数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|MAST10007

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计算线性代数是在计算机上解决线性代数问题(大型线性方程组、计算矩阵特征值、特征向量等)的数字算法。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|MAST10007

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Eigenvalues, Eigenvectors and Eigenpairs

Suppose $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ is a square matrix, $\lambda \in \mathbb{C}$ and $\boldsymbol{x} \in \mathbb{C}^{n}$. We say that $(\lambda, x)$ is an eigenpair for $\boldsymbol{A}$ if $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x}$ and $\boldsymbol{x}$ is nonzero. The scalar $\lambda$ is called an eigenvalue and $\boldsymbol{x}$ is said to be an eigenvector. ${ }^{1}$ The set of eigenvalues is called the spectrum of $A$ and is denoted by $\sigma(A)$. For example, $\sigma(I)={1, \ldots, 1}={1}$.
Eigenvalues are the roots of the characteristic polynomial.
Lemma $1.5$ (Characteristic Equation) For any $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ we have $\lambda \in$ $\sigma(A) \Longleftrightarrow \operatorname{det}(A-\lambda I)=0$

Proof Suppose $(\lambda, x)$ is an eigenpair for $\boldsymbol{A}$. The equation $A x=\lambda x$ can be written $(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$. Since $\boldsymbol{x}$ is nonzero the matrix $\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I}$ must be singular with a zero determinant. Conversely, if $\operatorname{det}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I})=0$ then $\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I}$ is singular and $(A-\lambda I) x=0$ for some nonzero $x \in \mathbb{C}^{n}$. Thus $A x=\lambda x$ and $(\lambda, x)$ is an eigenpair for $\boldsymbol{A}$.

The expression $\operatorname{det}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I})$ is a polynomial of exact degree $n$ in $\lambda$. For $n=3$ we have
$$
\operatorname{det}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I})=\left|\begin{array}{ccc}
a_{11}-\lambda & a_{12} & a_{13} \
a_{21} & a_{22}-\lambda & a_{23} \
a_{31} & a_{32} & a_{33}-\lambda
\end{array}\right|
$$
Expanding this determinant by the first column we find
$$
\begin{aligned}
\operatorname{det}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I}) &=\left(a_{11}-\lambda\right)\left|\begin{array}{cc}
a_{22}-\lambda & a_{23} \
a_{32} & a_{33}-\lambda
\end{array}\right|-a_{21}\left|\begin{array}{cc}
a_{12} & a_{13} \
a_{32} & a_{33}-\lambda
\end{array}\right| \
&+a_{31}\left|\begin{array}{cc}
a_{12} & a_{13} \
a_{22}-\lambda & a_{23}
\end{array}\right|=\left(a_{11}-\lambda\right)\left(a_{22}-\lambda\right)\left(a_{33}-\lambda\right)+r(\lambda)
\end{aligned}
$$
for some polynomial $r$ of degree at most one. In general
$$
\operatorname{det}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I})=\left(a_{11}-\lambda\right)\left(a_{22}-\lambda\right) \cdots\left(a_{n n}-\lambda\right)+r(\lambda),
$$
where each term in $r(\lambda)$ has at most $n-2$ factors containing $\lambda$. It follows that $r$ is a polynomial of degree at most $n-2$, $\operatorname{det}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I})$ is a polynomial of exact degree $n$ in $\lambda$ and the eigenvalues are the roots of this polynomial.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Exercises Sect

Exercise 1.1 (Strassen Multiplication (Exam Exercise 2017-1)) (By arithmetic operations we mean additions, subtractions, multiplications and divisions.)
Let $\boldsymbol{A}$ and $\boldsymbol{B}$ be $n \times n$ real matrices.
a) With $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \in \mathbb{R}^{n \times n}$, how many arithmetic operations are required to form the product $\boldsymbol{A B}$ ?
b) Consider the $2 n \times 2 n$ block matrix
$$
\left[\begin{array}{ll}
W & X \
Y & Z
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
A & B \
C & D
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
E & F \
G & H
\end{array}\right],
$$
where all matrices $\boldsymbol{A}, \ldots, \boldsymbol{Z}$ are in $\mathbb{R}^{n \times n}$. How many operations does it take to compute $\boldsymbol{W}, \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ and $\boldsymbol{Z}$ by the obvious algorithm?
c) An alternative method to compute $\boldsymbol{W}, \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ and $\boldsymbol{Z}$ is to use Strassen’s formulas:
$\mathbf{P}{1}=(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{D})(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{H})$, $\mathbf{P}{2}=(\boldsymbol{C}+\boldsymbol{D}) \boldsymbol{E}, \quad \mathbf{P}{5}=(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \boldsymbol{H}$, $\mathbf{P}{3}=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{F}-\boldsymbol{H}), \quad \mathbf{P}{6}=(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{A})(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{F})$, $\mathbf{P}{4}=\boldsymbol{D}(\boldsymbol{G}-\boldsymbol{E}), \quad \mathbf{P}{7}=(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{D})(\boldsymbol{G}+\boldsymbol{H})$, $\boldsymbol{W}=\mathbf{P}{1}+\mathbf{P}{4}-\mathbf{P}{5}+\mathbf{P}{7}, \quad \boldsymbol{X}=\mathbf{P}{3}+\mathbf{P}{5}$, $\boldsymbol{Y}=\mathbf{P}{2}+\mathbf{P}{4}, \quad \boldsymbol{Z}=\mathbf{P}{1}+\mathbf{P}{3}-\mathbf{P}{2}+\mathbf{P}{6} .$ You do not have to verify these formulas. What is the operation count for this method? d) Describe a recursive algorithm, based on Strassen’s formulas, which given two matrices $\boldsymbol{A}$ and $\boldsymbol{B}$ of size $m \times m$, with $m=2^{k}$ for some $k \geq 0$, calculates the product $\boldsymbol{A B}$. e) Show that the operation count of the recursive algorithm is $\mathcal{O}\left(m^{\log {2}(7)}\right)$. Note that $\log _{2}(7) \approx 2.8<3$, so this is less costly than straightforward matrix multiplication.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Cubic Spline Interpolation

Since there are $n+1$ interpolation conditions in (2.2) a natural choice for a function $g$ is a polynomial of degree $n$. As shown in most books on numerical methods such a $g$ is uniquely defined and there are good algorithms for computing it. Evidently, when $n=1, g$ is the straight line
$$
g(x)=y_{1}+\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x-x_{1}\right),
$$
known as the linear interpolation polynomial.
Polynomial interpolation is an important technique which often gives good results, but the interpolant $g$ can have undesirable oscillations when $n$ is large. As an example, consider the function given by
$$
f(x)=\arctan (10 x)+\pi / 2, \quad x \in[-1,1] .
$$
The function $f$ and the polynomial $g$ of degree at most 13 satisfying (2.2) with $[a, b]=[-1,1]$ and $y_{i}=f\left(x_{i}\right), i=1, \ldots, 14$ is shown in Fig. 2.1. The interpolant has large oscillations near the end of the range. This is an example of the Runge phenomenon. Using larger $n$ will only make the oscillations bigger. ${ }^{\text {| }}$

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|MAST10007

计算线性代数代考

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Eigenvalues, Eigenvectors and Eigenpairs

认为一个∈Cn×n是一个方阵,λ∈C和X∈Cn. 我们说(λ,X)是一个自己的对一个如果一个X=λX和X是非零的。标量λ被称为特征值并且X被称为特征向量。1特征值的集合称为谱一个并表示为σ(一个). 例如,σ(我)=1,…,1=1.
特征值是特征多项式的根。
引理1.5(特征方程)对于任何一个∈Cn×n我们有λ∈ σ(一个)⟺这⁡(一个−λ我)=0

证明假设(λ,X)是一个自己的对一个. 方程一个X=λX可以写(一个−λ我)X=0. 自从X非零矩阵一个−λ我必须是具有零行列式的奇异值。相反,如果这⁡(一个−λ我)=0然后一个−λ我是单数并且(一个−λ我)X=0对于一些非零X∈Cn. 因此一个X=λX和(λ,X)是一个自己的对一个.

表达方式这⁡(一个−λ我)是一个精确次数的多项式n在λ. 为了n=3我们有

这⁡(一个−λ我)=|一个11−λ一个12一个13 一个21一个22−λ一个23 一个31一个32一个33−λ|
通过我们发现的第一列扩展这个行列式

这⁡(一个−λ我)=(一个11−λ)|一个22−λ一个23 一个32一个33−λ|−一个21|一个12一个13 一个32一个33−λ| +一个31|一个12一个13 一个22−λ一个23|=(一个11−λ)(一个22−λ)(一个33−λ)+r(λ)
对于一些多项式r最多一个学位。一般来说

这⁡(一个−λ我)=(一个11−λ)(一个22−λ)⋯(一个nn−λ)+r(λ),
其中每个术语r(λ)最多有n−2含有因素λ. 它遵循r最多是一次多项式n−2, 这⁡(一个−λ我)是一个精确次数的多项式n在λ并且特征值是这个多项式的根。

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Exercises Sect

练习 1.1(Strassen 乘法(考试练习 2017-1))(算术运算是指加法、减法、乘法和除法。)
让一个和乙是n×n实矩阵。
a) 与一个,乙∈Rn×n, 需要多少次算术运算才能形成乘积一个乙?
b) 考虑2n×2n块矩阵

[在X 是从]=[一个乙 CD][和F GH],
所有矩阵在哪里一个,…,从在Rn×n. 计算需要多少操作在,X,是和从通过明显的算法?
c) 另一种计算方法在,X,是和从是使用 Strassen 的公式:
磷1=(一个+D)(和+H), 磷2=(C+D)和,磷5=(一个+乙)H,磷3=一个(F−H),磷6=(C−一个)(和+F),磷4=D(G−和),磷7=(乙−D)(G+H),在=磷1+磷4−磷5+磷7,X=磷3+磷5,是=磷2+磷4,从=磷1+磷3−磷2+磷6.您不必验证这些公式。此方法的操作计数是多少?d) 描述一个基于施特拉森公式的递归算法,它给出了两个矩阵一个和乙大小的米×米, 和米=2ķ对于一些ķ≥0, 计算产品一个乙. e) 证明递归算法的运算次数为○(米日志⁡2(7)). 注意日志2⁡(7)≈2.8<3,所以这比直接的矩阵乘法成本更低。

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Cubic Spline Interpolation

既然有n+1(2.2) 中的插值条件是函数的自然选择G是一个多项式n. 如大多数关于数值方法的书籍所示,例如G是唯一定义的,并且有很好的算法来计算它。显然,当n=1,G是直线

G(X)=是1+是2−是1X2−X1(X−X1),
称为线性插值多项式。
多项式插值是一种重要的技术,通常可以提供良好的结果,但是插值G可能有不希望的振荡时n很大。例如,考虑由下式给出的函数

F(X)=反正切⁡(10X)+圆周率/2,X∈[−1,1].
功能F和多项式G度数最多 13 满足 (2.2) 与[一个,b]=[−1,1]和是一世=F(X一世),一世=1,…,14如图 2.1 所示。插值在范围末端附近有很大的振荡。这是龙格现象的一个例子。使用更大的n只会使振荡更大。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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