数学代写|拓扑学代写Topology代考|MATH6204

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拓扑学是数学的一个分支,有时被称为 “橡胶板几何”,在这个分支中,如果两个物体可以通过弯曲、扭曲、拉伸和收缩等空间运动连续变形为彼此,同时不允许撕开或粘在一起的部分,则被认为是等效的。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Metal Material-Based Topology

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Topology Optimization Problem

In a two-dimensional case, surface plasmon polaritons are excited by transverse magnetic (magnetic field in the $z$ direction) polarized waves, scattered by metallic nanostructures. For transverse magnetic waves propagating in the $x-y$ plane, the scattered-field formulation is used in order to reduce the dispersion error
$$
\nabla \cdot\left[\varepsilon_{r}^{-1} \nabla\left(H_{z s}+H_{z i}\right)\right]+k_{0}^{2} \mu_{r}\left(H_{z s}+H_{z i}\right)=0, \text { in } \Omega
$$
where $H_{z}=H_{z s}+H_{z i}$ is the total field, $H_{z s}$ and $H_{z i}$ are the scattered and incident fields, respectively; $\varepsilon_{r}$ and $\mu_{r}$ are the relative permittivity and permeability, respectively; $k_{0}=\omega \sqrt{\varepsilon_{0} \mu_{0}}$ is the free space wave number with $\omega, \varepsilon_{0}$ and $\mu_{0}$ representing the angular frequency, free space permittivity and permeability, respectively; $\Omega$ is the computational domain; the time dependence of the fields is given by the factor $e^{j \omega t}$, with $t$ representing the time. The incident field can be obtained by solving the electromagnetic equations in free space, with boundary conditions representing realistic working conditions.

The boundary conditions of Eq. $4.18$ usually include the first-order absorbing condition, periodic boundary condition and symmetric condition. The first-order absorbing condition is usually used to truncate the field distribution at infinity [46]
$$
\varepsilon_{r}^{-1} \nabla H_{s z} \cdot \mathbf{n}+j k_{0} \sqrt{\varepsilon_{r}^{-1} \mu_{r}} H_{s z}=0, \text { on } \Gamma_{a b}
$$
where $j$ is the imaginary unit; $\mathbf{n}$ is the unit outward normal vector at the boundary $\partial \Omega$ of the computational domain; $\Gamma_{a b}$ is the absorbing boundary included in $\partial \Omega$. Periodicity of nanostructures plays a crucial role in tuning the optical response; and single nanostructure can be approximated by the periodic case with low volume ratio of the nanostructure. Therefore, the periodic boundary condition for the scattered field, induced by the periodic incident wave, is often imposed on the piecewise pair included in $\partial \Omega$
$$
\left.\begin{array}{l}
H_{s z}(\mathbf{x}+\mathbf{a})=H_{s z}(\mathbf{x}) e^{-j \mathbf{k} \cdot \mathbf{a}} \
\mathbf{n}(\mathbf{x}+\mathbf{a}) \cdot \nabla H_{s z}(\mathbf{x}+\mathbf{a})=-e^{-j \mathbf{k} \mathbf{a}} \mathbf{n}(\mathbf{x}) \cdot \nabla H_{s z}(\mathbf{x})
\end{array}\right} \text { for } \forall \mathbf{x} \in \Gamma_{p s}, \mathbf{x}+\mathbf{a} \in \Gamma_{p d}
$$
where $\Gamma_{p d}$ and $\Gamma_{p s}$ composes one piecewise periodic boundary pair, with $\Gamma_{p d}$ and $\Gamma_{p s}$ respectively being the destination and source boundaries; $\mathbf{k}$ is the wave vector; $\mathbf{a}$ is the lattice vector of the periodic nanostructures. The symmetry of the incident wave and material distribution gives rise to the symmetrical characteristic of the scattered

field. Then the symmetric condition can be used to reduce the computational cost and ensure the computational accuracy effectively
$$
\varepsilon_{r}^{-1} \nabla H_{s z} \cdot \mathbf{n}=0, \text { on } \Gamma_{s m}
$$

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Adjoint analysis

In this section, the variational problem for computational design is analyzed to obtain the gradient information used to iteratively evolve the design variable. According to the Refs. $[38,41,64]$, the adjoint method is an efficient approach to derive the derivative of the objective in the partial differential equation constrained variational problem. Then, the adjoint Eqs. $4.18$ and $4.21$ are obtained using the Lagrangian multiplier-based adjoint method (see Appendix $4.4$ for more details)
and
$$
\left{\begin{array}{l}
-\nabla \cdot\left(r^{2} \nabla \bar{\rho}{f}^{}\right)+\bar{\rho}{f}^{}=\frac{\partial \varepsilon_{r}^{-1}}{\partial \rho_{f p}} \frac{\partial \rho_{f p}}{\partial \rho_{f}} \nabla\left(H_{z s}+H_{z i}\right) \cdot \nabla \tilde{H}{z s}^{}-\frac{\partial A}{\partial \rho{f p}} \frac{\partial \rho_{f p}}{\partial \rho_{f}}, \text { in } \Omega \
r^{2} \nabla \bar{\rho}{f}^{} \cdot \mathbf{n}=j k{0} \frac{\partial \sqrt{\varepsilon_{r}^{-1}}}{\partial \rho_{f p}} \frac{\partial \rho_{f p}}{\partial \rho_{f}} \sqrt{\mu_{r}} H_{z s} \bar{H}{z s}^{}-\frac{\partial \varepsilon{r}^{-1}}{\partial \rho_{f p}} \frac{\partial \rho_{f p}}{\partial \rho_{f}} \nabla H_{z i} \cdot \mathbf{n} \bar{H}{z s}^{} \text {, on } \Gamma{a b} \
r^{2} \nabla \tilde{\rho}{f}^{} \cdot \mathbf{n}=-\frac{\partial \varepsilon{r}^{-1}}{\partial \rho_{f p}} \frac{\partial \rho_{f p}}{\partial \rho_{f}} \nabla H_{z i} \cdot \mathbf{n} \tilde{H}{z s}^{}, \text { on } \Gamma{p d} \cup \Gamma_{p s} \cup \Gamma_{s m}
\end{array}\right.
$$
where $\bar{H}{z s} \in \mathscr{H}^{1 *}(\Omega)$ and $\bar{\rho}{f} \in \mathscr{H}^{1 *}(\Omega)$ are the adjoint variables of the state variables $H_{z s} \in \mathscr{H}^{1}(\Omega)$ and $\rho_{f} \in \mathscr{H}^{1}(\Omega)$, respectively; $\mathscr{H}^{1}(\Omega)$ is the first-order Sobolev space, and $\mathscr{H}^{1 *}(\Omega)$ is the dual space of $\mathscr{H}^{1}(\Omega)$; for complex, * represents the conjugate operation. It is valuable to notice that $\bar{H}{z s}^{}$ and $\rho{f}^{}$ are more convenient to be solved than $\bar{H}{z s}$ and $\rho{f}$ in the adjoint Eqs. $4.11$ and $4.12$. Therefore, the adjoint Eqs. $4.11$ and $4.12$ are utilized to solve $\tilde{H}{z s}^{}$ and $\rho{f}^{}$, and $\tilde{H}{z s}$ and $\rho{f}$ can be obtained using conjugate operation. The adjoint derivative of the computational design problem is obtained as (see Appendix $4.4$ for more details)
$$
\frac{\delta \hat{J}}{\delta \rho}=\operatorname{Re}\left(\frac{\partial A}{\partial \rho}-\tilde{\rho}_{f}^{*}\right), \text { in } \Omega
$$

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Numerical implementation

After adjoint analysis, the computational design problem of the nanostructures for surface plasmon polaritons can be solved using the iterative approach based on the obtained sensitivity information. The procedure for the iterative approach includes the following steps (Table 4.1): (a) the partial differential equations are solved with the current design variable; (b) the adjoint equations are solved based on the solution of the partial differential equations; (c) the adjoint derivative of the design objective is computed; (d) the design variable is updated using the method of moving asymptotes [80]. The above steps are implemented iteratively until the stopping criteria are satisfied. The stopping criterion is specified as the change of the objective values in 5 consecutive iterations satisfying
$$
\frac{1}{5} \sum_{i=0}^{4}\left|J_{k-i}-J_{k-i-1}\right| /\left|J_{k}\right|<\varepsilon
$$
in the $k$ th iteration, where $J_{k}$ and $\gamma_{k}$ are the objective value and distribution of the design variable in the $k$ th iteration, respectively; $\varepsilon$ is the tolerance chosen to be $1 \times 10^{-3}$. The maximal iterative number is set to be 660 .

During the solving procedure, the threshold parameter $\xi$ in Eq. $4.22$ is set to be $0.5$; the initial value of the projection parameter $\beta$ is set to be 1 and it is doubled every 60 iterations until the preset maximal value $2^{10}$ is reached; the partial differential equations and corresponding adjoint equations are solved by the finite element method. For the details on the setting of the numerical implementations, one can refer to $[21,66]$

In the computational design of nanostructures for surface plasmon polaritons, the partial differential equations are solved using the standard Galerkin finite ele-ment method. The state variables andcorresponding adjoint variables are interpolated quadratically; the Helmholtz filter and corresponding adjoint equations are solved using linear elements; and the design variable is linearly interpolated.

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Metal Material-Based Topology

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Topology Optimization Problem

在二维情况下,表面等离子体激元由横向磁场(在和方向)极化波,由金属纳米结构散射。对于横向传播的磁波X−是平面,使用散射场公式以减少色散误差

∇⋅[er−1∇(H和s+H和一世)]+ķ02μr(H和s+H和一世)=0, 在 Ω
在哪里H和=H和s+H和一世是总场,H和s和H和一世分别是散射场和入射场;er和μr分别是相对介电常数和磁导率;ķ0=ωe0μ0是自由空间波数ω,e0和μ0分别表示角频率、自由空间介电常数和磁导率;Ω是计算域;场的时间依赖性由因子给出和jω吨, 和吨代表时间。入射场可以通过求解自由空间中的电磁方程得到,边界条件代表实际工作条件。

方程的边界条件。4.18通常包括一阶吸收条件、周期性边界条件和对称条件。一阶吸收条件通常用于截断无穷远处的场分布[46]

er−1∇Hs和⋅n+jķ0er−1μrHs和=0, 上 Γ一个b
在哪里j是虚数单位;n是边界处的单位外向法向量∂Ω计算域的;Γ一个b是包含在∂Ω. 纳米结构的周期性在调节光学响应中起着至关重要的作用;单个纳米结构可以近似为具有低体积比的纳米结构的周期性情况。因此,由周期性入射波引起的散射场的周期性边界条件通常被施加在包含在∂Ω

\left.\begin{array}{l} H_{s z}(\mathbf{x}+\mathbf{a})=H_{s z}(\mathbf{x}) e^{-j \mathbf{k} \cdot \mathbf{a}} \ \mathbf{n}(\mathbf{x}+\mathbf{a}) \cdot \nabla H_{s z}(\mathbf{x}+\mathbf{a})=- e^{-j \mathbf{k} \mathbf{a}} \mathbf{n}(\mathbf{x}) \cdot \nabla H_{s z}(\mathbf{x}) \end{array}\right } \text { for } \forall \mathbf{x} \in \Gamma_{p s}, \mathbf{x}+\mathbf{a} \in \Gamma_{p d}\left.\begin{array}{l} H_{s z}(\mathbf{x}+\mathbf{a})=H_{s z}(\mathbf{x}) e^{-j \mathbf{k} \cdot \mathbf{a}} \ \mathbf{n}(\mathbf{x}+\mathbf{a}) \cdot \nabla H_{s z}(\mathbf{x}+\mathbf{a})=- e^{-j \mathbf{k} \mathbf{a}} \mathbf{n}(\mathbf{x}) \cdot \nabla H_{s z}(\mathbf{x}) \end{array}\right } \text { for } \forall \mathbf{x} \in \Gamma_{p s}, \mathbf{x}+\mathbf{a} \in \Gamma_{p d}
在哪里Γpd和Γps组成一个分段周期性边界对,其中Γpd和Γps分别是目的地和源边界;ķ是波矢;一个是周期性纳米结构的晶格向量。入射波和材料分布的对称性导致散射的对称特性

场地。然后可以利用对称条件来降低计算成本,有效保证计算精度

er−1∇Hs和⋅n=0, 上 Γs米

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Adjoint analysis

在本节中,分析计算设计的变分问题,以获得用于迭代演化设计变量的梯度信息。根据参考文献。[38,41,64], 伴随方法是在偏微分方程约束变分问题中导出目标导数的有效方法。然后,伴随方程。4.18和4.21使用基于拉格朗日乘数的伴随方法获得(见附录4.4有关更多详细信息)

$$
\left{

−∇⋅(r2∇ρ¯F)+ρ¯F=∂er−1∂ρFp∂ρFp∂ρF∇(H和s+H和一世)⋅∇H~和s−∂一个∂ρFp∂ρFp∂ρF, 在 Ω r2∇ρ¯F⋅n=jķ0∂er−1∂ρFp∂ρFp∂ρFμrH和sH¯和s−∂er−1∂ρFp∂ρFp∂ρF∇H和一世⋅nH¯和s, 上 Γ一个b r2∇ρ~F⋅n=−∂er−1∂ρFp∂ρFp∂ρF∇H和一世⋅nH~和s, 上 Γpd∪Γps∪Γs米\正确的。

在H和r和$H¯和s∈H1∗(Ω)$一个nd$ρ¯F∈H1∗(Ω)$一个r和吨H和一个dj○一世n吨在一个r一世一个bl和s○F吨H和s吨一个吨和在一个r一世一个bl和s$H和s∈H1(Ω)$一个nd$ρF∈H1(Ω)$,r和sp和C吨一世在和l是;$H1(Ω)$一世s吨H和F一世rs吨−○rd和r小号○b○l和在sp一个C和,一个nd$H1∗(Ω)$一世s吨H和d在一个lsp一个C和○F$H1(Ω)$;F○rC○米pl和X,∗r和pr和s和n吨s吨H和C○nj在G一个吨和○p和r一个吨一世○n.我吨一世s在一个l在一个bl和吨○n○吨一世C和吨H一个吨$H¯和s$一个nd$ρF$一个r和米○r和C○n在和n一世和n吨吨○b和s○l在和d吨H一个n$H¯和s$一个nd$ρF$一世n吨H和一个dj○一世n吨和qs.$4.11$一个nd$4.12$.吨H和r和F○r和,吨H和一个dj○一世n吨和qs.$4.11$一个nd$4.12$一个r和在吨一世l一世和和d吨○s○l在和$H~和s$一个nd$ρF$,一个nd$H~和s$一个nd$ρF$C一个nb和○b吨一个一世n和d在s一世nGC○nj在G一个吨和○p和r一个吨一世○n.吨H和一个dj○一世n吨d和r一世在一个吨一世在和○F吨H和C○米p在吨一个吨一世○n一个ld和s一世Gnpr○bl和米一世s○b吨一个一世n和d一个s(s和和一个pp和nd一世X$4.4$F○r米○r和d和吨一个一世ls)
\frac{\delta \hat{J}}{\delta \rho}=\operatorname{Re}\left(\frac{\partial A}{\partial \rho}-\tilde{\rho}_{f} ^{*}\right), \text { in } \Omega
$$

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Numerical implementation

经过伴随分析,表面等离子激元纳米结构的计算设计问题可以使用基于获得的灵敏度信息的迭代方法来解决。迭代方法的过程包括以下步骤(表 4.1): (a) 使用当前设计变量求解偏微分方程;(b) 伴随方程的求解基于偏微分方程的解;(c) 计算设计目标的伴随导数;(d) 使用移动渐近线的方法更新设计变量[80]。上述步骤迭代执行,直到满足停止条件。停止准则被指定为目标值在 5 次连续迭代中的变化满足

15∑一世=04|Ĵķ−一世−Ĵķ−一世−1|/|Ĵķ|<e
在里面ķ第一次迭代,其中Ĵķ和Cķ是设计变量的目标值和分布ķ第一次迭代,分别;e是选择的公差1×10−3. 最大迭代次数设置为 660 。

在求解过程中,阈值参数X在等式。4.22设置为0.5; 投影参数的初始值b设置为1,每60次迭代加倍,直到预设最大值210到达了; 用有限元法求解偏微分方程和相应的伴随方程。具体数值实现的设置可以参考[21,66]

在表面等离子体激元的纳米结构的计算设计中,偏微分方程使用标准的 Galerkin 有限元方法求解。对状态变量和相应的伴随变量进行二次插值;使用线性元素求解亥姆霍兹滤波器和相应的伴随方程;设计变量是线性插值的。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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