数学代考|金融数学代考Financial Mathematics代写|Evaluation of Variable Annuity Guarantees with the Effect

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金融数学是将数学方法应用于金融问题。(有时使用的同等名称是定量金融、金融工程、数学金融和计算金融)。它借鉴了概率、统计、随机过程和经济理论的工具。传统上,投资银行、商业银行、对冲基金、保险公司、公司财务部和监管机构将金融数学的方法应用于诸如衍生证券估值、投资组合结构、风险管理和情景模拟等问题。依赖商品的行业(如能源、制造业)也使用金融数学。 定量分析为金融市场和投资过程带来了效率和严谨性,在监管方面也变得越来越重要。

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  • Statistical Computing 统计计算
  • Advanced Probability Theory 高等概率论
  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代考|金融数学代考Financial Mathematics代写|Evaluation of Variable Annuity Guarantees with the Effect

数学代考|金融数学代考Financial Mathematics代写|Underlying asset price dynamics

We propose a new model, jump-diffusion model, which takes into account the large, infrequent and abnormal variations of asset price caused by market news arrival in addition to normal changes of asset price due to disequilibrium in market demand and supply. We extend the work of Milevsky and Posner (2001) by allowing jumps in the underlying asset price process.

Compared to Black-Scholes model which considers only normal asset price changes, jump-diffusion model considers both normal and abnormal asset price changes and hence makes it a better model. Different from stochastic volatility models, jump-diffusion models have better analytical tractability specifically for path-dependent options and capture short term characteristics or behaviour of the financial market better (Yan \& Hanson, 2006). In other words, they handle short-term smiles better.

We evaluate the guarantee fees using this proposed model and compare to the fees evaluated using the Black-Scholes model which only considers risk to the life insurer brought by normal changes of asset price caused by the imbalance of market demand and supply.

In the proposed new model, jump-diffusion model, the value of an asset at time $t,\left(S_{t}\right)$ follows a $G B M$ and a jump process outlined by Poisson process, $\mathrm{N}{\mathrm{t}}$. The asset price follows GBM between jumps. $$ \mathrm{d} \mathrm{S}{\mathrm{t}}=\mu \mathrm{S}{\mathrm{t}} \mathrm{d} t+\sigma \mathrm{S}{\mathrm{t}} \mathrm{dB} \mathrm{B}{t}+J \mathrm{~S}{\mathrm{t}} \mathrm{d} N_{\mathrm{t}}, \quad \mathrm{S}(0)=\mathrm{S}{0} $$ where $\mathrm{N}{\mathrm{t}}$ is a Poisson process with an intensity of $\lambda$ given by:
$P{N(t)=n}=\frac{(\lambda t)^{n}}{n !} \mathrm{e}^{-\lambda t}$
$S_{t}$ is the asset price at time $t, B_{t}$ is a standard Brownian motion, $J$ (is a function which causes a jump of stock price) is the jump size or magnitude which are i.i.d r.vs. The study by Merton (1976) considers the case where the jump sizes are normally distributed $(\mathrm{J} \sim \mathrm{N}(\mu, \sigma))$.

数学代考|金融数学代考Financial Mathematics代写|Jump-diffusion model vs. Black–Scholes model

Figures 9 and 10 show M\&E fee for Malaysian male and female annuitants, respectively, where the FPVA premiums are invested in Malaysia stock market. The fees are calculated using Black-Scholes model and jump-diffusion model.
Black-Scholes model ignores the jumps in the asset prices caused by over or under reaction due to good or bad news coming from the market or an individual company. Hence it doesn’t consider the impact of information arrival on the asset price changes. It only considers normal asset price changes but not abnormal. By assuming jumps in asset prices, the risks modelled in the jump-diffusion models are higher compared to the risks modelled in the Black-Scholes model. This makes the prices obtained using jump-diffusion model to be higher than the prices obtained using BlackScholes model, refer Figures 9 and 10 .

The nature of the changes of the asset prices determines the various features of the financial asset returns (returns distribution, asymmetry, volatility smile). There are many sources which determine the nature of the change of the asset prices. Some of these include: normal asset price changes due to disequilibrium in supply and demand on the market; abnormal asset price changes due to infrequent events caused by large-scale imbalance in the national or international market economy. VA pricing models strive to capture the various important features of the asset returns. Indirectly pricing models quantify the risks presented by the various sources.

Some models consider only one category of risk, while other models consider a combination of many sources of risk which an investor is exposed to in the stock market. In our study, we consider two models: the BlackScholes model considers the risk of loss to the insurers due to normal changes of asset price; and the jump-diffusion model considers the risk of losses from normal and abnormal changes in the asset price.

Many sources of risks expose the investor to a significant risk of loss compared to few sources of risks. This in turn will compel the life insurance company issuing the VA with guarantees to charge high guarantee fees when using a pricing framework which accounts for many sources of risk of loss compared to a pricing model which takes into account few sources of risks of loss. Black-Scholes model produces lower guarantee fees than the jumpdiffusion model because it accounts for only sources of risk of loss due to normal changes of the asset price, while jump-diffusion model accounts for risks of loss due to normal and abnormal changes in the asset price, refer Figures 9 and 10 .

数学代考|金融数学代考Financial Mathematics代写|Issuing VA to annuitants of different countries

Figures 11 and 12 show M\&E fee for male and female annuitants, respectively, of Malaysia, Tanzania and Canada when the investment of the contributions is done in Malaysia stock exchange market. Mortality rates explain the level of mortality risk which individual annuitants bring into the group. To be fair, the life insurance company should charge the annuitants according to the risk they bring into the group. When the life insurance company charges same price to all annuitants of the same age regardless the region or country they come from, good risks (annuitants with lower mortality rate at same age) will feel they are overcharged and hence terminate the contract and surrender it while bad risks (annuitants with high mortality rates at same age) will feel that they are undercharged. In addition the company will be attracting bad risks and chasing away good risks. This will lead to an adverse selection problem which puts the company in a high risk of losses.

To avoid this, the M \&E fees should depend on the mortality rates of an individual person, refer Figures 11 and 12 and explained in detail in Juma, Lee, Goh, Chin, and Liew (2016) and Juma and Lee (2017). The higher the mortality rate of an individual, the higher the fees irrespective of the region although the mortality table of the region is used in the calculation of the fees.

数学代考|金融数学代考Financial Mathematics代写|Evaluation of Variable Annuity Guarantees with the Effect

金融数学代考

数学代考|金融数学代考Financial Mathematics代写|Underlying asset price dynamics

我们提出了一种新的模型,即跳跃扩散模型,该模型除了考虑市场供需失衡导致的资产价格正常变化外,还考虑了市场消息到来引起的资产价格的大的、不频繁的和异常的变化。我们通过允许基础资产价格过程中的跳跃来扩展 Milevsky 和 ​​Posner (2001) 的工作。

与仅考虑正常资产价格变化的 Black-Scholes 模型相比,跳跃扩散模型同时考虑了正常和异常的资产价格变化,因此使其成为更好的模型。与随机波动率模型不同,跳跃扩散模型具有更好的分析易处理性,特别是针对路径依赖的期权,并更好地捕捉金融市场的短期特征或行为(Yan \& Hanson,2006)。换句话说,他们更好地处理短期微笑。

我们使用该模型评估担保费用,并与使用 Black-Scholes 模型评估的费用进行比较,该模型仅考虑市场供需失衡导致的资产价格正常变化给寿险公司带来的风险。

在提出的新模型中,跳跃扩散模型,资产在时间的价值吨,(小号吨)遵循一个G乙米以及泊松过程概述的跳跃过程,ñ吨. 资产价格在跳跃之间跟随 GBM。

d小号吨=μ小号吨d吨+σ小号吨d乙乙吨+Ĵ 小号吨dñ吨,小号(0)=小号0在哪里ñ吨是强度为的泊松过程λ给出:
磷ñ(吨)=n=(λ吨)nn!和−λ吨
小号吨是当时的资产价格吨,乙吨是标准布朗运动,Ĵ(是导致股价跳跃的函数)是 iid r.vs 的跳跃大小或幅度。Merton (1976) 的研究考虑了跳跃大小呈正态分布的情况(Ĵ∼ñ(μ,σ)).

数学代考|金融数学代考Financial Mathematics代写|Jump-diffusion model vs. Black–Scholes model

图 9 和图 10 分别显示了马来西亚男性和女性年金的 M\&E 费用,其中 FPVA 保费投资于马来西亚股票市场。费用是使用 Black-Scholes 模型和跳跃扩散模型计算的。
Black-Scholes 模型忽略了由于来自市场或个别公司的好消息或坏消息导致的过度或反应不足导致的资产价格跳跃。因此没有考虑信息到达对资产价格变化的影响。它只考虑正常的资产价格变化,不考虑异常。通过假设资产价格跳跃,跳跃扩散模型中建模的风险与布莱克-斯科尔斯模型中建模的风险相比更高。这使得使用跳跃扩散模型获得的价格高于使用 BlackScholes 模型获得的价格,参见图 9 和图 10。

资产价格变动的性质决定了金融资产收益的各种特征(收益分布、不对称、波动微笑)。有许多来源决定了资产价格变化的性质。其中包括:由于市场供需失衡导致的正常资产价格变化;因国家或国际市场经济大规模失衡导致的偶发性事件导致的资产价格异常变化。VA 定价模型力求捕捉资产回报的各种重要特征。间接定价模型量化了各种来源带来的风险。

一些模型只考虑一类风险,而另一些模型则考虑投资者在股票市场上面临的多种风险来源的组合。在我们的研究中,我们考虑了两个模型:BlackScholes 模型考虑了由于资产价格的正常变化给保险公司带来损失的风险;跳跃扩散模型考虑了资产价格正常和异常变化带来的损失风险。

与少数风险来源相比,许多风险来源使投资者面临重大的损失风险。这反过来将迫使签发 VA 担保的人寿保险公司在使用考虑到许多损失风险来源的定价框架时收取高额担保费,而定价模型则考虑到很少的损失风险来源。Black-Scholes 模型产生的担保费用低于跳跃扩散模型,因为它只考虑了资产价格正常变化导致的损失风险来源,而跳跃扩散模型考虑了资产正常和异常变化导致的损失风险价格,参见图 9 和 10。

数学代考|金融数学代考Financial Mathematics代写|Issuing VA to annuitants of different countries

图 11 和图 12 分别显示了马来西亚、坦桑尼亚和加拿大的男性和女性年金受益人在马来西亚证券交易所市场进行投资时的 M\&E 费用。死亡率解释了个体年金领取者带入群体的死亡风险水平。平心而论,寿险公司应根据年金人给团体带来的风险收取费用。当寿险公司对同一年龄的所有年金人收取相同的价格时,无论他们来自哪个地区或国家,好的风险(同一年龄死亡率较低的年金)会觉得他们被多收了,因此终止合同并退保。不良风险(同龄死亡率高的年金领取人)会觉得自己收费过低。此外,公司将吸引不良风险并赶走良好风险。这将导致逆向选择问题,使公司处于高损失风险中。

为避免这种情况,M\&E 费用应取决于个人的死亡率,参见图 11 和 12,并在 Juma, Lee, Goh, Chin, and Liew (2016) 和 Juma and Lee (2017) 中详细解释. 个人的死亡率越高,费用就越高,与地区无关,尽管在计算费用时使用了该地区的死亡率表。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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