数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|MATH3405

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黎曼几何是研究黎曼流形的微分几何学分支,黎曼流形是具有黎曼公制的光滑流形,即在每一点的切线空间上有一个内积,从一点到另一点平滑变化。

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数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|MATH3405

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Appetizer and Introduction

It is a natural and indeed a classical question to ask: “What is the effective resistance of, say, a hyperboloid or a helicoid if the surface is made of a homogeneous conducting material?”.

In these notes we will study the precise meaning of this and several other related questions and analyze how the answers depend on the curvature and topology of the given surfaces and manifolds. We will focus mainly on minimal submanifolds in ambient spaces which are assumed to have a well-defined upper (or lower) bound on their sectional curvatures.

One key ingredient is the comparison theory for distance functions in such spaces. In particular we establish and use a comparison result for the Laplacian of geometrically restricted distance functions. It is in this setting that we obtain information about such diverse phenomena as diffusion processes, isoperimetric inequalities, Dirichlet eigenvalues, transience, recurrence, and effective resistance of the spaces in question. In this second edition of the present notes we extend those previous findings in four ways: Firstly, we include comparison results for the exit time moment spectrum for compact domains in Riemannian manifolds; Secondly, and most substantially, we report on very recent results obtained by the first and third author together with C. Rosales concerning comparison results for the capacities and the type problem (transient versus recurrent) in weighted Riemannian manifolds; Thirdly we survey how some of the purely Riemannian results on transience and recurrence can be lifted to the setting of spacelike submanifolds in Lorentzian manifolds; Fourthly, the comparison spaces that we employ for some of the new results are typically so-called model spaces, i.e., warped products (gen= eralized surfaces of revolution) where ‘all the geometry’ in each case is determined by a given radial warping function and a given weight function.In a sense, all the different phenomena that we consider are ‘driven’ by the Laplace operator which in turn depends on the background curvatures and the weight function. One key message of this report is that the Laplacian is a particularly ‘swift’ operator – for example on minimal submanifolds in ambient spaces with small sectional curvatures – but depending on the weight functions. Specifically, we observe and report new findings about this behaviour in the contexts of both Riemannian, Lorentzian, and weighted geometries, see Sections 12 and $20-27$. Similar results generally hold true within the intrinsic geometry of the manifolds themselves – often even with Ricci curvature lower bounds (see, e.g., the survey [Zhu]) as a substitute for the specific assumption of a lower bound on sectional curvatures.

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|The Comparison Setting and Preliminaries

We consider a complete immersed submanifold $P^{m}$ in a Riemannian manifold $N^{n}$, and denote by $\mathrm{D}^{P}$ and $\mathrm{D}^{N}$ the Riemannian connections of $P$ and $N$, respectively. We refer to the excellent general monographs on Riemannian geometry – e.g., [Sa], [CheeE], and [Cha2] – for the basic notions, that will be applied in these notes. In particular we shall be concerned with the second-order behavior of certain functions on $P$ which are obtained by restriction from the ambient space $N$ as displayed in Proposition $3.1$ below. The second-order derivatives are defined in terms of the Hessian operators Hess ${ }^{N}$, Hess ${ }^{P}$ and their traces $\Delta^{N}$ and $\Delta^{P}$, respectively (see, e.g., [Sa] p. 31). The difference between these operators quite naturally involves geometric second-order information about how $P^{m}$ actually sits inside $N^{n}$. This information is provided by the second fundamental form $\alpha$ (resp. the mean curvature $H$ ) of $P$ in $N$ (see [Sa] p. 47). If the functions under consideration are essentially distance functions in $N$ – or suitably modified distance functions then their second-order behavior is strongly influenced by the curvatures of $N$, as is directly expressed by the second variation formula for geodesics ([Sa] p. 90).

As is well known, the ensuing and by now classical comparison theorems for Jacobi fields give rise to the celebrated Toponogov theorems for geodesic triangles and to powerful results concerning the global structure of Riemannian spaces ([Sa], Chapters IV-V). In these notes, however, we shall mainly apply the Jacobi field comparison theory only off the cut loci of the ambient space $N$, or more precisely, within the regular balls of $N$ as defined in Definition $3.4$ below. On the other hand, from the point of view of a given (minimal) submanifold $P$ in $N$, our results for $P$ are semi-global in the sense that they apply to domains which are not necessarily distance-regular within $P$.

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Analysis of Riemannian Distance Functions

Let $\mu: N \mapsto \mathbb{R}$ denote a smooth function on $N$. Then the restriction $\tilde{\mu}=\mu_{\left.\right|{P}}$ is a smooth function on $P$ and the respective Hessians $\operatorname{Hess}^{N}(\mu)$ and $\operatorname{Hess}^{P}(\tilde{\mu})$ are related as follows: Proposition $3.1([\mathrm{JK}]$ p. 713$)$. $$ \begin{aligned} \operatorname{Hess}^{P}(\tilde{\mu})(X, Y)=& \operatorname{Hess}^{N}(\mu)(X, Y) \ &+\left\langle\nabla^{N}(\mu), \alpha(X, Y)\right\rangle \end{aligned} $$ for all tangent vectors $X, Y \in T P \subseteq T N$, where $\alpha$ is the second fundamental form of $P$ in $N$. Proof. $$ \begin{aligned} \operatorname{Hess}^{P}(\tilde{\mu})(X, Y) &=\left\langle\mathrm{D}{X}^{P} \nabla^{P} \tilde{\mu}, Y\right\rangle \
&=\left\langle\mathrm{D}{X}^{N} \nabla^{P} \tilde{\mu}-\alpha\left(X, \nabla^{P} \tilde{\mu}\right), Y\right\rangle \ &=\left\langle\mathrm{D}{X}^{N} \nabla^{P} \tilde{\mu}, Y\right\rangle \
&=X\left(\left\langle\nabla^{P} \tilde{\mu}, Y\right\rangle\right)-\left\langle\nabla^{P} \tilde{\mu}, \mathrm{D}{X}^{N} Y\right\rangle \ &=\left\langle\mathrm{D}{X}^{N} \nabla^{N} \mu, Y\right\rangle+\left\langle\left(\nabla^{N} \mu\right)^{\perp}, \mathrm{D}_{X}^{N} Y\right\rangle \
&=\operatorname{Hess}^{N}(\mu)(X, Y)+\left\langle\left(\nabla^{N} \mu\right)^{\perp}, \alpha(X, Y)\right\rangle \
&=\operatorname{Hess}^{N}(\mu)(X, Y)+\left\langle\nabla^{N} \mu, \alpha(X, Y)\right\rangle
\end{aligned}
$$
If we modify $\mu$ to $F \circ \mu$ by a smooth function $F: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$, then we get
Lemma 3.2.
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Hess}^{N}(F \circ \mu)(X, X)=& F^{\prime \prime}(\mu) \cdot\left\langle\nabla^{N}(\mu), X\right\rangle^{2} \
&+F^{\prime}(\mu) \cdot \operatorname{Hess}^{N}(\mu)(X, X)
\end{aligned}
$$
for all $X \in T N^{n}$

In the following we write $\mu=\tilde{\mu}$. Combining (3.1) and (3.3) then gives
Corollary 3.3.
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Hess}^{P}(F \circ \mu)(X, X)=& F^{\prime \prime}(\mu) \cdot\left\langle\nabla^{N}(\mu), X\right\rangle^{2} \
&+F^{\prime}(\mu) \cdot \operatorname{Hess}^{N}(\mu)(X, X) \
&+\left\langle\nabla^{N}(\mu), \alpha(X, X)\right\rangle
\end{aligned}
$$
for all $X \in T P^{m}$.
In what follows the function $\mu$ will always be a distance function in $N$-either from a point $p$ in which case we set $\mu(x)=\operatorname{dist}{N}(p, x)=r(x)$, or from a totally geodesic hypersurface $V^{n-1}$ in $N$ in which case we let $\mu(x)=$ dist ${N}(V, x)=$ $\eta(x)$. The function $F$ will always be chosen, so that $F \circ \mu$ is smooth inside the respective regular balls around $p$ and inside the regular tubes around $V$, which we now define. The sectional curvatures of the two-planes $\Omega$ in the tangent bundle of the ambient space $N$ are denoted by $K_{N}(\Omega)$, see, e.g., [Sa], Section II.3. Concerning the notation: In the following both Hess $^{N}$ and Hess will be used invariantly for both the Hessian in the ambient manifold $N$, as well as in a purely intrinsic context where only $N$ and not any of its submanifolds is under consideration.

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|MATH3405

黎曼几何代考

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Appetizer and Introduction

这是一个自然且确实是经典的问题:“如果表面由均质导电材料制成,例如双曲面或螺旋面的有效电阻是多少?”。

在这些笔记中,我们将研究这个问题和其他几个相关问题的确切含义,并分析答案如何取决于给定曲面和流形的曲率和拓扑结构。我们将主要关注环境空间中的最小子流形,这些子流形假定其截面曲率具有明确定义的上限(或下限)。

一个关键因素是此类空间中距离函数的比较理论。特别是,我们建立并使用了几何限制距离函数的拉普拉斯算子的比较结果。正是在这种情况下,我们获得了有关扩散过程、等周不等式、狄利克雷特征值、瞬变、递归和所讨论空间的有效阻力等多种现象的信息。在本笔记的第二版中,我们以四种方式扩展了这些先前的发现:首先,我们包括黎曼流形中紧域的退出时间矩谱的比较结果;其次,也是最重要的,我们报告了第一作者和第三作者与 C. Rosales 关于加权黎曼流形中容量和类型问题(瞬态与循环)的比较结果;第三,我们调查了一些关于瞬态和递归的纯黎曼结果如何可以提升到洛伦兹流形中的类空间子流形的设置;第四,我们为一些新结果使用的比较空间通常是所谓的模型空间,即翘曲产品(一般化的旋转表面),其中“所有几何形状”在每种情况下都由给定的径向翘曲确定函数和给定的权重函数。在某种意义上,我们考虑的所有不同现象都是由拉普拉斯算子“驱动”的,而拉普拉斯算子又取决于背景曲率和权重函数。本报告的一个关键信息是,拉普拉斯算子是一种特别“快速”的算子——例如在具有小截面曲率的环境空间中的最小子流形上——但取决于权重函数。具体来说,我们在黎曼、洛伦兹和加权几何的背景下观察并报告了关于这种行为的新发现,见第 12 节和20−27. 类似的结果通常在流形本身的内在几何中成立——通常甚至使用 Ricci 曲率下界(参见,例如,调查 [Zhu])来替代截面曲率下界的特定假设。

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|The Comparison Setting and Preliminaries

我们考虑一个完全浸入式子流形磷米在黎曼流形中ñn,并表示为D磷和Dñ的黎曼联系磷和ñ, 分别。对于将在这些笔记中应用的基本概念,我们参考了关于黎曼几何的优秀一般专着——例如,[Sa]、[CheeE] 和 [Cha2]。特别是我们将关注某些函数的二阶行为磷通过环境空间的限制获得ñ如提案中所示3.1以下。二阶导数根据 Hessian 算子 Hess 定义ñ, 赫斯磷和他们的踪迹Δñ和Δ磷,分别(参见,例如,[Sa] p. 31)。这些运算符之间的差异很自然地涉及有关如何磷米实际上坐在里面ñn. 此信息由第二个基本形式提供一个(分别是平均曲率H) 的磷在ñ(参见 [Sa] 第 47 页)。如果所考虑的函数本质上是距离函数ñ– 或适当修改的距离函数,则它们的二阶行为受到曲率的强烈影响ñ,正如测地线的第二个变化公式直接表示的那样 ([Sa] p. 90)。

众所周知,Jacobi 场的经典比较定理产生了著名的测地线三角形 Toponogov 定理和关于黎曼空间的全局结构的强大结果([Sa],第 IV-V 章)。然而,在这些笔记中,我们将主要应用雅可比场比较理论,仅适用于环境空间的切割轨迹ñ,或者更准确地说,在ñ如定义中所定义3.4以下。另一方面,从给定(最小)子流形的角度来看磷在ñ, 我们的结果为磷是半全局的,因为它们适用于不一定是距离规则的域磷.

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Analysis of Riemannian Distance Functions

让μ:ñ↦R表示一个平滑函数ñ. 然后是限制μ~=μ|磷是一个平滑函数磷和各自的黑森州赫斯ñ⁡(μ)和赫斯磷⁡(μ~)相关如下: 命题3.1([Ĵķ]页。713).

赫斯磷⁡(μ~)(X,是)=赫斯ñ⁡(μ)(X,是) +⟨∇ñ(μ),一个(X,是)⟩对于所有切向量X,是∈吨磷⊆吨ñ, 在哪里一个是第二种基本形式磷在ñ. 证明。

赫斯磷⁡(μ~)(X,是)=⟨DX磷∇磷μ~,是⟩ =⟨DXñ∇磷μ~−一个(X,∇磷μ~),是⟩ =⟨DXñ∇磷μ~,是⟩ =X(⟨∇磷μ~,是⟩)−⟨∇磷μ~,DXñ是⟩ =⟨DXñ∇ñμ,是⟩+⟨(∇ñμ)⊥,DXñ是⟩ =赫斯ñ⁡(μ)(X,是)+⟨(∇ñμ)⊥,一个(X,是)⟩ =赫斯ñ⁡(μ)(X,是)+⟨∇ñμ,一个(X,是)⟩
如果我们修改μ至F∘μ通过平滑函数F:R↦R,然后我们得到
引理 3.2。

赫斯ñ⁡(F∘μ)(X,X)=F′′(μ)⋅⟨∇ñ(μ),X⟩2 +F′(μ)⋅赫斯ñ⁡(μ)(X,X)
对所有人X∈吨ñn

下面我们写μ=μ~. 结合 (3.1) 和 (3.3) 得出
推论 3.3。

赫斯磷⁡(F∘μ)(X,X)=F′′(μ)⋅⟨∇ñ(μ),X⟩2 +F′(μ)⋅赫斯ñ⁡(μ)(X,X) +⟨∇ñ(μ),一个(X,X)⟩
对所有人X∈吨磷米.
在下面的函数μ永远是一个距离函数ñ——无论从哪一点p在这种情况下,我们设置μ(X)=距离⁡ñ(p,X)=r(X),或从完全测地线超曲面在n−1在ñ在这种情况下,我们让μ(X)=距离ñ(在,X)= 这(X). 功能F将始终被选中,因此F∘μ在周围的各个常规球内是光滑的p在周围的常规管内在,我们现在定义。两平面的截面曲率Ω在环境空间的切丛中ñ表示为ķñ(Ω),参见,例如,[Sa],第 II.3 节。关于符号:在以下两个赫斯ñ并且 Hess 将不变地用于环境流形中的 Hessianñ,以及在纯粹的内在上下文中,只有ñ并且没有考虑其任何子流形。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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