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随机过程被定义为随机变量的集合，定义在一个共同的概率空间上。

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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等楖率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

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数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Banach algebras

6.1.1 Motivating examples Let $S$ be a locally compact Hausdorff topological space, and $C_{0}(S)$ be the space of continuous functions on $S$ that vanish at infinity, equipped with the supremum norm. Until now, we treated $C_{0}(S)$ as a merely Banach space. This space, however, unlike general Banach spaces, has an additional algebraic structure: two functions on $S$ may not only be added, they may be multiplied. The product of two functions, say $x$ and $y$, is another function, a member of $C_{0}(S)$ given by
$$
(x y)(p)=x(p) y(p)
$$
The operation so defined is associative and enjoys the following properties that relate it to the algebraic and topological structure introduced before:
(a) $|x y| \leq|x||y|$,
(b) $(\alpha x) y=\alpha(x y)=x(\alpha y), \alpha \in \mathbb{R}$,
(c) $x\left(y_{1}+y_{2}\right)=x y_{1}+x y_{2}$,
(d) $x y=y x$.
Moreover, if $S$ is compact, then $C_{0}(S)=C(S)$ has a unit, an element $u=1_{S}$ such that $u x=x u=x$ for all $x \in C(S)$. We have $|u|=1$.

For another example, let $X$ be a Banach space and let $\mathcal{L}(\mathbb{X})$ be the space of bounded linear operators on $X$. If we define $x y$ as the composition of two linear maps $x$ and $y \in \mathbb{X}$, it will be easy to see that conditions (a) -(c) above are satisfied (use 2.3.11), and that the identity operator is a unit. Such multiplication does not, however, satisfy condition (d).
Yet another example is the space $l^{1}(\mathbb{Z})$ of absolutely summable sequences $\left(\xi_{n}\right){n \in \mathcal{Z}}$. If we define the product of two sequences $x=\left(\xi{n}\right)_{n \in \mathbb{Z}}$

and $y=\left(\eta_{n}\right){n \in \mathcal{Z}}$ as their convolution $$ \left(\sum{i=-\infty}^{\infty} \xi_{n-i} \eta_{i}\right){n \in Z} $$ then conditions $(a)-(d)$ are satisfied. Also, the sequence $e{0}=\left(\delta_{n, 0}\right)_{n \geq 0}$ plays the role of the unit.

The final, very important example is the space $\mathbb{B M}(\mathbb{R})$ of (signed) Borel measures on $\mathbb{R}$ with convolution (2.14) as multiplication.

As a generalization of these examples, let us introduce the following definition.
6.1.2 Definition A Banach algebra $\mathbb{A}$ is a Banach space, equipped with an additional associative operation $\mathbb{A} \times \mathbb{A} \ni(x, y) \mapsto x y \in \mathbb{A}$, such that conditions (a) $-$ (c) above hold, and additionally
$\left(c^{\prime}\right) \quad\left(y_{1}+y_{2}\right) x=y_{1} x+y_{2} x$

数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|The Gelfand transform

6.2.1 Multiplicative functionals As we have seen in the previous chapter, one may successfully study Banach spaces with the help of bounded linear functionals. However, to study Banach algebras, linear functionals will not suffice for they do not reflect the structure of multiplication in such algebras. We need to use linear multiplicative functionals. By definition, a linear multiplicative functional on a Banach algebra is a linear functional $F$, not necessarily bounded, such that, $F(x y)=F x F y$. In other words $F$ is a homomorphism of $\mathbb{A}$ and the algebra $\mathbb{R}$ equipped with the usual multiplication. To avoid trivial examples, we assume that $F$ is not identically equal to 0 .
6.2.2 Exercise Prove that if $F$ is a multiplicative functional on a Banach algebra with unit $u$ then $F u=1$.
6.2.3 Lemma Linear multiplicative functionals are bounded; their norms never exceed $1 .$

Proof Suppose that for some $x_{0},\left|F x_{0}\right|>\left|x_{0}\right|$. Then for $x=\frac{\operatorname{sgn} F x_{0}}{F x_{0} \mid} x_{0} \in$ A. we have that $|x|<1$ and $F x=1$. Let $y$ be defined as in 6.1.4. We have $F(x y+x-y)=0$, but on the other hand this equals $F(x y)+F x-F y=$ $(F x)(F y)+F x-F y=1$, a contradiction.
6.2.4 Remark The idea of the above proof becomes even more clear if $\mathbb{A}$ has a unit. We construct $x$ as before but then take $y$ defined in 6.1.5 to arrive at the contradiction:
$$
1=F u=F y(F u-F x)=F y(1-1)=0 .
$$
6.2.5 Exercise Suppose that an algebra $\mathbb{A}$ has a right or left approximate unit. Show that multiplicative functionals on $\mathbb{A}$ have norm 1 .
6.2.6 Example Let $C(S)$ be the algebra of continuous functions on a compact topological space. A linear functional on $C(S)$ is multiplicative iff there exists a point $p \in S$ such that $F x=x(p)$ for all $x \in C(S)$.

数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Examples of Gelfand transform

6.3.1 Probability generating function The space $l^{1}=l^{1}\left(\mathbb{N}{0}\right)$ of absolutely summable sequences $x=\left(\xi{n}\right)_{n \geq 0}$ is a Banach algebra with con-

volution $(6.5)$ as multiplication. We already know (see $5.2 .3$ or $5.2 .16$ ) that a linear functional on $l^{1}$ has to be of the form
$$
F x=\sum_{n=0}^{\infty} \xi_{n} \alpha_{n}
$$
where $\alpha_{i}=F e_{i}=F\left(\delta_{i, n}\right){n \geq 0}$, and $\sup {n \geq 0}\left|\alpha_{n}\right|<\infty$. To determine the form of a multiplicative functional, observe first that $e_{2}=e_{1} * e_{1}$ and, more generally, $e_{n}=e_{1}^{n *}, n \geq 0$ where the last symbol denotes the $n$th convolution power of $e_{1}$. Also, $F e_{0}=1$. Hence $\alpha_{n}=\alpha^{n}, n \geq 0$, where $\alpha=\alpha_{1}$. Therefore, if $F$ is multiplicative, then there exists a real $\alpha$ such that $F x=\sum_{n=0}^{\infty} \alpha^{n} \xi_{n}$. This $\alpha$ must belong to the interval $[-1,1]$ for otherwise the sequence $\alpha_{n}$ would be unbounded. Conversely, any functional of this form is multiplicative.

This proves that a multiplicative functional on $l^{1}$ may be identified with a number $\alpha \in[-1,1]$. Moreover, one may check that the weak* topology restricted to the set of multiplicative functionals is just the usual topology in the interval $[-1,1]$. In other words, the image via the Gelfand transform of the vector $x \in l^{1}$ is a function $\hat{x}$ on $[-1,1]$ given by $\hat{x}(\alpha)=\sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{i} \xi_{i}$. However, in this case, the space of multiplicative functionals is “too rich”; the information provided by $\alpha \in[-1,0)$ is superfluous. Therefore, in probability theory it is customary to restrict the domain of $\hat{x}$ to the interval $[0,1]$.

We note that the interval $[-1,1]$ is compact, and that this is related to the fact that $l^{1}$ has a unit. It is also worth noting that the image via Gelfand transform of a sequence in $l^{1}$ is not just “any” continuous function on $[-1,1]$; this function must be expandable into a series $\hat{x}(\alpha)=$ $\sum_{n=0}^{\infty} \xi_{n} \alpha^{n}$ and in particular be infinitely differentiable and analytic. This illustrates the fact that the image of a Banach algebra via the Gelfand transform is usually a subset of the algebra $C_{0}(\mathcal{M})$.

随机过程代写

数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Banach algebras

6.1.1 激励例子让小号是局部紧致 Hausdorff 拓扑空间，并且C0(小号)是连续函数的空间小号消失在无穷远，配备了至上规范。直到现在，我们对待C0(小号)作为一个单纯的 Banach 空间。然而，这个空间与一般 Banach 空间不同，它有一个额外的代数结构：两个函数小号不仅可以相加，还可以相乘。两个函数的乘积，比如说X和是, 是另一个函数，是C0(小号)由
(X是)(p)=X(p)是(p)
如此定义的操作是关联的，并具有以下与之前介绍的代数和拓扑结构相关的属性：
（a）|X是|≤|X||是|,
(b)(一种X)是=一种(X是)=X(一种是),一种∈R,
(c)X(是1+是2)=X是1+X是2,
(d)X是=是X.
此外，如果小号是紧致的，那么C0(小号)=C(小号)有一个单元，一个元素在=1小号这样在X=X在=X对全部X∈C(小号). 我们有|在|=1.

再举一个例子，让X是一个 Banach 空间，让大号(X)是有界线性算子的空间X. 如果我们定义X是作为两个线性映射的组合X和是∈X，很容易看出上面的条件（a）-（c）都满足（使用2.3.11），并且恒等算子是一个单元。然而，这样的乘法不满足条件（d）。
另一个例子是空间l1(从)绝对可和序列(Xn)n∈从. 如果我们定义两个序列的乘积X=(Xn)n∈从

和是=(这n)n∈从作为他们的卷积(∑一世=−∞∞Xn−一世这一世)n∈从那么条件(一种)−(d)满意。还有，顺序和0=(dn,0)n≥0扮演单位的角色。

最后一个非常重要的例子是空间乙米(R)（已签署）Borel 措施R用卷积（2.14）作为乘法。

作为对这些示例的概括，让我们介绍以下定义。
6.1.2 定义 A Banach 代数一种是一个 Banach 空间，配备了一个附加的关联操作一种×一种∋(X,是)↦X是∈一种, 使得条件 (a)−(c) 上述保留，另外
(C′)(是1+是2)X=是1X+是2X

数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|The Gelfand transform

6.2.1 乘性泛函 正如我们在前一章中所看到的，借助有界线性泛函可以成功地研究巴拿赫空间。然而，要研究 Banach 代数，线性泛函是不够的，因为它们不能反映此类代数中的乘法结构。我们需要使用线性乘法泛函。根据定义，Banach 代数上的线性乘法泛函是线性泛函F，不一定有界，这样，F(X是)=FXF是. 换句话说F是一个同态一种和代数R配备了通常的乘法。为了避免琐碎的例子，我们假设F不完全等于 0 。
6.2.2 练习证明如果F是带单位的 Banach 代数上的乘法泛函在然后F在=1.
6.2.3 引理 线性乘法泛函是有界的；他们的规范从不超过1.

证明假设对于某些X0,|FX0|>|X0|. 那么对于X=sgn⁡FX0FX0∣X0∈A. 我们有|X|<1和FX=1. 让是定义见 6.1.4。我们有F(X是+X−是)=0，但另一方面，这等于F(X是)+FX−F是= (FX)(F是)+FX−F是=1，矛盾。
6.2.4 备注 上述证明的思想变得更加清晰，如果一种有一个单位。我们构建X像以前一样，然后采取是在 6.1.5 中定义以得出矛盾：
1=F在=F是(F在−FX)=F是(1−1)=0.
6.2.5 练习假设一个代数一种有一个右或左的近似单位。证明乘法泛函一种有范数 1 。
6.2.6 示例让C(小号)是紧拓扑空间上的连续函数的代数。线性泛函C(小号)当存在一个点时是乘法的p∈小号这样FX=X(p)对全部X∈C(小号).

数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Examples of Gelfand transform

6.3.1 概率生成函数空间l1=l1(ñ0)绝对可和序列X=(Xn)n≥0是具有 con- 的 Banach 代数

进化(6.5)作为乘法。我们已经知道（见5.2.3或者5.2.16) 上的线性泛函l1必须是形式
FX=∑n=0∞Xn一种n
其中 $\alpha_{i}=F e_{i}=F\left(\delta_{i, n}\right) {n \geq 0},一种nd\sup {n \geq 0}\left|\alpha_{n}\right|<\infty.吨这d和吨和r米一世n和吨H和F这r米这F一种米在l吨一世pl一世C一种吨一世在和F在nC吨一世这n一种l,这bs和r在和F一世rs吨吨H一种吨e_ {2} = e_ {1} * e_ {1}一种nd,米这r和G和n和r一种ll是,e_ {n} = e_ {1} ^ {n *}, n \ geq 0在H和r和吨H和l一种s吨s是米b这ld和n这吨和s吨H和n吨HC这n在这l在吨一世这np这在和r这Fe_{1}.一种ls这,F e_{0}=1.H和nC和\alpha_{n}=\alpha^{n},n\geq 0,在H和r和\alpha=\alpha_{1}.吨H和r和F这r和,一世FF一世s米在l吨一世pl一世C一种吨一世在和,吨H和n吨H和r和和X一世s吨s一种r和一种l\αs在CH吨H一种吨F x=\sum_{n=0}^{\infty} \alpha^{n} \xi_{n}.吨H一世s\α米在s吨b和l这nG吨这吨H和一世n吨和r在一种l[-1,1]F这r这吨H和r在一世s和吨H和s和q在和nC和\alpha_{n}$ 将是无限的。相反，这种形式的任何泛函都是乘法的。

这证明了一个乘法泛函l1可以用数字标识一种∈[−1,1]. 此外，可以检查限制为乘法泛函集的弱*拓扑是否只是区间中的常见拓扑[−1,1]. 换句话说，图像通过向量的 Gelfand 变换X∈l1是一个函数X^在[−1,1]由X^(一种)=∑一世=0∞一种一世X一世. 但是，在这种情况下，乘法函数的空间“太丰富了”；提供的信息一种∈[−1,0)是多余的。因此，在概率论中，习惯上限制X^到区间[0,1].

我们注意到区间[−1,1]是紧凑的，这与以下事实有关l1有一个单位。还值得注意的是，图像通过 Gelfand 变换对序列中的l1不仅仅是“任何”连续函数[−1,1]; 此功能必须可扩展为系列X^(一种)= ∑n=0∞Xn一种n特别是可以无限微分和分析。这说明了一个事实，即通过 Gelfand 变换得到的 Banach 代数的图像通常是代数的一个子集C0(米).

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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