数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Basics of Coding Theory

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编码理论是研究编码的属性和它们各自对特定应用的适用性。编码被用于数据压缩、密码学、错误检测和纠正、数据传输和数据存储。

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Basics of Coding Theory

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Finite Fields

Finite fields play an essential role in coding theory. The theory and construction of finite fields can be found, for example, in [1254] and [1408, Chapter 2]. Finite fields, as related specifically to codes, are described in [1008, 1323, 1602]. In this section we give a brief introduction.

Definition 1.2.1 A field $\mathbb{F}$ is a nonempty set with two binary operations, denoted $+$ and $\cdot$, satisfying the following properties.
(a) For all $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{F}, \alpha+\beta \in \mathbb{F}, \alpha \cdot \beta \in \mathbb{F}, \alpha+\beta=\beta+\alpha, \alpha \cdot \beta=\beta \cdot \alpha, \alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma$, $\alpha \cdot(\beta \cdot \gamma)=(\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma$, and $\alpha \cdot(\beta+\gamma)=\alpha \cdot \beta+\alpha \cdot \gamma$.
(b) $\mathbb{F}$ possesses an additive identity or zero, denoted 0 , and a multiplicative identity or unity, denoted 1 , such that $\alpha+0=\alpha$ and $\alpha \cdot 1=\alpha$ for all $\alpha \in \mathbb{F}_{q}$.
(c) For all $\alpha \in \mathbb{F}$ and all $\beta \in \mathbb{F}$ with $\beta \neq 0$, there exists $\alpha^{\prime} \in \mathbb{F}$, called the additive inverse of $\alpha$, and $\beta^{} \in \mathbb{F}$, called the multiplicative inverse of $\beta$, such that $\alpha+\alpha^{\prime}=0$ and $\beta \cdot \beta^{}=1$.

The additive inverse of $\alpha$ will be denoted $-\alpha$, and the multiplicative inverse of $\beta$ will be denoted $\beta^{-1}$. Usually the multiplication operation will be suppressed; that is, $\alpha \cdot \beta$ will be denoted $\alpha \beta$. If $n$ is a positive integer and $\alpha \in \mathbb{F}, n \alpha=\alpha+\alpha+\cdots+\alpha\left(n\right.$ times ), $\alpha^{n}=\alpha \alpha \cdots \alpha$ ( $n$ times), and $\alpha^{-n}=\alpha^{-1} \alpha^{-1} \cdots \alpha^{-1}$ ( $n$ times when $\alpha \neq 0$ ). Also $\alpha^{0}=1$ if $\alpha \neq 0$. The usual rules of exponentiation hold. If $\mathbb{F}$ is a finite set with $q$ elements, $\mathbb{F}$ is called a finite field of order $q$ and denoted $\mathbb{F}_{q}$.

Example 1.2.2 Fields include the rational numbers $\mathbb{Q}$, the real numbers $\mathbb{R}$, and the complex numbers $\mathbb{C}$. Finite fields include $\mathbb{Z}_{p}$, the set of integers modulo $p$, where $p$ is a prime.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Generator and Parity Check Matrices

When choosing between linear and nonlinear codes, the added algebraic structure of linear codes often makes them easier to describe and use. Generally, a linear code is defined by giving either a generator or a parity check matrix.

Definition 1.4.1 Let $\mathcal{C}$ be an $[n, k]{q}$ linear code. A generator matrix $G$ for $\mathcal{C}$ is any $G \in \mathbb{F}{q}^{k \times n}$ whose row span is $\mathcal{C}$. Because any $k$-dimensional subspace of $\mathbb{F}{q}^{n}$ is the kernel of some linear transformation from $\mathbb{F}{q}^{n}$ onto $\mathbb{F}{q}^{n-k}$, there exists $H \in \mathbb{F}{q}^{(n-k) \times n}$, with independent rows, such that $\mathcal{C}=\left{\mathbf{c} \in \mathbb{F}_{q}^{n} \mid H^{\mathrm{T}}=\mathbf{0}^{\mathrm{T}}\right}$. Such a matrix, of which there are generally many, is called a parity check matrix of $\mathcal{C}$.

Example 1.4.2 Continuing with Example 1.3.2, there are several generator matrices for $\mathcal{C}{1}$ including $$ G{1}=\left[\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 1 \
0 & 1 & 0 & 1 \
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right], G_{1}^{\prime}=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \
1 & 1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 1 & 0
\end{array}\right] \text {, and } G_{1}^{\prime \prime}=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right] \text {. }
$$
In this case there is only one parity check matrix $H_{1}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1\end{array}\right.$
Remark 1.4.3 Any matrix obtained by elementary row operations from a generator matrix for a code remains a generator matrix of that code.

Remark 1.4.4 By Definition 1.4.1, the rows of $G$ form a basis of $\mathcal{C}$, and the rows of $H$ are independent. At times, the requirement may be relaxed so that the rows of $G$ are only required to span $\mathcal{C}$. Similarly, the requirement that the rows of $H$ be independent may be dropped as long as $\mathcal{C}=\left{\mathbf{c} \in \mathbb{F}_{q}^{n} \mid H \mathbf{c}^{\top}=\mathbf{0}^{\mathrm{T}}\right}$ remains true.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Distance and Weight

The error-correcting capability of a code is keyed directly to the concepts of Hamming distance and Hamming weight. ${ }^{3}$

Definition 1.6.1 The (Hamming) distance between two vectors $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{F}{q}^{n}$, denoted $\mathrm{d}{\mathrm{H}}(\mathbf{x}, \mathbf{y})$, is the number of coordinates in which $\mathbf{x}$ and $\mathbf{y}$ differ. The (Hamming) weight of $\mathbf{x} \in \mathbb{F}{q}^{n}$, denoted $w t{\mathrm{H}}(\mathbf{x})$, is the number of coordinates in which $\mathbf{x}$ is nonzero.
Theorem 1.6.2 ([1008, Chapter 1.4]) The following hold.
(a) (nonnegativity) $\mathrm{d}{\mathrm{H}}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \geq 0$ for all $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{F}{q}^{n}$.
(b) $\mathrm{d}{\mathrm{H}}(\mathbf{x}, \mathbf{y})=0$ if and only if $\mathbf{x}=\mathbf{y}$. (c) (symmetry) $\mathrm{d}{\mathrm{H}}(\mathbf{x}, \mathbf{y})=\mathrm{d}{\mathrm{H}}(\mathbf{y}, \mathbf{x})$ for all $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{F}{q}^{n}$.
(d) (triangle inequality) $\mathrm{d}{\mathrm{H}}(\mathbf{x}, \mathbf{z}) \leq \mathrm{d}{\mathrm{H}}(\mathbf{x}, \mathbf{y})+\mathrm{d}{\mathrm{H}}(\mathbf{y}, \mathbf{z})$ for all $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in \mathbb{F}{q}^{n}$.
(e) $\mathrm{d}{\mathrm{H}}(\mathbf{x}, \mathbf{y})=\mathrm{wt}{\mathrm{H}}(\mathbf{x}-\mathbf{y})$ for all $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{F}{q}^{n}$. (f) If $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{F}{2}^{n}$, then
where $\mathbf{x} \star \mathbf{y}$ is the vector in $\mathbb{F}{2}^{n}$ which has $1 s$ precisely in those coordinates where both $\mathbf{x}$ and $\mathbf{y}$ have $1 s$. (g) If $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{F}{2}^{n}$, then $\mathrm{wt}{\mathrm{H}}(\mathbf{x} \star \mathbf{y}) \equiv \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}(\bmod 2)$. In particular, $\mathrm{wt}{\mathrm{H}}(\mathbf{x}) \equiv \mathbf{x} \cdot \mathbf{x}(\bmod 2)$.

(h) If $\mathbf{x} \in \mathbb{F}{3}^{n}$, then $\mathrm{wt}{\mathrm{H}}(\mathbf{x}) \equiv \mathbf{x} \cdot \mathbf{x}(\bmod 3)$.
Remark 1.6.3 A distance function on a vector space that satisfies parts (a) through (d) of Theorem 1.6.2 is called a metric; thus $\mathrm{d}_{\mathrm{H}}$ is termed the Hamming metric. Other metrics useful in coding theory are examined in Chapter $22 .$

Definition 1.6.4 Let $\mathcal{C}$ be an $(n, M){q}$ code with $M>1$. The minimum (Hamming) distance of $\mathcal{C}$ is the smallest distance between distinct codewords. If the minimum distance $d$ of $\mathcal{C}$ is known, $\mathcal{C}$ is denoted an $(n, M, d){q}$ code (or an $[n, k, d]{q}$ code if $\mathcal{C}$ is linear of dimension $k$ ). The (Hamming) distance distribution or inner distribution of $\mathcal{C}$ is the list $B{0}(\mathcal{C}), B_{1}(\mathcal{C}), \ldots, B_{n}(\mathcal{C})$ where, for $0 \leq i \leq n$,
$$
B_{i}(\mathcal{C})=\frac{1}{M} \sum_{\mathbf{c} \in \mathcal{C}}\left|\left{\mathbf{v} \in \mathcal{C} \mid \mathrm{d}_{\mathrm{H}}(\mathbf{v}, \mathbf{c})=i\right}\right|
$$

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编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Finite Fields

有限域在编码理论中起着至关重要的作用。例如,在 [1254] 和 [1408,第 2 章] 中可以找到有限域的理论和构造。[1008, 1323, 1602] 中描述了具体与代码相关的有限域。本节我们做一个简单的介绍。

定义 1.2.1 一个字段F是具有两个二元运算的非空集,记为+和⋅,满足以下性质。
(a) 对所有人一个,b,C∈F,一个+b∈F,一个⋅b∈F,一个+b=b+一个,一个⋅b=b⋅一个,一个+(b+C)=(一个+b)+C, 一个⋅(b⋅C)=(一个⋅b)⋅C, 和一个⋅(b+C)=一个⋅b+一个⋅C.
(二)F拥有一个加法单位或零,表示为 0 ,和一个乘法单位或单位,表示为 1 ,使得一个+0=一个和一个⋅1=一个对所有人一个∈Fq.
(c) 对所有人一个∈F和所有b∈F和b≠0, 那里存在一个′∈F,称为加法逆一个, 和b∈F,称为乘法逆b, 这样一个+一个′=0和b⋅b=1.

的加法逆一个将表示−一个, 和乘法逆b将表示b−1. 通常乘法运算会被抑制;那是,一个⋅b将表示一个b. 如果n是一个正整数并且一个∈F,n一个=一个+一个+⋯+一个(n次),一个n=一个一个⋯一个 ( n次),和一个−n=一个−1一个−1⋯一个−1(n有时一个≠0)。还一个0=1如果一个≠0. 通常的求幂规则成立。如果F是一个有限集q元素,F称为有限序域q并表示Fq.

示例 1.2.2 字段包括有理数问, 实数R, 和复数C. 有限域包括从p, 整数集取模p, 在哪里p是一个素数。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Generator and Parity Check Matrices

在线性码和非线性码之间进行选择时,线性码的附加代数结构通常使它们更易于描述和使用。通常,通过给出生成器或奇偶校验矩阵来定义线性码。

定义 1.4.1 让C豆[n,ķ]q线性码。生成矩阵G为了C是任何G∈Fqķ×n其行跨度为C. 因为任何ķ-维子空间Fqn是一些线性变换的核Fqn到Fqn−ķ, 那里存在H∈Fq(n−ķ)×n,具有独立的行,使得\mathcal{C}=\left{\mathbf{c} \in \mathbb{F}_{q}^{n} \mid H^{\mathrm{T}}=\mathbf{0}^{\mathrm {T}}\右}\mathcal{C}=\left{\mathbf{c} \in \mathbb{F}_{q}^{n} \mid H^{\mathrm{T}}=\mathbf{0}^{\mathrm {T}}\右}. 这样的矩阵,一般有很多,称为奇偶校验矩阵C.

例 1.4.2 继续例 1.3.2,$\mathcal{C} {1}有几个生成矩阵一世nCl在d一世nG$ G {1}=\左[

1001 0101 0011\right], G_{1}^{\prime}=\left[

1111 1100 0110\right] \text { 和 } G_{1}^{\prime \prime}=\left[

1100 0110 0011\右] \文本{。}
$$
在这种情况下只有一个奇偶校验矩阵H1=[111
备注 1.4.3 通过基本行操作从代码的生成矩阵获得的任何矩阵仍然是该代码的生成矩阵。

备注 1.4.4 根据定义 1.4.1,行G形成一个基础C, 和的行H是独立的。有时,要求可能会放宽,以便G只需要跨越C. 同样,要求的行H只要是独立的就可以被丢弃\mathcal{C}=\left{\mathbf{c}\in \mathbb{F}_{q}^{n}\mid H \mathbf{c}^{\top}=\mathbf{0}^{ \mathrm{T}}\right}\mathcal{C}=\left{\mathbf{c}\in \mathbb{F}_{q}^{n}\mid H \mathbf{c}^{\top}=\mathbf{0}^{ \mathrm{T}}\right}保持真实。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Distance and Weight

代码的纠错能力直接取决于汉明距离和汉明权重的概念。3

定义 1.6.1 两个向量之间的(汉明)距离X,是∈Fqn, 表示dH(X,是), 是其中的坐标数X和是不同。的(汉明)权重X∈Fqn, 表示在吨H(X), 是其中的坐标数X是非零的。
定理 1.6.2 ([1008, Chapter 1.4]) 以下成立。
(a)(非消极性)dH(X,是)≥0对所有人X,是∈Fqn.
(二)dH(X,是)=0当且仅当X=是. (c) (对称)dH(X,是)=dH(是,X)对所有人X,是∈Fqn.
(d) (三角不等式)dH(X,和)≤dH(X,是)+dH(是,和)对所有人X,是,和∈Fqn.
(和)dH(X,是)=在吨H(X−是)对所有人X,是∈Fqn. (f) 如果X,是∈F2n,然后
在哪里X⋆是是向量F2n其中有1s正是在那些坐标X和是有1s. (g) 如果X,是∈F2n, 然后在吨H(X⋆是)≡X⋅是(反对2). 尤其是,在吨H(X)≡X⋅X(反对2).

(h) 如果 $\mathbf{x} \in \mathbb{F} {3}^{n},吨H和n\mathrm{wt} {\mathrm{H}}(\mathbf{x}) \equiv \mathbf{x} \cdot \mathbf{x}(\bmod 3).R和米一个rķ1.6.3一个d一世s吨一个nC和F在nC吨一世○n○n一个在和C吨○rsp一个C和吨H一个吨s一个吨一世sF一世和sp一个r吨s(一个)吨Hr○在GH(d)○F吨H和○r和米1.6.2一世sC一个ll和d一个米和吨r一世C;吨H在s\ mathrm {d} _ {\ mathrm {H}一世s吨和r米和d吨H和H一个米米一世nG米和吨r一世C.○吨H和r米和吨r一世Cs在s和F在l一世nC○d一世nG吨H和○r是一个r和和X一个米一世n和d一世nCH一个p吨和r22 .$

定义 1.6.4 让C豆(n,米)q代码与米>1. 的最小(汉明)距离C是不同码字之间的最小距离。如果最小距离d的C众所周知,C表示为(n,米,d)q代码(或[n,ķ,d]q代码如果C是线性的维度ķ)。的(汉明)距离分布或内部分布C是列表乙0(C),乙1(C),…,乙n(C)其中,对于0≤一世≤n,

B_{i}(\mathcal{C})=\frac{1}{M}\sum_{\mathbf{c}\in \mathcal{C}}\left|\left{\mathbf{v}\in\数学{C} \mid \mathrm{d}_{\mathrm{H}}(\mathbf{v}, \mathbf{c})=i\right}\right|B_{i}(\mathcal{C})=\frac{1}{M}\sum_{\mathbf{c}\in \mathcal{C}}\left|\left{\mathbf{v}\in\数学{C} \mid \mathrm{d}_{\mathrm{H}}(\mathbf{v}, \mathbf{c})=i\right}\right|

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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