数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Diagonally Dominant Tridiagonal Matrices; Three Examples

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计算线性代数是在计算机上解决线性代数问题(大型线性方程组、计算矩阵特征值、特征向量等)的数字算法。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Diagonally Dominant Tridiagonal Matrices; Three Examples

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Piecewise Linear and Cubic Spline Interpolation

To avoid oscillations like the one in Fig. $2.1$ piecewise linear interpolation can be used. An example is shown in Fig. 2.2. The interpolant $g$ approximates the original function quite well, and for some applications, like plotting, the linear interpolant using many points is what is used. Note that $g$ is a piecewise polynomial of the form
$$
g(x):= \begin{cases}p_{1}(x), & \text { if } x_{1} \leq x<x_{2} \ p_{2}(x), & \text { if } x_{2} \leq x<x_{3} \ \vdots & \ p_{n-1}(x), & \text { if } x_{n-1} \leq x<x_{n} \ p_{n}(x), & \text { if } x_{n} \leq x \leq x_{n+1}\end{cases}
$$

where each $p_{i}$ is a polynomial of degree $\leq 1$. In particular, $p_{1}$ is given in (2.3) and the other polynomials $p_{i}$ are given by similar expressions.

The piecewise linear interpolant is continuous, but the first derivative will usually have jumps at the interior sites. We can obtain a smoother approximation by letting $g$ be a piecewise polynomial of higher degree. With degree 3 (cubic) we obtain continuous derivatives of order $\leq 2\left(C^{2}\right)$. We consider here the following functions giving examples of $C^{2}$ cubic spline interpolants.

Definition 2.1 (The $D_{2}-$ Spline Problem) Given $n \in \mathbb{N}$, an interval $[a, b], y \in$ $\mathbb{R}^{n+1}$, knots (sites) $x_{1}, \ldots, x_{n+1}$ given by $(2.1)$ and numbers $\mu_{1}, \mu_{n+1}$. The problem is to find a function $g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ such that

  • piecewise cubic polynomial: $g$ is of the form (2.4) with each $p_{i}$ a cubic polynomial,
  • smoothness: $g \in C^{2}[a, b]$, i.e., derivatives of order $\leq 2$ are continuous on $\mathbb{R}$,
  • interpolation: $g\left(x_{i}\right)=y_{i}, \quad i=1,2, \ldots, n+1$,
  • $D_{2}$ boundary conditions: $g^{\prime \prime}(a)=\mu_{1}, \quad g^{\prime \prime}(b)=\mu_{n+1}$.
    We call $g$ a $D_{2}$-spline. It is called an $N$-spline or natural spline if $\mu_{1}=\mu_{n+1}=0$.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Give Me a Moment

Existence and uniqueness of a solution of the $D_{2}$-spline problem hinges on the nonsingularity of a linear system of equations that we now derive. The unknowns are derivatives at the knots. Here we use second derivatives which are sometimes called moments. We start with the following lemma.

Lemma $2.1$ (Representing Each $p_{i}$ Using $(0,2)$ Interpolation) Given $a<b$, $h=(b-a) / n$ with $n \geq 2, x_{i}=a+(i-1) h$, and numbers $y_{i}, \mu_{i}$ for $i=1, \ldots, n+1$. For $i=1, \ldots, n$ there are unique cubic polynomials $p_{i}$ such that
$$
p_{i}\left(x_{i}\right)=y_{i}, p_{i}\left(x_{i+1}\right)=y_{i+1}, \quad p_{i}^{\prime \prime}\left(x_{i}\right)=\mu_{i}, p_{i}^{\prime \prime}\left(x_{i+1}\right)=\mu_{i+1}
$$
Moreover,
$$
p_{i}(x)=c_{i, 1}+c_{i, 2}\left(x-x_{i}\right)+c_{i, 3}\left(x-x_{i}\right)^{2}+c_{i, 4}\left(x-x_{i}\right)^{3} \quad i=1, \ldots, n
$$
where
$$
c_{i 1}=y_{i}, c_{i 2}=\frac{y_{i+1}-y_{i}}{h}-\frac{h}{3} \mu_{i}-\frac{h}{6} \mu_{i+1}, c_{i, 3}=\frac{\mu_{i}}{2}, c_{i, 4}=\frac{\mu_{i+1}-\mu_{i}}{6 h} .
$$ Proof Consider $p_{i}$ in the form (2.7) for some $1 \leq i \leq n$. Evoking (2.6) we find $p_{i}\left(x_{i}\right)=c_{i, 1}=y_{i}$. Since $p_{i}^{\prime \prime}(x)=2 c_{i, 3}+6 c_{i, 4}\left(x-x_{i}\right)$ we obtain $c_{i, 3}$ from $p_{i}^{\prime \prime}\left(x_{i}\right)=$ $2 c_{i, 3}=\mu_{i}$ (a moment), and then $c_{i, 4}$ from $p_{i}^{\prime \prime}\left(x_{i+1}\right)=\mu_{i}+6 h c_{i, 4}=\mu_{i+1}$. Finally we find $c_{i, 2}$ by solving $p_{i}\left(x_{i+1}\right)=y_{i}+c_{i, 2} h+\frac{\mu_{i}}{2} h^{2}+\frac{\mu_{i+1}-\mu_{i}}{6 h} h^{3}=y_{i+1}$. For $j=0,1,2,3$ the shifted powers $\left(x-x_{i}\right)^{j}$ constitute a basis for cubic polynomials and the formulas (2.8) are unique by construction. It follows that $p_{i}$ is unique.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|LU Factorization of a Tridiagonal System

To find the $D^{2}$-spline $g$ we have to solve the triangular system (2.11). Consider solving a general tridiagonal linear system $A x=b$ where $A=\operatorname{tridiag}\left(a_{i}, d_{i}, c_{i}\right) \in$ $\mathbb{C}^{n \times n}$. Instead of using Gaussian elimination directly, we can construct two matrices $\boldsymbol{L}$ and $\boldsymbol{U}$ such that $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{L} \boldsymbol{U}$. Since $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{L} \boldsymbol{U} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ we can find $\boldsymbol{x}$ by solving two systems $\boldsymbol{L z}=\boldsymbol{b}$ and $\boldsymbol{U} \boldsymbol{x}=z$. Moreover $\boldsymbol{L}$ and $\boldsymbol{U}$ are both triangular and bidiagonal, and if in addition they are nonsingular the two systems can be solved easily without using elimination.
In our case we write the product $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{L U}$ in the form
$$
\left[\begin{array}{lllll}
d_{1} & c_{1} & & & \
a_{1} & d_{2} & c_{2} & & \
& \ddots & \ddots & \ddots & \
& & a_{n-2} & d_{n-1} & c_{n-1} \
& & & a_{n-1} & d_{n}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}
1 & & \
l_{1} & 1 & \
& \ddots & \ddots & \
& & l_{n-1} & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}
u_{1} & c_{1} & & \
& \ddots & \ddots & \
& & u_{n-1} & c_{n-1} \
& & & u_{n}
\end{array}\right]
$$
To find $\boldsymbol{L}$ and $\boldsymbol{U}$ we first consider the case $n=3$. Equation (2.15) takes the form
$$
\left[\begin{array}{lll}
d_{1} & c_{1} & 0 \
a_{1} & d_{2} & c_{2} \
0 & a_{2} & d_{3}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \
l_{1} & 1 & 0 \
0 & l_{2} & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}
u_{1} & c_{1} & 0 \
0 & u_{2} & c_{2} \
0 & 0 & u_{3}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
u_{1} & c_{1} & 0 \
l_{1} u_{1} l_{1} c_{1}+u_{2} & c_{2} \
0 & l_{2} u_{2} & l_{2} c_{2}+u_{3}
\end{array}\right],
$$
and the systems $\boldsymbol{L z}=\boldsymbol{b}$ and $\boldsymbol{U} \boldsymbol{x}=z$ can be written
$$
\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \
l_{1} & 1 & 0 \
0 & l_{2} & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
z_{1} \
z_{2} \
z_{3}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
b_{1} \
b_{2} \
b_{3}
\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}
u_{1} & c_{1} & 0 \
0 & u_{2} & c_{2} \
0 & 0 & u_{3}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x_{1} \
x_{2} \
x_{3}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
z_{1} \
z_{2} \
z_{3}
\end{array}\right]
$$
Comparing elements we find
$$
\begin{aligned}
&u_{1}=d_{1}, \quad l_{1}=a_{1} / u_{1}, \quad u_{2}=d_{2}-l_{1} c_{1}, \quad l_{2}=a_{2} / u_{2}, \quad u_{3}=d_{3}-l_{2} c_{2}, \
&z_{1}=b_{1}, \quad z_{2}=b_{2}-l_{1} z_{1}, \quad z_{3}=b_{3}-l_{2} z_{2} \
&x_{3}=z_{3} / u_{3}, \quad x_{2}=\left(z_{2}-c_{2} x_{3}\right) / u_{2}, \quad x_{1}=\left(z_{1}-c_{1} x_{2}\right) / u_{1}
\end{aligned}
$$
In general, if
$$
u_{1}=d_{1}, \quad l_{k}=a_{k} / u_{k}, \quad u_{k+1}=d_{k+1}-l_{k} c_{k}, \quad k=1,2, \ldots, n-1,
$$
then $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{L} \boldsymbol{U}$. If $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n-1}$ are nonzero then (2.16) is well defined. If in addition $u_{n} \neq 0$ then we can solve $\boldsymbol{L} z=\boldsymbol{b}$ and $\boldsymbol{U} \boldsymbol{x}=z$ for $z$ and $\boldsymbol{x}$. We formulate this as two algorithms. In trifactor, vectors $l \in \mathbb{C}^{n-1}, \boldsymbol{u} \in \mathbb{C}^{n}$ are computed from $a, c \in \mathbb{C}^{n-1}, \boldsymbol{d} \in \mathbb{C}^{n}$. This implements the LU factorization of a tridiagonal matrix:

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Diagonally Dominant Tridiagonal Matrices; Three Examples

计算线性代数代考

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Piecewise Linear and Cubic Spline Interpolation

为了避免如图所示的振荡。2.1可以使用分段线性插值。示例如图 2.2 所示。插值G非常接近原始函数,并且对于某些应用程序,例如绘图,使用了使用许多点的线性插值。注意G是形式的分段多项式

G(X):={p1(X), 如果 X1≤X<X2 p2(X), 如果 X2≤X<X3 ⋮ pn−1(X), 如果 Xn−1≤X<Xn pn(X), 如果 Xn≤X≤Xn+1

其中每个p一世是一个多项式≤1. 尤其是,p1在 (2.3) 和其他多项式中给出p一世由类似的表达式给出。

分段线性插值是连续的,但一阶导数通常会在内部位置发生跳跃。我们可以通过让G是更高次的分段多项式。使用 3 阶(三次),我们获得阶的连续导数≤2(C2). 我们在这里考虑以下函数,给出的例子C2三次样条插值。

定义 2.1(D2−样条问题)给定n∈ñ, 一个区间[一个,b],是∈ Rn+1, 节 (网站)X1,…,Xn+1由(2.1)和数字μ1,μn+1. 问题是找到一个函数G:[一个,b]→R这样

  • 分段三次多项式:G是 (2.4) 的形式,每个p一世三次多项式,
  • 光滑度:G∈C2[一个,b],即阶导数≤2是连续的R,
  • 插值:G(X一世)=是一世,一世=1,2,…,n+1,
  • D2边界条件:G′′(一个)=μ1,G′′(b)=μn+1.
    我们称之为G一个D2-样条。它被称为ñ-spline 或自然样条 ifμ1=μn+1=0.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Give Me a Moment

解的存在性和唯一性D2-样条问题取决于我们现在推导出的线性方程组的非奇异性。未知数是节点处的导数。这里我们使用有时称为矩的二阶导数。我们从以下引理开始。

引理2.1(代表每个p一世使用(0,2)插值)给定一个<b, H=(b−一个)/n和n≥2,X一世=一个+(一世−1)H, 和数字是一世,μ一世为了一世=1,…,n+1. 为了一世=1,…,n有唯一的三次多项式p一世这样

p一世(X一世)=是一世,p一世(X一世+1)=是一世+1,p一世′′(X一世)=μ一世,p一世′′(X一世+1)=μ一世+1
而且,

p一世(X)=C一世,1+C一世,2(X−X一世)+C一世,3(X−X一世)2+C一世,4(X−X一世)3一世=1,…,n
在哪里

C一世1=是一世,C一世2=是一世+1−是一世H−H3μ一世−H6μ一世+1,C一世,3=μ一世2,C一世,4=μ一世+1−μ一世6H.证明考虑p一世以 (2.7) 的形式对某些1≤一世≤n. 唤起 (2.6) 我们发现p一世(X一世)=C一世,1=是一世. 自从p一世′′(X)=2C一世,3+6C一世,4(X−X一世)我们获得C一世,3从p一世′′(X一世)= 2C一世,3=μ一世(片刻),然后C一世,4从p一世′′(X一世+1)=μ一世+6HC一世,4=μ一世+1. 最后我们发现C一世,2通过解决p一世(X一世+1)=是一世+C一世,2H+μ一世2H2+μ一世+1−μ一世6HH3=是一世+1. 为了j=0,1,2,3转移的权力(X−X一世)j构成三次多项式的基础,并且公式(2.8)在构造上是唯一的。它遵循p一世是独特的。

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|LU Factorization of a Tridiagonal System

要找到D2-样条G我们必须解决三角系统(2.11)。考虑求解一般三对角线性系统一个X=b在哪里一个=三方⁡(一个一世,d一世,C一世)∈ Cn×n. 我们可以构造两个矩阵,而不是直接使用高斯消元法大号和在这样一个=大号在. 自从一个X=大号在X=b我们可以找X通过解决两个系统大号和=b和在X=和. 而且大号和在既是三角形的又是双对角的,如果另外它们是非奇异的,则这两个系统可以很容易地求解而无需使用消除。
在我们的例子中,我们编写产品一个=大号在在表格中

[d1C1 一个1d2C2 ⋱⋱⋱ 一个n−2dn−1Cn−1 一个n−1dn]=[1 l11 ⋱⋱ ln−11][在1C1 ⋱⋱ 在n−1Cn−1 在n]
寻找大号和在我们首先考虑这种情况n=3. 等式 (2.15) 采用以下形式

[d1C10 一个1d2C2 0一个2d3]=[100 l110 0l21][在1C10 0在2C2 00在3]=[在1C10 l1在1l1C1+在2C2 0l2在2l2C2+在3],
和系统大号和=b和在X=和可以写

[100 l110 0l21][和1 和2 和3]=[b1 b2 b3],[在1C10 0在2C2 00在3][X1 X2 X3]=[和1 和2 和3]
比较我们发现的元素

在1=d1,l1=一个1/在1,在2=d2−l1C1,l2=一个2/在2,在3=d3−l2C2, 和1=b1,和2=b2−l1和1,和3=b3−l2和2 X3=和3/在3,X2=(和2−C2X3)/在2,X1=(和1−C1X2)/在1
一般来说,如果

在1=d1,lķ=一个ķ/在ķ,在ķ+1=dķ+1−lķCķ,ķ=1,2,…,n−1,
然后一个=大号在. 如果在1,在2,…,在n−1是非零的,那么 (2.16) 是明确定义的。如果另外在n≠0那么我们可以解决大号和=b和在X=和为了和和X. 我们将其制定为两种算法。在三因子中,向量l∈Cn−1,在∈Cn计算自一个,C∈Cn−1,d∈Cn. 这实现了三对角矩阵的 LU 分解:

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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