(G)$ with $k / 2 \leq|X| \leq|G| / 2$, and any subgraph $F \subseteq G$ with $e(F) \leq$ $d(G) \cdot \varepsilon(|X|)|X|$, we have
$$\left|\bar{N}{G \backslash F}(\bar{X})\right| \geq \varepsilon(|\bar{X}|) \cdot|\bar{X}|$$ where $$\varepsilon(x)=\varepsilon\left(x, \varepsilon{1}, k\right)=\left{\begin{array}{cl} 0 & \text { if } x<k / 5 \ \varepsilon_{1} / \log ^{2}(15 x / k) & \text { if } x \geq k / 5 \end{array}\right.$$

We invoke [7, Lemma 3.2], which asserts that every graph contains an expander subgraph with almost the same average degree, to reduce Theorem 1 to an expander. That is, it suffices to show that any $n$-vertex expander with sufficiently large constant average degree contains two nested cycles without crossings. One of the main tools we use is the following lemma ( $[9$, Corollary 2.3]), which allows us to link two sets with a short path avoiding a small set.
Lemma 1. Let $\varepsilon_{1}, k>0$. If $G$ is an $n$-vertex $\left(\varepsilon_{1}, k\right)$-expander, then any two vertex sets $X_{1}, X_{2}$, each of size at least $x \geq k$, are of distance at most $m=$ $\frac{1}{\varepsilon_{1}} \log ^{3}(15 n / k)$ apart. This remains true even after deleting $\varepsilon(x) \cdot x / 4$ vertices from $G$.

$N^{i}(X):=u \in V(G) \$:$thedistancein$\$G$ between $\$ X \$$and \ u \ i sexactly \ i, 并写 N^{0}(X)=X, N(X):=N^{1}(X) ，并且对于 i \in \mathbb{N} \cup 0 ， 让 B^{i}(X)=\bigcup_{j=0}^{i} N^{j}(X) 成为半径球 i 大约 X. 对于一条路径 P ，我们写 \ell(P) 它的长度，即路径中的边数。 ## 数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Sublinear Expander 我们的证明使用了 Komlós 和 Szemerédi 引入的次线性扩展器 [9]. 我们将使用以下扩展名 [7]. 定义 1. 让 \varepsilon_{1}>0 和 k \in \mathbb{N}. 图表 G 是一个 \left(\varepsilon_{1}, k\right) – 如果所有人都可以扩展 X \subset V(G) 和 k / 2 \leq|X| \leq|G| / 2 ， 和任何子图 F \subseteq G 和 e(F) \leq d(G) \cdot \varepsilon(|X|)|X| ，我们有$$
|\bar{N} G \backslash F(\bar{X})| \geq \varepsilon(|\bar{X}|) \cdot|\bar{X}|
$$其中 \ \$$ |varepsilon $(x)=\mid$ varepsilon $\backslash$ left $(x$, Ivarepsilon ${1}, k \backslash$ right $)=\backslash$ left {


## 数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|The shading of one section of the B-R

• MPG 是三角测量的。它由具有三个边和三个顶点的面组成。
• 每个面的三个顶点必须是三种不同的颜色。
• 每条边由两个相邻的三角形共享，形成一个四边形。
• 每个四边形将有 3 或 4 种不同的颜色。如果与共享边相对的两个顶点恰好是相同的颜色，则它有 3 种颜色。
• 对于每个四边形，四个顶点中的至少 1 个顶点和最多 3 个顶点具有任何颜色对的颜色。例如，具有 R、G、B 和G有 1 个顶点R−是和3个顶点乙−G，或者您可以将其视为 1 个顶点乙−是和3个顶点G−R，或者您可以将其视为 BR 的 2 个顶点和 GY 的 2 个顶点。在后一种情况下，2G’ 不是同一链的连续颜色。
• 当您将更多三角形组合在一起（四边形仅组合两个）并考虑可能的颜色时，您将看到 Kempe 的部分

• 画一张R顶点和一个是由边连接的顶点。
• 如果一个新顶点连接到这些顶点中的每一个，它必须是乙或者G.
• 如果一个新顶点连接到 R 而不是是，可能是是,乙， 或者G.
• 如果一个新的顶点连接到是但不是R，可能是R,乙， 或者G.
• RY 链要么继续增长，要么被 B 包围，G.
• 如果你关注 B 和 G，你会为它的链条得出类似的结论。
• 如果一条链条完全被其对应物包围，则链条的新部分可能会出现在其对应物的另一侧。
Kempe 证明了所有具有四阶的顶点（那些恰好连接到其他四个顶点的顶点）都是四色的 [Ref. 2]。例如，考虑下面的中心顶点。

## 数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|In the previous figure

• A 和 C 或者是 AC Kempe 链的同一部分的一部分，或者它们各自位于 AC Kempe 链的不同部分。（如果一种和C例如，是红色和黄色的，则 AC 链是红黄色链。） – 如果一种和C每个位于 AC Kempe 链的不同部分，其中一个部分的颜色可以反转，这有效地重新着色 C 以匹配 A 的颜色。如果 A 和 C 是 AC Kempe 链的同一部分的一部分，则 B 和 D每个都必须位于 BD Kempe 链的不同部分，因为 AC Kempe 链将阻止任何 BD Kempe 链从 B 到达 D。（如果乙和D是蓝色和绿色，例如，那么一种BD Kempe 链是蓝绿色链。）在这种情况下，由于 B 和 D 分别位于 BD Kempe 链的不同部分，因此 BD Kempe 链的其中一个部分的颜色可以反转，这有效地重新着色 D 以匹配 B颜色。– 因此，可以使 C 与 A 具有相同的颜色或使 D 具有与 A 相同的颜色乙通过反转 Kempe 链的分离部分。

Kempe 还试图证明五阶顶点是可四色的，以证明四色定理 [Ref. 2]，但 Heawood 在 1890 年证明他关于五次顶点的论点是不充分的 [Ref. 3]。让我们探讨一下如果我们尝试将我们对度数为四的顶点的推理应用于度数为五的顶点会发生什么。

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。