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复数函数是一个从复数到复数的函数。换句话说，它是一个以复数的一个子集为域，以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。
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数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Differentiability Properties of Holomorphic Functions
The first property that we shall deduce from the Cauchy integral formula is that holomorphic functions, which by definition have (continuous) first partial derivatives with respect to $x$ and $y$, have in fact continuous derivatives of all orders. This property again contrasts strongly with the situation for real functions and for general complex-valued functions on $\mathbb{C}$, where a function can have continuous derivatives up to and including some order $k$, but not have a $(k+1)^{\text {st }}$ derivative at any point (Exercises 58 and 59$)$.
Theorem 3.1.1. Let $U \subseteq \mathbb{C}$ be an open set and let $f$ be holomorphic on $U$. Then $f \in C^{\infty}(U)$. Moreover, if $\bar{D}(P, r) \subseteq U$ and $z \in D(P, r)$, then
$$
\left(\frac{\partial}{\partial z}\right)^{k} f(z)=\frac{k !}{2 \pi i} \oint_{|\zeta-P|=r} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{k+1}} d \zeta, \quad k=0,1,2, \ldots
$$
Proof. Notice that, for $z \in D(P, r)$, the function
$$
\zeta \longmapsto \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}
$$
is continuous on $\partial D(P, r)$. Also, $|\zeta-z| \geq r-|z-P|>0$ for all $\zeta \in \partial D(P, r)$. It follows that
$$
\frac{f(\zeta)}{\zeta-w} \rightarrow \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}
$$
as $w \rightarrow z$ uniformly over $\zeta \in \partial D(P, r)$. From this assertion, and elementary algebra, it follows that
$$
\frac{1}{h}\left(\frac{f(\zeta)}{\zeta-(z+h)}-\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\right) \rightarrow \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{2}}
$$
uniformly over $\zeta \in \partial D(P, r)$ as $h \rightarrow 0$. Therefore
$$
\begin{aligned}
\lim {h \rightarrow 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} &=\lim {h \rightarrow 0} \frac{1}{2 \pi i} \frac{1}{h} \oint_{|\zeta-P|=r} \frac{f(\zeta)}{\zeta-(z+h)}-\frac{f(\zeta)}{\zeta-z} d \zeta \
&=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta-P|=r} \lim {h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left(\frac{f(\zeta)}{\zeta-(z+h)}-\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\right) d \zeta . \end{aligned} $$ [Because the limit occurs uniformly, it was legitimate to interchange the order of the integral and the limit-see Appendix A.] Thus $$ \lim {h \rightarrow 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta-P|=r} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{2}} d \zeta
$$
Therefore $f^{\prime}(z)$ equals
$$
\frac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta-P|=r} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{2}} d \zeta
$$
This same argument applied to $f^{\prime}$ shows that $f^{\prime}$ itself has a complex derivative at each point of $D(P, r)$, given by the formula
$$
\left(f^{\prime}(z)\right)^{\prime}=\frac{2}{2 \pi i} \oint_{|\zeta-P|=r} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{3}} d \zeta
$$
数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Complex Power Series
The theory of Taylor series in real-variable calculus associates to each infinitely differentiable function $f$ from $\mathbb{R}$ to $\mathbb{R}$ a formal power series expansion at each point of $\mathbb{R}$, namely
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(p)}{n !}(x-p)^{n}, \quad p \in \mathbb{R} .
$$
There is no general guarantee that this series converges for any $x$ other than $x=p$. Moreover, there is also no general guarantee that, even if it does converge at some $x \neq p$, its sum is actually equal to $f(x)$. An instance of this latter phenomenon is the function
$$
f(x)=\left{\begin{array}{lll}
e^{-1 / x^{2}} & \text { if } & x \neq 0 \
0 & \text { if } & x=0
\end{array}\right.
$$
This function can be easily checked to be $C^{\infty}$ on $\mathbb{R}$ with $0=f(0)=$ $f^{\prime}(0)=f^{\prime \prime}(0)=\ldots$ (use l’Hôpital’s rule to verify this assertion). So the
Taylor expansion of $f$ at 0 is
$$
0+0 x+0 x^{2}+0 x^{3}+\cdots
$$
which obviously converges for all $x$ with sum $\equiv 0$. But $f(x)$ is 0 only if $x=0$. (An example of the phenomenon that the Taylor series need not even converge except at $x=p$ is given in Exercise 64.) The familiar functions of calculus- $\sin , \cos , e^{x}$, and so forth-all have convergent power series. But most $C^{\infty}$ functions on $\mathbb{R}$ do not. Real functions $f$ that have, at each point $p \in \mathbb{R}$, a Taylor expansion that converges to $f$ for all $x$ near enough to $p$ are called real analytic on $\mathbb{R}$.
In holomorphic function theory, it is natural to attempt to expand functions in powers of $z$. We would expect to need $z$ powers only and not $\bar{z}$ powers since our original definition of holomorphic functions was designed to rule out any $\bar{z}$ ‘s (in polynomial functions in particular). Compared to the real-variable case just discussed ( $C^{\infty}$ functions from $\mathbb{R}$ to $\mathbb{R}$ ), the attempt to expand a holomorphic function in powers of $z$ works remarkably well. In fact, we shall see that if $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ is a holomorphic function on an open set $U$ and if $P \in U$, then the formal $z$ expansion at $P$,
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(P)}{n !}(z-P)^{n}
$$
converges for all $z$ in some neighborhood of $P$ and it converges to $f(z)$ for all $z$ near $P$. Specifically, if $r>0$ is such that $D(P, r) \subset U$, then the series converges to $f(z)$ for all $z$ in $D(P, r)$. This expansion shows a sense in which holomorphic functions are a natural generalization of polynomials in $z$.
We prove these assertions in the next section. First, we need to introduce complex power series formally and establish a few of their properties. We assume the reader to be familiar with real power series at the level of freshman calculus.
A sequence of complex numbers is a function from ${1,2, \ldots}$ to $\mathbb{C}$ (sometimes it is convenient to renumber and think of a sequence as a function from ${0,1,2, \ldots}$ to $\mathbb{C})$. We usually write a sequence as $\left{a_{1}, a_{2}, \ldots\right}$ or $\left{a_{k}\right}_{k=1}^{\infty}$ (resp. $\left{a_{0}, a_{1}, \ldots\right}$ or $\left.\left{a_{k}\right}_{k=0}^{\infty}\right)$. The sequence is said to converge to a limit $\ell \in \mathbb{C}$ if for any $\epsilon>0$ there is an $N_{0}$ such that $k \geq N_{0}$ implies $\left|a_{k}-\ell\right|<\epsilon$. It is frequently useful to test convergence by means of the Cauchy criterion:
Lemma 3.2.1. Let $\left{a_{k}\right}_{k=1}^{\infty}$ be a sequence of complex numbers. Then $\left{a_{k}\right}$ converges to a limit if and only if for each $\epsilon>0$ there is an $N_{0}$ such that $j, k \geq N_{0}$ implies $\left|a_{j}-a_{k}\right|<\epsilon$.
数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|The Power Series Expansion for a Holomorphic Function
As previously discussed, we first demonstrate that a holomorphic function has a convergent complex power series expansion (locally) about any point in its domain. Note that since a holomorphic function is defined on an arbitrary open set $U$ while a power series converges on a disc, we cannot expect a single power series expanded about a fixed point $P$ to converge to $f$ on all of $U$.
Theorem 3.3.1. Let $U \subseteq \mathbb{C}$ be an open set and let $f$ be holomorphic on $U$. Let $P \in U$ and suppose that $D(P, r) \subseteq U$. Then the complex power series
$$
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(\partial^{k} f / \partial z^{k}\right)(P)}{k !}(z-P)^{k}
$$
has radius of convergence at least $r$. It converges to $f(z)$ on $D(P, r)$.
Proof. Recall that from Theorem 3.1.1 we know that $f$ is $C^{\infty}$. So the coefficients of the power series expansion make sense. Given an arbitrary $z \in D(P, r)$, we shall now prove convergence of the series at this $z$. Let $r^{\prime}$ be a positive number greater than $|z-P|$ but less than $r$ so that
$$
z \in D\left(P, r^{\prime}\right) \subseteq \bar{D}\left(P, r^{\prime}\right) \subseteq D(P, r) .
$$
Assume without loss of generality that $P=0$ (this simplifies the notation considerably, but does not change the mathematics) and apply the Cauchy integral formula to $f$ on $D\left(P, r^{\prime}\right)$. Thus for $z \in D\left(P, r^{\prime}\right)=D\left(0, r^{\prime}\right)$ we have
$$
f(z)=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta|=r^{\prime}} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z} d \zeta
$$
$$
\begin{aligned}
&=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta|=r^{\prime}} \frac{f(\zeta)}{\zeta} \frac{1}{1-z \cdot \zeta^{-1}} d \zeta \
&=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta|=r^{\prime}} \frac{f(\zeta)}{\zeta} \sum_{k=0}^{\infty}\left(z \cdot \zeta^{-1}\right)^{k} d \zeta
\end{aligned}
$$
Notice that the last equality is true because $|z|<r^{\prime},|\zeta|=r^{\prime}$, hence
$$
\left|z \cdot \zeta^{-1}\right|<1
$$
so $\sum\left(z \cdot \zeta^{-1}\right)^{k}$ is a convergent geometric series expansion which converges to $1 /\left(1-z \cdot \zeta^{-1}\right)$ (see Exercise 7 of Chapter 2). Moreover, the series converges uniformly on $\left{\zeta:|\zeta|=r^{\prime}\right}$. This fact allows us to switch the sum and the integral. This step is so crucial that we write it out rather carefully (see Appendix A). Set $S_{N}(z, \zeta)=\sum_{k=0}^{N}\left(z \cdot \zeta^{-1}\right)^{k}$. Then we have
$$
\begin{aligned}
(*) &=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta|=r^{\prime}} \frac{f(\zeta)}{\zeta} \lim {N \rightarrow \infty} S{N}(z, \zeta) d \zeta \
&=\frac{1}{2 \pi i} \lim {N \rightarrow \infty} \oint{|\zeta|=r^{\prime}} \frac{f(\zeta)}{\zeta} S_{N}(z, \zeta) d \zeta
\end{aligned}
$$
by uniform convergence. Now this last expression equals
$$
=\frac{1}{2 \pi i} \lim {N \rightarrow \infty} \sum{k=0}^{N} \oint_{|\zeta|=r^{\prime}} \frac{f(\zeta)}{\zeta}\left(z \cdot \zeta^{-1}\right)^{k} d \zeta
$$
since finite sums always commute with integration. The last equation equals
$$
\begin{aligned}
&=\lim {N \rightarrow \infty} \sum{k=0}^{N} z^{k} \cdot \frac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta|=r^{\prime}} \frac{f(\zeta)}{\zeta^{k+1}} d \zeta \
&=\sum_{k=0}^{\infty} z^{k} \frac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta|=r^{\prime}} \frac{f(\zeta)}{\zeta^{k+1}} d \zeta \
&=\sum_{k=0}^{\infty} z^{k} \frac{1}{k !} \frac{\partial^{k} f}{\partial z^{k}}(0)
\end{aligned}
$$
by Theorem 3.1.1.
复变函数代写
数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Differentiability Properties of Holomorphic Functions
我们将从柯西积分公式推导出的第一个性质是全纯函数，根据定义，它具有（连续的）一阶偏导数X和是, 实际上有所有阶的连续导数。这个性质再次与实函数和一般复值函数的情况形成强烈对比C，其中一个函数可以有连续导数，直到并包括某个阶ķ，但没有(ķ+1)英石 任何时候的导数（练习 58 和 59).
定理 3.1.1。让在⊆C是一个开集并且让F全纯在. 然后F∈C∞(在). 此外，如果D¯(磷,r)⊆在和和∈D(磷,r)， 然后
(∂∂和)ķF(和)=ķ!2圆周率一世∮|G−磷|=rF(G)(G−和)ķ+1dG,ķ=0,1,2,…
证明。请注意，对于和∈D(磷,r)， 功能
G⟼F(G)G−和
是连续的∂D(磷,r). 还，|G−和|≥r−|和−磷|>0对全部G∈∂D(磷,r). 它遵循
F(G)G−在→F(G)G−和
作为在→和均匀地超过G∈∂D(磷,r). 从这个断言和初等代数可以得出：
1H(F(G)G−(和+H)−F(G)G−和)→F(G)(G−和)2
均匀地超过G∈∂D(磷,r)作为H→0. 所以
林H→0F(和+H)−F(和)H=林H→012圆周率一世1H∮|G−磷|=rF(G)G−(和+H)−F(G)G−和dG =12圆周率一世∮|G−磷|=r林H→01H(F(G)G−(和+H)−F(G)G−和)dG.[因为极限是一致出现的，交换积分的阶和极限是合理的——见附录 A。] 因此林H→0F(和+H)−F(和)H=12圆周率一世∮|G−磷|=rF(G)(G−和)2dG
所以F′(和)等于
12圆周率一世∮|G−磷|=rF(G)(G−和)2dG
同样的论点适用于F′表明F′本身在每个点都有一个复导数D(磷,r)，由公式给出
(F′(和))′=22圆周率一世∮|G−磷|=rF(G)(G−和)3dG
数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Complex Power Series
实变微积分中的泰勒级数理论与每个无限可微函数相关联F从R到R在每个点的正式幂级数展开R，即
∑n=0∞F(n)(p)n!(X−p)n,p∈R.
没有一般保证这个系列收敛于任何X以外X=p. 此外，也没有一般的保证，即使它确实收敛于某个X≠p, 它的总和实际上等于F(X). 后一种现象的一个例子是函数
$$
f(x)=\left{和−1/X2 如果 X≠0 0 如果 X=0\对。
$$
这个函数可以很容易地检查为C∞在R和0=F(0)= F′(0)=F′′(0)=…（使用 l’Hôpital 的规则来验证这个断言）。所以
泰勒展开式F在 0 是
0+0X+0X2+0X3+⋯
这显然对所有人都收敛X与总和≡0. 但F(X)仅当为 0X=0. （泰勒级数甚至不需要收敛的现象的一个例子，除了在X=p在习题 64 中给出。) 微积分的熟悉函数——罪,因,和X，等等——都有收敛的幂级数。但最C∞上的功能R不要。实函数F在每一点都有p∈R，泰勒展开式收敛到F对全部X足够接近p被称为实分析R.
在全纯函数论中，很自然地尝试将函数展开为和. 我们期望需要和只有权力而不是权力和¯权力，因为我们最初对全纯函数的定义是为了排除任何和¯的（特别是在多项式函数中）。与刚刚讨论的实变量情况相比（C∞函数来自R到R)，尝试在 的幂中扩展全纯函数和效果非常好。事实上，我们将看到，如果F:在→C是开集上的全纯函数在而如果磷∈在，那么正式的和扩张于磷,
∑n=0∞F(n)(磷)n!(和−磷)n
为所有人收敛和在某个街区磷它收敛到F(和)对全部和靠近磷. 具体来说，如果r>0是这样的D(磷,r)⊂在，则级数收敛到F(和)对全部和在D(磷,r). 这种展开表明全纯函数是多项式的自然概括和.
我们将在下一节中证明这些断言。首先，我们需要正式引入复幂级数并建立它们的一些性质。我们假设读者熟悉大一微积分级别的实幂级数。
复数序列是一个函数1,2,…到C（有时重新编号并将序列视为一个函数很方便0,1,2,…到C). 我们通常写一个序列为\left{a_{1}, a_{2}, \ldots\right}\left{a_{1}, a_{2}, \ldots\right}或者\left{a_{k}\right}_{k=1}^{\infty}\left{a_{k}\right}_{k=1}^{\infty}（分别。\left{a_{0}, a_{1}, \ldots\right}\left{a_{0}, a_{1}, \ldots\right}或者\left.\left{a_{k}\right}_{k=0}^{\infty}\right)\left.\left{a_{k}\right}_{k=0}^{\infty}\right). 据说该序列收敛到一个极限ℓ∈C如果有的话ε>0有一个ñ0这样ķ≥ñ0暗示|一种ķ−ℓ|<ε. 通过 Cauchy 准则测试收敛性通常很有用：
引理 3.2.1。让\left{a_{k}\right}_{k=1}^{\infty}\left{a_{k}\right}_{k=1}^{\infty}是一个复数序列。然后\left{a_{k}\right}\left{a_{k}\right}当且仅当对于每个ε>0有一个ñ0这样j,ķ≥ñ0暗示|一种j−一种ķ|<ε.
数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|The Power Series Expansion for a Holomorphic Function
如前所述，我们首先证明了一个全纯函数在其域中的任何点上都有一个收敛的复幂级数展开（局部）。请注意，由于全纯函数是在任意开集上定义的在虽然幂级数会聚在圆盘上，但我们不能期望单个幂级数围绕固定点展开磷收敛到F在所有在.
定理 3.3.1。让在⊆C是一个开集并且让F全纯在. 让磷∈在并假设D(磷,r)⊆在. 那么复幂级数
∑ķ=0∞(∂ķF/∂和ķ)(磷)ķ!(和−磷)ķ
至少有收敛半径r. 它收敛到F(和)在D(磷,r).
证明。回想一下，从定理 3.1.1 我们知道F是C∞. 所以幂级数展开的系数是有意义的。给定一个任意和∈D(磷,r)，我们现在将证明级数的收敛性和. 让r′是大于的正数|和−磷|但小于r以便
和∈D(磷,r′)⊆D¯(磷,r′)⊆D(磷,r).
不失一般性假设磷=0（这大大简化了符号，但不会改变数学）并将柯西积分公式应用于F在D(磷,r′). 因此对于和∈D(磷,r′)=D(0,r′)我们有
F(和)=12圆周率一世∮|G|=r′F(G)G−和dG=12圆周率一世∮|G|=r′F(G)G11−和⋅G−1dG =12圆周率一世∮|G|=r′F(G)G∑ķ=0∞(和⋅G−1)ķdG
请注意，最后一个等式是正确的，因为|和|<r′,|G|=r′， 因此
|和⋅G−1|<1
所以∑(和⋅G−1)ķ是一个收敛的几何级数展开式，它收敛于1/(1−和⋅G−1)（见第 2 章的练习 7）。此外，该级数均匀地收敛于\left{\zeta:|\zeta|=r^{\prime}\right}\left{\zeta:|\zeta|=r^{\prime}\right}. 这个事实允许我们切换和和积分。这一步非常关键，我们非常仔细地写出来（见附录 A）。放小号ñ(和,G)=∑ķ=0ñ(和⋅G−1)ķ. 然后我们有
(∗)=12圆周率一世∮|G|=r′F(G)G林ñ→∞小号ñ(和,G)dG =12圆周率一世林ñ→∞∮|G|=r′F(G)G小号ñ(和,G)dG
通过均匀收敛。现在最后一个表达式等于
=12圆周率一世林ñ→∞∑ķ=0ñ∮|G|=r′F(G)G(和⋅G−1)ķdG
因为有限和总是与积分对易。最后一个等式等于
=林ñ→∞∑ķ=0ñ和ķ⋅12圆周率一世∮|G|=r′F(G)Gķ+1dG =∑ķ=0∞和ķ12圆周率一世∮|G|=r′F(G)Gķ+1dG =∑ķ=0∞和ķ1ķ!∂ķF∂和ķ(0)
由定理 3.1.1。
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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。