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数学代写|matlab代写|Reed-Solomon Codes

数学代写|matlab代写|Construction

In this chapter, we will present a type of code called a Reed-Solomon code. Reed-Solomon codes, like BCH codes, have polynomial codewords, are linear, and can be constructed to be multiple-error correcting. However, ReedSolomon codes are significantly better than BCH codes in many situations because they are ideal for correcting error bursts. When a binary codeword is transmitted, the received vector is said to contain an error burst if it contains several bit errors very close together. In data transmitted through space, error bursts are frequently caused by very brief periods of intense solar energy. It was for this reason that a Reed-Solomon code was used in the Voyager 2 satellite when it transmitted photographs of several of the planets in our solar system back to Earth. We will briefly discuss the use of a Reed-Solomon code in the Voyager 2 satellite in Section 5.6. In addition, there are a variety of other reasons why errors in binary codewords often occur naturally in bursts, such as power surges in cable and telephone wires, various types of interference, and scratches on compact discs. As a result, Reed-Solomon codes have a rich assortment of applications, and are claimed to be the most frequently used digital error-correcting codes in the world. They are used extensively in the encoding of music and video on CDs, DVDs, and Blu-ray discs, have played an integral role in the development of high-speed supercomputers, and will be an important tool in the future for dealing with complex communication and information transfer systems.

To construct a Reed-Solomon code, we begin by choosing a primitive polynomial $p(x)$ of degree $n$ in $\mathbb{Z}{2}[x]$, and forming the field $F=\mathbb{Z}{2}[x] /(p(x))$ of order $2^{n}$. As we did in Chapter 4 , throughout this chapter we will denote the element $x$ in our finite fields by $a$. Like BCH codewords, Reed-Solomon codewords are then polynomials of degree less than $2^{n}-1$. However, unlike $\mathrm{BCH}$ codewords, which are elements in $\mathbb{Z}_{2}[x]$, Reed-Solomon codewords are elements in $F[x]$. To construct a $t$-error correcting Reed-Solomon code $C$, we use the generator polynomial $g(x)=(x-a)\left(x-a^{2}\right) \cdots\left(x-a^{2 t}\right)$ in $F[x]$. The codewords in $C$ are then all multiples of $g(x)$ in $F(x)$ of degree less than $2^{n}-1$. Theorem $4.2$ can easily be modified to show that $C$ will be $t$-error correcting. The codewords in $C$ have length $2^{n}-1$ positions, and form a vector space of dimension $2^{n}-1-2 t$. We will describe a Reed-Solomon code using the notation and parameters $R S\left(2^{n}-1, t\right)$ if the codewords in the code have length $2^{n}-1$ positions and the code is $t$-error correcting.

数学代写|matlab代写|Error Correction

We should begin by noting that the error correction method for BCH codes that we presented in Chapter 4 yields the same information when it is applied to a received Reed-Solomon polynomial as when it is applied to a received $\mathrm{BCH}$ polynomial. However, the $\mathrm{BCH}$ error correction method cannot generally be used to correct errors in a received Reed-Solomon polynomial. Recall that the last step in the BCH error correction method involves finding the roots of an error locator polynomial, which reveals the error positions in a received polynomial. Because there are only two possible coefficients for each term in a BCH polynomial, knowledge of the error positions alone is sufficient to correct the polynomial. The BCH error correction method can also be used to find the error positions in a received Reed-Solomon polynomial. However, because there is more than one possible coefficient for each term in a Reed-Solomon polynomial, knowledge of the error positions alone is not generally sufficient to correct the polynomial. The specific error present within each error position would also have to be determined.

Rather than combining the BCH error correction method for identifying error positions in received polynomials with a separate method for actually correcting errors, we will present an entirely new method for both identifying and correcting errors in Reed-Solomon polynomials. Before stating this new Reed-Solomon error correction method, we first note the following analogue to Theorem 4.1.

Theorem 5.1 Suppose that $F$ is a field of order $2^{n}$, and let $C$ be an $R S\left(2^{n}-1, t\right)$ code in $F[x]$. Then $c(x) \in F[x]$ of degree less than $2^{\mathrm{n}}-1$ is in $C$ if and only if $c\left(a^{i}\right)=0$ for $i=1,2, \ldots, 2 t$.

数学代写|matlab代写|Error Correction Method Proof

In this section, we will verify the Reed-Solomon error correction method that we summarized and illustrated in Section 5.2. ${ }^{2}$

Suppose $F$ is a field of order $2^{n}$, and let $C$ be an $R S\left(2^{n}-1, t\right)$ code in $F[x]$. If $c(x) \in C$ is transmitted and we receive the polynomial $r(x) \in F[x]$ of degree less than $2^{n}-1$, then $r(x)=c(x)+e(x)$ for some error polynomial $e(x)$ in $F[x]$ of degree less than $2^{n}-1$. We will denote this error polynomial by $e(x)=\sum_{j=0}^{m-1} e_{j} x^{j}$, with $m=2^{n}-1$ and $e_{j} \in F$. To determine $e(x)$, we begin by computing the first $2 t$ syndromes of $r(x)$, which we will denote as follows for $i=1,2, \ldots, 2 t$.
$$
s_{i}=r\left(a^{i}\right)=e\left(a^{i}\right)=\sum_{j=0}^{m-1} e_{j} a^{i j}
$$
Next, we use the preceding syndromes to form the syndrome polynomial $S(z)=\sum_{i=0}^{2 t-1} s_{i+1} z^{i}$. Note then that $S(z)$ can be expressed as follows.
$$
S(z)=\sum_{i=0}^{2 t-1} \sum_{j=0}^{m-1} e_{j} a^{(i+1) j} z^{i}=\sum_{j=0}^{m-1} e_{j} a^{j} \sum_{i=0}^{2 t-1} a^{i j} z^{i}
$$
Let $M$ be the set of integers that correspond to the error positions in $r(x)$. That is, let $M=\left{0 \leq j \leq m-1 \mid e_{j} \neq 0\right}$. Note also the following.
$$
\begin{aligned}
S(z) &=\sum_{j \in M} e_{j} a^{j} \sum_{i=0}^{2 t-1} a^{i j} z^{i} \
&=\sum_{j \in M} e_{j} a^{j}\left(\frac{1-a^{j(2 t)} z^{2 t}}{1-a^{j} z}\right) \
&=\sum_{j \in M} \frac{e_{j} a^{j}}{1-a^{j} z}-\sum_{j \in M} \frac{e_{j} a^{j(2 t+1)} z^{2 t}}{1-a^{j} z}
\end{aligned}
$$

数学代写|matlab代写|Reed-Solomon Codes

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数学代写|matlab代写|Construction

在本章中,我们将介绍一种称为 Reed-Solomon 码的码。Reed-Solomon 码与 BCH 码一样,具有多项式码字,是线性的,并且可以构造为多重纠错。然而,ReedSolomon 码在许多情况下明显优于 BCH 码,因为它们是纠正错误突发的理想选择。当一个二进制码字被传输时,如果接收到的向量包含几个非常接近的位错误,则称它包含一个错误突发。在通过太空传输的数据中,错误突发通常是由非常短暂的强烈太阳能引起的。正是出于这个原因,当航海者 2 号卫星将我们太阳系中几颗行星的照片传回地球时,它使用了里德-所罗门密码。我们将在 5.6 节简要讨论航海者 2 号卫星中 Reed-Solomon 码的使用。此外,二进制码字中的错误经常以突发的方式自然发生还有多种其他原因,例如电缆和电话线中的电涌、各种类型的干扰以及光盘上的划痕。因此,Reed-Solomon 码具有丰富的应用范围,据称是世界上使用最频繁的数字纠错码。它们广泛用于对 CD、DVD 和蓝光光盘上的音乐和视频进行编码,在高速超级计算机的发展中发挥了不可或缺的作用,并将成为未来处理复杂通信的重要工具和信息传输系统。二进制码字中的错误经常以突发的方式自然发生还有很多其他原因,例如电缆和电话线中的电涌、各种类型的干扰以及光盘上的划痕。因此,Reed-Solomon 码具有丰富的应用范围,据称是世界上使用最频繁的数字纠错码。它们广泛用于对 CD、DVD 和蓝光光盘上的音乐和视频进行编码,在高速超级计算机的发展中发挥了不可或缺的作用,并将成为未来处理复杂通信的重要工具和信息传输系统。二进制码字中的错误经常以突发的方式自然发生还有很多其他原因,例如电缆和电话线中的电涌、各种类型的干扰以及光盘上的划痕。因此,Reed-Solomon 码具有丰富的应用范围,据称是世界上使用最频繁的数字纠错码。它们广泛用于对 CD、DVD 和蓝光光盘上的音乐和视频进行编码,在高速超级计算机的发展中发挥了不可或缺的作用,并将成为未来处理复杂通信的重要工具和信息传输系统。Reed-Solomon 码具有丰富的应用范围,据称是世界上使用最频繁的数字纠错码。它们广泛用于对 CD、DVD 和蓝光光盘上的音乐和视频进行编码,在高速超级计算机的发展中发挥了不可或缺的作用,并将成为未来处理复杂通信的重要工具和信息传输系统。Reed-Solomon 码具有丰富的应用范围,据称是世界上使用最频繁的数字纠错码。它们广泛用于对 CD、DVD 和蓝光光盘上的音乐和视频进行编码,在高速超级计算机的发展中发挥了不可或缺的作用,并将成为未来处理复杂通信的重要工具和信息传输系统。

为了构造 Reed-Solomon 码,我们首先选择一个原始多项式p(X)学位n在从2[X], 并形成场F=从2[X]/(p(X))有秩序的2n. 正如我们在第 4 章中所做的那样,在本章中,我们将表示元素X在我们的有限域中一个. 与 BCH 码字一样,Reed-Solomon 码字是次数小于2n−1. 然而,不同于乙CH码字,它们是元素从2[X], Reed-Solomon 码字是F[X]. 构建一个吨-纠错 Reed-Solomon 代码C,我们使用生成多项式G(X)=(X−一个)(X−一个2)⋯(X−一个2吨)在F[X]. 中的码字C那么是所有的倍数G(X)在F(X)学位小于2n−1. 定理4.2可以很容易地修改以显示C将会吨-纠错。中的码字C有长度2n−1位置,并形成一个维度的向量空间2n−1−2吨. 我们将使用符号和参数来描述 Reed-Solomon 码R小号(2n−1,吨)如果代码中的码字有长度2n−1职位和代码是吨-纠错。

数学代写|matlab代写|Error Correction

我们应该首先注意到,我们在第 4 章中介绍的 BCH 码的纠错方法在应用于接收到的 Reed-Solomon 多项式时产生的信息与应用于接收到的乙CH多项式。但是,那乙CH纠错方法通常不能用于纠正接收到的 Reed-Solomon 多项式中的错误。回想一下,BCH 纠错方法的最后一步涉及找到错误定位多项式的根,它揭示了接收多项式中的错误位置。因为 BCH 多项式中的每一项只有两个可能的系数,所以仅了解错误位置就足以纠正多项式。BCH 纠错方法也可用于在接收到的 Reed-Solomon 多项式中找到错误位置。然而,由于 Reed-Solomon 多项式中的每一项都有多个可能的系数,因此仅了解错误位置通常不足以纠正多项式。还必须确定每个错误位置中存在的特定错误。

与其将用于识别接收多项式中的错误位置的 BCH 纠错方法与用于实际纠正错误的单独方法相结合,我们将提出一种用于识别和纠正 Reed-Solomon 多项式中的错误的全新方法。在说明这种新的 Reed-Solomon 纠错方法之前,我们首先注意以下与定理 4.1 的类似物。

定理 5.1 假设F是有序域2n, 然后让C豆R小号(2n−1,吨)代码在F[X]. 然后C(X)∈F[X]学位小于2n−1在C当且仅当C(一个一世)=0为了一世=1,2,…,2吨.

数学代写|matlab代写|Error Correction Method Proof

在本节中,我们将验证我们在 5.2 节中总结和说明的 Reed-Solomon 纠错方法。2

认为F是有序域2n, 然后让C豆R小号(2n−1,吨)代码在F[X]. 如果C(X)∈C被传输,我们收到多项式r(X)∈F[X]学位小于2n−1, 然后r(X)=C(X)+和(X)对于一些错误多项式和(X)在F[X]学位小于2n−1. 我们将这个误差多项式表示为和(X)=∑j=0米−1和jXj, 和米=2n−1和和j∈F. 确定和(X),我们首先计算第一个2吨的综合症r(X), 我们将表示如下一世=1,2,…,2吨.

s一世=r(一个一世)=和(一个一世)=∑j=0米−1和j一个一世j
接下来,我们使用前面的伴随式来形成伴随式多项式小号(和)=∑一世=02吨−1s一世+1和一世. 那么请注意小号(和)可以表示如下。

小号(和)=∑一世=02吨−1∑j=0米−1和j一个(一世+1)j和一世=∑j=0米−1和j一个j∑一世=02吨−1一个一世j和一世
让米是对应于错误位置的整数集r(X). 也就是说,让M=\left{0 \leq j \leq m-1 \mid e_{j} \neq 0\right}M=\left{0 \leq j \leq m-1 \mid e_{j} \neq 0\right}. 另请注意以下事项。

小号(和)=∑j∈米和j一个j∑一世=02吨−1一个一世j和一世 =∑j∈米和j一个j(1−一个j(2吨)和2吨1−一个j和) =∑j∈米和j一个j1−一个j和−∑j∈米和j一个j(2吨+1)和2吨1−一个j和

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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