数学代写|概率论代写Probability theory代考|MATHS 2103

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概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释,但概率论以严格的数学方式处理这一概念,通过一套公理来表达它。

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数学代写|概率论代写Probability theory代考|MATHS 2103

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Fredlund and Xing Equation for SWCC

Based on the assumption that the shape of the SWCC depends on the pore-size distribution of the soil, Fredlund and Xing [7] proposed a three-parameter equation for the $\mathrm{SWCC}$, with flexibility to fit a wide variety of soils:
$$
\theta=\frac{\theta_{\mathrm{s}}}{\left{\ln \left[\exp (1)+(\varphi / a)^{k}\right]\right}^{m}}\left[1-\frac{\ln \left(1+\varphi / \varphi_{\mathrm{r}}\right)}{\ln \left(1+10^{6} / \varphi_{\mathrm{r}}\right)}\right]
$$
where $\theta_{s}$ is the saturated volumetric water content; $a$ is the fitting parameter related to the air-entry value for the soil; $k$ is the fitting parameter related to the maximum slope of the curve; $m$ is the fitting parameter related to the curvature of the curve; $\varphi$ is the soil suction; $\varphi_{\mathrm{r}}$ represents the soil suction related to the residual volumetric water content. In order to reduce the complexity of the equation, it was suggested that the residual suction $\varphi_{\mathrm{r}}$ takes the value of $3000 \mathrm{kPa}$, regardless of the soil types [38]. In addition, the normalized volumetric water content, that is, $S=\theta / \theta_{s}$, is introduced and Eq. (2.1) can be re-written as:
$$
S=\frac{1}{\left{\ln \left[\exp (1)+(\varphi / a)^{k}\right]\right}^{m}}\left[1-\frac{\ln \left(1+\varphi / \varphi_{\mathrm{r}}\right)}{\ln \left(1+10^{6} / \varphi_{\mathrm{r}}\right)}\right]
$$
The fitting parameters, that is, $a, k$ and $m$, can be obtained by nonlinear leastsquares methods. Although the Fredlund and Xing equation is capable of describing the SWCC by fitting the measured data, it cannot distinguish the SWCCs for the same soil under different initial dry densities. It is because the same set of fitting parameters $(a, k, m)$ is used in the Fredlund and Xing equation to describe their SWCCs. In other words, for the same soils with different initial dry densities, their SWCCs from Eq. (2.2) are identical. This induces larger level of prediction uncertainty in the estimation of unsaturated soil properties as the soil initial dry density has a significant influence on the SWCC, permeability and shear strength.

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Effect of Initial Dry Density and Proposed Estimation Method

Soil is a porous medium with different particle sizes and complex texture. Granular soils at different compaction states are associated with different dry densities and porosities. The water in the porous media with different pore size exhibits different tension due to capillary effect. In the drying process, water is more difficult to flow out from soil with larger dry density, and hence the soil has different water retentions under different densities. Generally speaking, granular soil with larger dry density has larger air-entry value and larger residual water content. As a result, its SWCC will associate with smaller maximum slope $[12,17]$. It should be noted that the contribution of the capillary mechanisms and associated pore structure to water retention is more important under relatively low suction. At high suction, the water retention is dominated by the surface adsorption mechanism. Although the clayey soil basically has this feature, the volume shrinkage of samples in the SWCC test is not negligible. For this reason, only granular soil is considered in this chapter.

From the above discussion about the effect of initial dry density on the SWCC of granular soil, a new estimation model is proposed. Sheng and Zhou [18] found that the modified suction can reflect the influence of porosity $(n)$ on the hydraulic relationship between the water content and suction:
$$
\varphi^{}=n \cdot \varphi $$ In this study, the volume change during the desorption process is ignored. Inspired by the concept of modified suction, the initial porosity ( $n_{0}$ ) is used in the estimation to consider the effect of initial dry density on the SWCC. After substantial investigations, the fitting parameters are proposed to be modified as follows: $$ a=a^{} / n_{0}, k=k^{} \cdot n_{0}, m=m^{} \cdot n_{0}
$$
where $n_{0}$ is the measured initial porosity which is introduced to the set of fitting parameters $\left(a^{}, k^{}, m^{}\right)$ to consider the effect of initial dry density on soil-water characteristic curve. In particular, $a=a^{} / n_{0}$ reflects the influence of the initial porosity on the air-entry value, and the air-entry value decreases as the initial porosity $n_{0}$ increases; $k=k^{} \cdot n_{0}$ and $m=m^{} \cdot n_{0}$ reflect the effect of initial porosity on the maximum slope and curvature of the SWCC. The water in the soil with larger $n_{0}$ is easier to flow out, so its SWCC is associated with larger maximum slope and curvature. Thus, the new estimation model is:
$$
S=\frac{1}{\left{\ln \left[\exp (1)+\left(\varphi \cdot n_{0} / a^{}\right)^{k^{} \cdot n_{0}}\right]\right}^{m^{} \cdot n_{0}}}\left[1-\frac{\ln \left(1+\varphi / \varphi_{\mathrm{r}}\right)}{\ln \left(1+10^{6} / \varphi_{\mathrm{r}}\right)}\right] $$ The effect of $n_{0}$ is further shown in Fig. 2.1. The three curves in this figure represent the $\mathrm{SWCCs}$ of the same soil $\left(a^{}=1, k^{}=15, m^{}=2\right)$ with different initial porosities.

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Verification and Discussion

The lab test data of SWCCs for three types of sands, namely Berlin coarse sand, Berlin medium sand and Wagram sand, with different initial porosities were collected from the UNSODA [37] database. According to the database manual [37], the tensiometry and gamma-ray attenuation were used to measure the suction and volumetric water content of Berlin coarse and Berlin medium sands, respectively. The pressure outflow method was used to determine the water retention of Wagram sand. The relevant soil

properties and texture contents are summarized in Table 2.1. Figure $2.2$ shows the process of data partitioning, curve-fitting and verification. The data from the same soil are divided into two groups randomly and repeatedly according to proportion of $2: 1$ : the first group of two-thirds of the data points for obtaining the fitting parameters and the rest of the one-third for verification. In the fitting process, different sets of fitting parameters, that is, $(a, k, m)$ for the Fredlund and Xing equation and $\left(a^{}, k^{}\right.$, $\left.m^{*}\right)$ for the proposed estimation method, are obtained for different data sets.

It was found that the calculated fitting parameters could depend heavily on the partitioning of the two groups of data for fitting and verification due to the limited number of data points. Therefore, to assure the reliability of the data fitting, a simple criterion is imposed for data partitioning. According to the process of Fig. 2.2, 2250 sets of data are randomly selected from each soil type and 2250 sets of fitting parameters are computed by both Fredlund and Xing equation and the proposed method. Sorting the values of each fitting parameter, their values at $97.5$ and $2.5$ percentiles are obtained. Thus, the corresponding $95 \%$ confidence interval (CI) for each parameter can be constructed. 1000 sets of test data are randomly selected to analyze statistically if their fitting parameters, $(a, k, m)$ and $\left(a^{}, k^{}, m^{*}\right)$, are all located in their corresponding $95 \%$ CIs. Figure $2.3$ shows an example of frequency distribution about the relevant fitting parameters by Fredlund and Xing equation and the proposed method. Finally, a random data set is used as Group I data, and then the rest of data points are categorized into Group II data for verification.

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概率论代考

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Fredlund and Xing Equation for SWCC

基于 SWCC 的形状取决于土壤的孔径分布的假设,Fredlund 和 Xing [7] 提出了一个三参数方程小号在CC,具有适合各种土壤的灵活性:

\theta=\frac{\theta_{\mathrm{s}}}{\left{\ln \left[\exp (1)+(\varphi / a)^{k}\right]\right}^{m }}\left[1-\frac{\ln \left(1+\varphi / \varphi_{\mathrm{r}}\right)}{\ln \left(1+10^{6} / \varphi_{ \mathrm{r}}\right)}\right]\theta=\frac{\theta_{\mathrm{s}}}{\left{\ln \left[\exp (1)+(\varphi / a)^{k}\right]\right}^{m }}\left[1-\frac{\ln \left(1+\varphi / \varphi_{\mathrm{r}}\right)}{\ln \left(1+10^{6} / \varphi_{ \mathrm{r}}\right)}\right]
在哪里θs是饱和体积含水量;一个是与土壤进气值相关的拟合参数;ķ是与曲线最大斜率相关的拟合参数;米是与曲线曲率有关的拟合参数;披是土壤吸力;披r代表与剩余体积含水量相关的土壤吸力。为了降低方程的复杂性,建议将剩余吸力披r取值为3000ķ磷一个,无论土壤类型如何 [38]。此外,归一化的体积含水量,即小号=θ/θs, 被介绍和等式。(2.1) 可改写为:

S=\frac{1}{\left{\ln \left[\exp (1)+(\varphi / a)^{k}\right]\right}^{m}}\left[1-\frac {\ln \left(1+\varphi / \varphi_{\mathrm{r}}\right)}{\ln \left(1+10^{6} / \varphi_{\mathrm{r}}\right) }\正确的]S=\frac{1}{\left{\ln \left[\exp (1)+(\varphi / a)^{k}\right]\right}^{m}}\left[1-\frac {\ln \left(1+\varphi / \varphi_{\mathrm{r}}\right)}{\ln \left(1+10^{6} / \varphi_{\mathrm{r}}\right) }\正确的]
拟合参数,即一个,ķ和米, 可以通过非线性最小二乘法获得。虽然 Fredlund 和 Xing 方程能够通过拟合实测数据来描述 SWCC,但它无法区分相同土壤在不同初始干密度下的 SWCC。这是因为同一组拟合参数(一个,ķ,米)在 Fredlund 和 Xing 方程中用于描述他们的 SWCC。换句话说,对于具有不同初始干密度的相同土壤,它们的 SWCC 来自方程。(2.2) 是相同的。由于土壤初始干密度对 SWCC、渗透性和抗剪强度有显着影响,因此这会在非饱和土壤性质的估计中导致更大程度的预测不确定性。

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Effect of Initial Dry Density and Proposed Estimation Method

土壤是一种具有不同粒径和复杂质地的多孔介质。不同压实状态的粒状土与不同的干密度和孔隙度有关。不同孔径的多孔介质中的水由于毛细作用而表现出不同的张力。在干燥过程中,水分越难从干密度较大的土壤中流出,因此不同密度下土壤的保水性也不同。一般来说,干密度越大的粒状土,其入气值越大,残留含水量也越大。因此,它的 SWCC 将与较小的最大斜率相关联[12,17]. 需要注意的是,在相对较低的吸力下,毛细机制和相关孔隙结构对保水的贡献更为重要。在高吸力下,保水性由表面吸附机制支配。黏性土虽然基本具有这一特点,但在 SWCC 试验中样品的体积收缩是不可忽略的。因此,本章只考虑粒状土壤。

综合以上关于初始干密度对粒状土SWCC影响的讨论,提出了一种新的估算模型。盛和周[18]发现修正吸力可以反映孔隙度的影响(n)关于含水量与吸力之间的水力关系:

披=n⋅披在本研究中,解吸过程中的体积变化被忽略。受修正吸力概念的启发,初始孔隙率 (n0) 用于估计初始干密度对 SWCC 的影响。经过大量研究,建议对拟合参数进行如下修改:

一个=一个/n0,ķ=ķ⋅n0,米=米⋅n0
在哪里n0是引入拟合参数集的测量初始孔隙度(一个,ķ,米)考虑初始干密度对土水特征曲线的影响。尤其是,一个=一个/n0反映了初始孔隙度对进气值的影响,进气值随着初始孔隙度的增加而减小n0增加;ķ=ķ⋅n0和米=米⋅n0反映了初始孔隙度对 SWCC 最大坡度和曲率的影响。土壤中的水分较大n0更容易流出,因此它的 SWCC 与较大的最大坡度和曲率有关。因此,新的估计模型为:

S=\frac{1}{\left{\ln \left[\exp (1)+\left(\varphi \cdot n_{0} / a^{}\right)^{k^{} \cdot n_ {0}}\right]\right}^{m^{} \cdot n_{0}}}\left[1-\frac{\ln \left(1+\varphi / \varphi_{\mathrm{r} }\right)}{\ln \left(1+10^{6} / \varphi_{\mathrm{r}}\right)}\right]S=\frac{1}{\left{\ln \left[\exp (1)+\left(\varphi \cdot n_{0} / a^{}\right)^{k^{} \cdot n_ {0}}\right]\right}^{m^{} \cdot n_{0}}}\left[1-\frac{\ln \left(1+\varphi / \varphi_{\mathrm{r} }\right)}{\ln \left(1+10^{6} / \varphi_{\mathrm{r}}\right)}\right]的效果n0进一步如图 2.1 所示。该图中的三条曲线代表小号在CCs相同的土壤(一个=1,ķ=15,米=2)具有不同的初始孔隙率。

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Verification and Discussion

从 UNSODA [37] 数据库中收集了具有不同初始孔隙度的柏林粗砂、柏林中砂和瓦格拉姆砂三种砂的 SWCC 实验室测试数据。根据数据库手册[37],张力测定法和伽马射线衰减分别用于测量柏林粗砂和柏林中砂的吸力和体积含水量。采用压力流出法测定瓦格拉姆砂的保水性。相关土壤

属性和纹理内容总结在表 2.1 中。数字2.2显示了数据划分、曲线拟合和验证的过程。同一土壤的数据按比例随机重复分为两组2:1:第一组三分之二的数据点用于获取拟合参数,其余三分之一用于验证。在拟合过程中,不同的拟合参数集,即(一个,ķ,米)对于 Fredlund 和 Xing 方程和 $\left(a^{ }, k^{ }\right。,\left.m^{*}\right)$ 用于所提出的估计方法,是针对不同的数据集获得的。

结果发现,由于数据点的数量有限,计算出的拟合参数在很大程度上取决于对两组数据进行拟合和验证的划分。因此,为了保证数据拟合的可靠性,对数据的划分采用了一个简单的标准。根据图 2.2 的过程,从每种土壤类型中随机选择 2250 组数据,并通过 Fredlund 和 Xing 方程以及所提出的方法计算出 2250 组拟合参数。对每个拟合参数的值进行排序,它们的值位于97.5和2.5获得百分位数。因此,相应的95%可以构建每个参数的置信区间 (CI)。随机抽取1000组测试数据,统计分析其拟合参数,(一个,ķ,米)和(一个,ķ,米∗), 都位于它们对应的95%CI。数字2.3通过 Fredlund 和 Xing 方程和所提出的方法显示了有关相关拟合参数的频率分布示例。最后,将一个随机数据集作为第一组数据,然后将其余数据点归为第二组数据进行验证。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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