数学代写|线性代数代写linear algebra代考|MATH1002

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  • Advanced Probability Theory 高等概率论
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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|线性代数代写linear algebra代考|MATH1002

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Exploration: Digital Images

In order to understand and solve our tomography task (Section 1.2.1), we must first understand the nature of the radiographs that comprise our data. Each radiograph is actually a digitally stored collection of numerical values. It is convenient for us when they are displayed in a pixel arrangement with colors or grayscale. This section explores the nature of pixelized images and provides exercises and questions to help us understand their place in a linear algebra context.

We begin by formalizing the concept of an image with a definition. We will then consider the most familiar examples of images in this section. In subsequent sections we will revisit this definition and explore other examples.

First, let us look at an image from a camera in grayscale. In Figure $2.3$, we see one of the authors learning to sail. When we zoom in on a small patch, we see squares of uniform color. These are the pixels in the image. Each square (or pixel) has an associated intensity or brightness. Intensities are given a corresponding numerical value for storage in computer or camera memory. Brighter pixels are assigned larger numerical values.

Consider the $4 \times 4$ grayscale image in Figure 2.4. This image corresponds to the array of numbers at right, where a black pixel corresponds to intensity 0 and increasingly lighter shades of gray correspond to increasing intensity values. A white pixel (not shown) corresponds to an intensity of $16 .$

A given image can be displayed on different scales; in Figure 2.3, a pixel value of 0 is displayed as black and 255 is displayed as white, while in Figure $2.4$ a pixel value of 0 is displayed as black and 16 is displayed as white. The display scale does not change the underlying pixel values of the image.
Also, the same object may produce different images when imaged with different recording devices, or even when imaged using the same recording device with different calibrations. For example, this is what a smart phone is doing when you touch a portion of the screen to adjust the brightness when you take a picture with it.

Our definition of an image yields a natural way to think about arithmetic operations on images such as multiplication by a scalar and adding two images. For example, suppose we start with the three images A, B, and C in Figure 2.5.

Multiplying Image A by one half results in Image 1 in Figure 2.6. Every intensity value is now half what it previously was, so all pixels have become darker gray (representing their lower intensity). Adding Image 1 to Image $\mathrm{C}$ results in Image 2 (also in Figure 2.6); so Image 2 is created by doing arithmetic on Images A and $\mathrm{C}$.

Caution: Digital images and matrices are both arrays of numbers. However, not all digital images have rectangular geometric configurations like matrices ${ }^{1}$, and even digital images with rectangular configurations are not matrices, since there are operations ${ }^{2}$ that can be performed with matrices that do not make sense for digital images.

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Exercises

For some of these exercises you will need access to OCTAVE or MATLAB software. The following exercises refer to images found in Figures $2.5$ and 2.6.

  1. Express Image 3 using arithmetic operations on Images A, B, and $C$. (Note that the pixel intensities in Image 3 are all either 4,8 , or 16.)
  2. Express Image 4 using arithmetic operations on Images A, B, and C. (Note that the pixel intensities in Image 4 are all either 0 or 16.)
  3. Input the following lines of code into the command window of OCTAVE/MATLAB. Note that ending a line with a semicolon suppresses terminal output. If you want to show the result of a computation, delete the semicolon at the end of its line. Briefly describe what each of these lines of code produces.
  1. Enter the following lines of code one at a time and state what each does.
  2. Write your own lines of code to check your conjectures for producing Images 3 and/or 4 . How close are these to Images 3 and/or 4?
  3. We often consider display scales that assign pixels with value 0 to the color black. If a recording device uses such a scale then we do not expect any images it produces to contain pixels with negative values. However, in our definition of an image we do not restrict the pixel values. In this problem you will explore how OCTAVE/MATLAB displays an image with negative pixel values, and you will explore the effects of different gray scale ranges on an image.

Input the image pictured below into OCTAVE/MATLAB. Then display the image using each of the following five grayscale ranges.

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Systems of Equations

In Section $2.1$, we considered various $4 \times 4$ images (see page 11 ). We showed that Image 2 could be formed by performing image addition and scalar multiplication on Images $A, B$, and $C$. In particular,
(\text { Image } 2)=\left(\frac{1}{2}\right)(\text { Image } A)+(0)(\text { Image } B)+(1)(\text { Image } C)
We also posed the question about whether or not Images 3 and 4 can be formed using any arithmetic operations of Images $A, B$, and C. One can definitely determine, by inspection, the answer to these questions. Sometimes, however, trying to answer such questions by inspection can be a very tedious task. In this section, we introduce tools that can be used to answer such questions. In particular, we will discuss the method of elimination, used for solving systems of linear equations. We will also use matrix reduction on an augmented matrix to solve the corresponding system of equations. We will conclude the section with a key connection between the number of solutions to a system of equations and a reduced form of the augmented matrix.

Let $I_{1}$ and $I_{2}$ be images. We say that $I_{1}=I_{2}$ if each pair of corresponding pixels from $I_{1}$ and $I_{2}$ has the same intensity.

The convention in Figure 2.4, Definition 2.2.1, and Equation $2.1$ give us a means to write an equation, corresponding to the upper left pixel of Image D,
8=0 \alpha+4 \beta+8 \gamma
This equation has a very specific form: it is a linear equation. Such equations are at the heart of the study of linear algebra, so we recall the definition below.

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数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Exploration: Digital Images

为了理解和解决我们的断层扫描任务(第 1.2.1 节),我们必须首先了解构成我们数据的射线照片的性质。每张射线照片实际上是数字存储的数值集合。当它们以彩色或灰度的像素排列显示时,对我们来说很方便。本节探讨像素化图像的本质,并提供练习和问题来帮助我们理解它们在线性代数环境中的位置。



考虑4×4图 2.4 中的灰度图像。该图像对应于右侧的数字数组,其中黑色像素对应于强度 0,越来越浅的灰色阴影对应于增加的强度值。白色像素(未显示)对应于强度16.

给定的图像可以以不同的比例显示;在图 2.3 中,像素值 0 显示为黑色,255 显示为白色,而在图2.4像素值 0 显示为黑色,16 显示为白色。显示比例不会改变图像的底层像素值。

我们对图像的定义产生了一种自然的方式来考虑图像上的算术运算,例如乘以标量和添加两个图像。例如,假设我们从图 2.5 中的三个图像 A、B 和 C 开始。

将图像 A 乘以二分之一得到图 2.6 中的图像 1。现在每个强度值都是以前的一半,因此所有像素都变成了更深的灰色(表示它们的强度较低)。将图像 1 添加到图像C结果在图 2 中(也在图 2.6 中);所以图像 2 是通过对图像 A 和C.


数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Exercises

对于其中一些练习,您需要使用 OCTAVE 或 MATLAB 软件。以下练习参考图中的图像2.5和 2.6。

  1. 使用图像 A、B 和图像上的算术运算来表达图像 3C. (请注意,图像 3 中的像素强度都是 4,8 或 16。)
  2. 使用图像 A、B 和 C 的算术运算来表达图像 4。(请注意,图像 4 中的像素强度都是 0 或 16。)
  3. 在 OCTAVE/MATLAB 的命令窗口中输入以下代码行。请注意,以分号结束一行会抑制终端输出。如果要显示计算结果,请删除行尾的分号。简要描述每行代码产生的内容。
  1. 一次输入以下几行代码,并说明每行的作用。
  2. 编写您自己的代码行来检查您对生成图像 3 和/或 4 的猜想。这些与图像 3 和/或 4 有多接近?
  3. 我们经常考虑将值为 0 的像素分配给黑色的显示比例。如果记录设备使用这样的比例,那么我们不希望它产生的任何图像包含具有负值的像素。但是,在我们对图像的定义中,我们不限制像素值。在这个问题中,您将探索 OCTAVE/MATLAB 如何显示具有负像素值的图像,并且您将探索不同灰度范围对图像的影响。

将下图所示的图像输入到 OCTAVE/MATLAB。然后使用以下五个灰度范围中的每一个显示图像。

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Systems of Equations

在部分2.1,我们考虑了各种4×4图像(参见第 11 页)。我们证明了图像 2 可以通过对图像执行图像加法和标量乘法来形成一个,乙, 和C. 尤其是,

( 图片 2)=(12)( 图片 一个)+(0)( 图片 乙)+(1)( 图片 C)
我们还提出了图像 3 和 4 是否可以使用图像的任何算术运算形成的问题一个,乙, 和 C. 通过检查可以肯定地确定这些问题的答案。然而,有时试图通过检查来回答这些问题可能是一项非常乏味的任务。在本节中,我们将介绍可用于回答此类问题的工具。特别是,我们将讨论用于求解线性方程组的消元法。我们还将在增广矩阵上使用矩阵约简来求解相应的方程组。我们将以方程组解的数量与增广矩阵的简化形式之间的关键联系结束本节。


图 2.4、定义 2.2.1 和公式中的约定2.1给我们一种写方程的方法,对应于图像 D 的左上像素,


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术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。



有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。





随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。


多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。


MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。