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拓扑学是数学的一个分支，有时被称为 “橡胶板几何”，在这个分支中，如果两个物体可以通过弯曲、扭曲、拉伸和收缩等空间运动连续变形为彼此，同时不允许撕开或粘在一起的部分，则被认为是等效的。
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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Two-Dimensional Manifolds
According to the classification Theorem [9], a 2-manifold without boundary is compact if every open cover of it has a finite subcover. The compact 2-manifolds can be exhausted by the two infinite families $\left{S^{2}\right.$ (sphere), $\mathbb{T}^{2}$ (torus), $\mathbb{T}^{2} # \mathbb{T}^{2}$ (double torus), $. .}$ and $\left{\mathbb{P}^{2}\right.$ (projective plane), $\mathbb{P}^{2} # \mathbb{P}^{2}$ (Klein bottle),… $}$, where # denotes the connected sum of two manifolds. A 2 -manifold with boundary can be derived by removing an open disk from a 2 -manifold without boundary. All 2 -manifolds without boundary can be derived by gluing the basic 2 -manifolds with boundaries. Disk, cylinder, and Möbius strip are typical 2 -manifolds with boundaries. Structural surfaces can be described as the orientable 2-manifolds, on which the normal vector can be defined globally. Sphere is a typical orientable 2 -manifold. Structural inter-faces can include both the orientable and non-orientable 2 -manifolds. Non-orientable 2 -manifolds are the 2 -manifolds on which the normal vector can be defined locally instead of globally. Möbius strip is a typical non-orientable 2 -manifold.
Without loosing the generality, topology optimization in this chapter is implemented on both the orientable and non-orientable 2 -manifolds, which are homeomorphic to sphere, torus, Möbius strip, and their connected sum or glued counterparts (Fig.5.1)
数学代写|拓扑学代写Topology代考|PDEs for Physical Fields
To implement topology optimization on a 2 -manifold, a design variable, which is a relaxed binary distribution, is defined on this 2 -manifold to represent the geometrical configuration of a surface structure. This design variable is bounded in the typical interval $[0,1]$ with 0 and 1 representing two different material phases, respectively. An optimization problem can be formulated by minimizing or maximizing a design
objective used to evaluate the desired performance of the surface structure with the pattern implicitly expressed on the 2 -manifold. The physical field used to evaluate the performance of the surface structure can be described by a PDE. This optimization problem is a PDE constrained optimization problem. It is nonlinear and challenging to be solved directly. The iterative solution procedure is thus widely utilized.
To ensure the monolithic convergence of the iterative procedure, regularization based on a surface-PDE filter and threshold projection can be imposed on the design variable. The projected design variable is referred to as the material density. The iterative procedure including the surface-PDE filter and the threshold projection can control the minimum length scale of the surface structure and remove the gray regions from the derived pattern of the surface structure.
For optical waves, the physical field is defined in a three-dimensional volume domain and the design variable is defined on the 2-manifold corresponding to an interior interface of the volume domain, the second-order PDE used to describe the physical field can be expressed in a typical abstract form as
$$
\left{\begin{array}{l}
\nabla \times[p(\nabla \times \mathbf{u}, \mathbf{u})]=c_{s}, \text { in } \Omega \
\left\lfloor p\left(\nabla_{s} \times \mathbf{u}, \mathbf{u}\right) \rrbracket \times \mathbf{n}=\alpha(\bar{\gamma})\left(\mathbf{u}-\mathbf{u}{d}\right), \text { on } \Sigma{S} \hookrightarrow \Omega\right. \
\mathbf{u}=\mathbf{u}{d}, \text { at } \mathscr{P} \subset \Sigma{S} \
\mathbf{u}=\mathbf{u}{0}, \text { on } \partial \Omega \end{array}\right. $$ where I. ] denotes the local jump of a variable across $\Sigma{S}$ embedded in $\Omega ; \hookrightarrow$ is the embedding operator; $u_{d}$ is the known value of the physical variable on the surface structure defined on $\Sigma_{S} ; \Omega$ is the open and bounded volume domain with the boundary of Lipschitz type; $\alpha(\bar{\gamma}$ ) is the material interpolation used to implement the penalization between the interfacial and Dirichlet boundary types. Based on this material interpolation, the mixed boundary condition is formulated at $\Sigma_{S}$ as that in Eq. 5.1. When the material density $\bar{\gamma}$ takes on the value of $0, \alpha$ should be valued to be large enough to ensure the dominance of the Dirichlet term $\left(\mathbf{u}-\mathbf{u}{d}\right)$. When $\alpha$ is valued as 0 with $\bar{\gamma}$ taking on the value of 1 , the mixed boundary condition degenerates into the interfacial type. Sequentially, the pattern of the surface structure with the physical variable known as $u{d}$ can be determined.
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Regularization
The material density is derived by sequentially implementing the surface-PDE filter and threshold projection operations on the design variable. Inspired by the PDE filter developed in [8], the surface-PDE filter for the design variable is implemented by solving the following surface-PDE defined on the 2-manifold:
$$
\left{\begin{array}{l}
\nabla_{s} \cdot\left(-r^{2} \nabla_{s} \bar{\gamma}\right)+\bar{\gamma}=\gamma, \text { on } \Sigma_{S} \
-r^{2} \nabla_{s} \bar{\gamma} \cdot \tau=0, \text { at } \partial \Sigma_{S}
\end{array},\right.
$$
where $r$ is the filter radius; $\gamma \in \mathscr{L}^{2}\left(\Sigma_{S}\right)$ is the design variable; $\bar{\gamma}$ is the filtered design variable; $\hat{\bar{\gamma}}$ is the test function of $\bar{\gamma}$. The variational formulation of the surface-PDE filter in Eq. $5.3$ is
Find $\bar{\gamma} \in \mathscr{H}(\Omega)$ such that
$$
f(\bar{\gamma} ; \gamma):=\int_{\Sigma_{s}} r^{2} \nabla_{s} \bar{\gamma} \cdot \nabla_{s} \hat{\gamma}+\bar{\gamma} \hat{\gamma}-\gamma \hat{\gamma} \mathrm{d} s=0, \forall \hat{\gamma} \in \mathscr{H}\left(\Sigma_{S}\right) .
$$
The filtered design variable is projected by using the threshold projection method [ 5 , 12], and the material density is derived as
$$
\bar{\gamma}=\frac{\tanh (\beta \xi)+\tanh (\beta(\bar{\gamma}-\xi))}{\tanh (\beta \xi)+\tanh (\beta(1-\xi))}
$$
where $\beta$ and $\xi$ are the projection parameters and their values are chosen based on numerical experiments. For more details on the choice of the projection parameters, one can refer to Ref. [5].
拓扑学代考
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Nanostructures for Localized Surface Plasmonic
局域表面等离子体共振是金属纳米结构与可见光之间通过传导电子集体振荡的共振激发的强相互作用。在局域表面等离子共振中，纳米结构附近的局域电磁场可以比入射场高出许多数量级，共振峰波长附近的入射场被强烈散射；增强的电场仅被限制在纳米结构表面附近的纳米长度尺度的微小区域内，然后显着衰减[79]。表面增强拉曼光谱 (SERS) 是局部表面等离子体共振的一种典型应用 [65]。在这个部分，
在表面增强拉曼光谱中，局部表面等离子体共振的强度可以通过定义为的最大增强因子 (EF) 来测量支持X∈Ω|和|4/和04， 在哪里
和=1jere0ω∇×(0,0,H和)
是总电场和和0=μ0/e0是对应于入射磁波的电波幅度。然后可以选择设计目标以最大化增强因子
Ĵ=1F和0|和|4和04|X=X0=1F和0∫Ω|和|4和04d(距离(X,X0))dΩ其中增强因子归一化为F和0; 和F和0是增强因子X0，对应于金属材料的纳米结构完全填充了设计域；X0是合理选择的增强位置Ω;d(∗)是狄拉克函数；距离(X,X0) 是点之间的欧几里得距离∀X∈Ω和指定的位置X0. 增强位置X0应该呈现在纳米结构的表面或耦合位置，因为在局部表面等离子体共振中，最大增强因子必须在金属表面或耦合位置。
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Nanoslits for Extraordinary Optical Transmission
本节介绍了用于周期性金属狭缝的非凡光学传输的谐振纳米结构的逆向设计，其中拓扑优化方法用于实施逆向设计程序并找到纳米结构的几何配置。通过使用逆向设计方法，亚波长尺寸的共振纳米结构位于周期性金属狭缝的入口和出口侧，在规定的入射波长处具有透射峰。通过在狭缝入口侧表面等离子体激元的有效激发和引导、在狭缝内部表面等离子体激元的相干共振以及在狭缝出口侧的光子能量辐射来增强透射率。
具有反向设计的共振纳米结构的周期性金属狭缝的透射峰随着入射波长的红移而升高。通过指定具有波长的入射波，可以控制周期性金属狭缝的透射峰的位置并将其定位在所需的频率
对应于逆向设计过程中预设的所需频率。通过使入射波长在规定波长范围内的周期性金属狭缝的最小透射率最大化，可以扩大超常光透射带宽，等效地降低透射率对波长的敏感性。
非凡的光传输是光通过亚波长孔径在原本不透明的金属膜中的传输大大增强的现象，该金属膜已被图案化为具有规则重复的周期性结构。它由 Ebbesen 等人于 1998 年首次描述[29]。在非凡的光传输中，规则重复的结构能够产生更高的传输率，比经典孔径理论预测的传输率高出几个数量级。非凡的光传输机制归因于表面等离子体激元的散射[35,56]. 与表面等离子体共振装置相比，非凡的光传输提供了一个关键优势，表面等离子体共振装置是一种纳米微米级装置，并且特别适合小型化。
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Modeling
对于在平面内传播的光波，横向磁极化波可以激发无限厚度金属纳米结构横截面的表面等离子体共振。因此，入射波被选为横向磁波。周期性金属狭缝的横截面如图所示。4.9具有均匀的单色横向磁波传播。
计算域设置为金属狭缝的一个周期。拓扑优化方法用于逆向设计位于预设金属狭缝双边区域的纳米结构。定义设计变量的设计域被设置为这两个双边区域。为了截断不定式自由空间，对入口施加一阶吸收边界条件(Γ一世)和出口(Γ○)计算域的边界，周期性边界条件施加在左侧(Γps)和对(Γpd)狭缝的边界以降低计算成本。
基于上述计算设置，逆向设计问题是找到预设狭缝的双边纳米结构的几何构型，以最大限度地传输电磁能。金属狭缝中的传播波是由二维麦克斯韦方程控制的时谐横向磁波。这些方程可以与边界条件一起重新表述为标量亥姆霍兹方程：
∇⋅[er−1∇(H和s+H和一世)]+ķ02μr(H和s+H和一世)=0, 在 Ω er−1∇H和s⋅n+jķ0er−1μrH和s=0, 上 Γ一世∪Γ○ H和s(X+一个)=H和s(X)和−jķ⋅一个,n(X+一个)⋅∇H和s(X+一个)=−和−jķ⋅一个n(X)⋅∇H和s(X) 为了 ∀X∈Γps,X+一个∈Γpd
其中散射场公式，与H和=H和s+H和一世, 用于减少色散误差；H和s和H和一世分别是散射场和入射场；er和μr分别是相对介电常数和磁导率；ķ0=ωe0μ0是自由空间波数ω,e0和μ0分别表示角频率、自由空间介电常数和磁导率；Ω是计算域；ķ是波矢量；场的时间相关性由因子给出和j wot ， 和吨代表时间；n是单位外向法向量∂Ω;j=−1是虚数单位；Γ一世和Γ○分别是光子能量的入口和出口边界；和Γps和Γpd分别是周期性边界对的源边界和目标边界，具有晶格向量 a。事件场H和一世设置为单位幅值的平行平面波。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。