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光学是研究光的行为和属性的物理学分支，包括它与物质的相互作用以及使用或探测它的仪器的构造。光学通常描述可见光、紫外光和红外光的行为。
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物理代写|光学代写Optics代考|Topology Optimization Problem
In a two-dimensional case, surface plasmon polaritons are excited by transverse magnetic (magnetic field in the $z$ direction) polarized waves, scattered by metallic nanostructures. For transverse magnetic waves propagating in the $x-y$ plane, the scattered-field formulation is used in order to reduce the dispersion error
$$
\nabla \cdot\left[\varepsilon_{r}^{-1} \nabla\left(H_{z s}+H_{z i}\right)\right]+k_{0}^{2} \mu_{r}\left(H_{z s}+H_{z i}\right)=0, \text { in } \Omega
$$
where $H_{z}=H_{z s}+H_{z i}$ is the total field, $H_{z s}$ and $H_{z i}$ are the scattered and incident fields, respectively; $\varepsilon_{r}$ and $\mu_{r}$ are the relative permittivity and permeability, respectively; $k_{0}=\omega \sqrt{\varepsilon_{0} \mu_{0}}$ is the free space wave number with $\omega, \varepsilon_{0}$ and $\mu_{0}$ representing the angular frequency, free space permittivity and permeability, respectively; $\Omega$ is the computational domain; the time dependence of the fields is given by the factor $e^{j \omega t}$, with $t$ representing the time. The incident field can be obtained by solving the electromagnetic equations in free space, with boundary conditions representing realistic working conditions.
The boundary conditions of Eq. $4.18$ usually include the first-order absorbing condition, periodic boundary condition and symmetric condition. The first-order absorbing condition is usually used to truncate the field distribution at infinity [46]
$$
\varepsilon_{r}^{-1} \nabla H_{s z} \cdot \mathbf{n}+j k_{0} \sqrt{\varepsilon_{r}^{-1} \mu_{r}} H_{s z}=0, \text { on } \Gamma_{a b}
$$
where $j$ is the imaginary unit; $\mathbf{n}$ is the unit outward normal vector at the boundary $\partial \Omega$ of the computational domain; $\Gamma_{a b}$ is the absorbing boundary included in $\partial \Omega$. Periodicity of nanostructures plays a crucial role in tuning the optical response; and single nanostructure can be approximated by the periodic case with low volume ratio of the nanostructure. Therefore, the periodic boundary condition for the scattered field, induced by the periodic incident wave, is often imposed on the piecewise pair included in $\partial \Omega$
$$
\left.\begin{array}{l}
H_{s z}(\mathbf{x}+\mathbf{a})=H_{s z}(\mathbf{x}) e^{-j \mathbf{k} \cdot \mathbf{a}} \
\mathbf{n}(\mathbf{x}+\mathbf{a}) \cdot \nabla H_{s z}(\mathbf{x}+\mathbf{a})=-e^{-j \mathbf{k} \mathbf{a}} \mathbf{n}(\mathbf{x}) \cdot \nabla H_{s z}(\mathbf{x})
\end{array}\right} \text { for } \forall \mathbf{x} \in \Gamma_{p s}, \mathbf{x}+\mathbf{a} \in \Gamma_{p d}
$$
where $\Gamma_{p d}$ and $\Gamma_{p s}$ composes one piecewise periodic boundary pair, with $\Gamma_{p d}$ and $\Gamma_{p s}$ respectively being the destination and source boundaries; $\mathbf{k}$ is the wave vector; $\mathbf{a}$ is the lattice vector of the periodic nanostructures. The symmetry of the incident wave and material distribution gives rise to the symmetrical characteristic of the scattered
field. Then the symmetric condition can be used to reduce the computational cost and ensure the computational accuracy effectively
$$
\varepsilon_{r}^{-1} \nabla H_{s z} \cdot \mathbf{n}=0 \text {, on } \Gamma_{s m}
$$
物理代写|光学代写Optics代考|Adjoint analysis
In this section, the variational problem for computational design is analyzed to obtain the gradient information used to iteratively evolve the design variable. According to the Refs. $[38,41,64]$, the adjoint method is an efficient approach to derive the derivative of the objective in the partial differential equation constrained variational problem. Then, the adjoint Eqs. $4.18$ and $4.21$ are obtained using the Lagrangian multiplier-based adjoint method (see Appendix $4.4$ for more details)
where $\bar{H}{z s} \in \mathscr{H}^{1 *}(\Omega)$ and $\bar{\rho}{f} \in \mathscr{H}^{1 *}(\Omega)$ are the adjoint variables of the state variables $H_{z s} \in \mathscr{H}^{1}(\Omega)$ and $\rho_{f} \in \mathscr{H}^{1}(\Omega)$, respectively; $\mathscr{H}^{1}(\Omega)$ is the first-order Sobolev space, and $\mathscr{H}^{1 *}(\Omega)$ is the dual space of $\mathscr{H}^{1}(\Omega)$; for complex, * represents the conjugate operation. It is valuable to notice that $\bar{H}{z s}^{}$ and $\rho{f}^{}$ are more convenient to be solved than $\bar{H}{z s}$ and $\rho{f}$ in the adjoint Eqs. $4.11$ and $4.12$. Therefore, the adjoint Eqs. $4.11$ and $4.12$ are utilized to solve $\tilde{H}{z s}^{}$ and $\rho{f}^{}$, and $\bar{H}{z s}$ and $\rho{f}$ can be obtained using conjugate operation. The adjoint derivative of the computational design problem is obtained as (see Appendix $4.4$ for more details)
$$
\frac{\delta \hat{J}}{\delta \rho}=\operatorname{Re}\left(\frac{\partial A}{\partial \rho}-\bar{\rho}{f}^{*}\right), \text { in } \Omega $$ where $\rho$ is valued in $\mathscr{L}{2}(\Omega)$, the second-order Lebesgue integrable functional space; $\operatorname{Re}(\cdot)$ is the real part of an expression. In Eq. 4.26, only the real part of the adjoint derivative is utilized, because the design variable $\rho$ is the distribution defined on real space.
物理代写|光学代写Optics代考|Nanostructures for Localized Surface Plasmonic
Localized surface plasmon resonances are the strong interaction between metal nanostructures and visible light through the resonant excitations of collective oscillations of conduction electrons. In localized surface plasmon resonances, the local electromagnetic field near the nanostructure can be many orders of magnitude higher than the incident field, and the incident field around the resonant-peak wavelength is scattered strongly; the enhanced electric field is confined within only a tiny region of the nanometer length scale near the surface of the nanostructures and decays significantly thereafter [79]. Surface enhanced Raman spectroscopy (SERS) is one typical application of localized surface plasmon resonances [65]. In this section, the computational design is carried out for the metallic nanostructures of surface enhanced Raman spectroscopy using the proposed methodology.
In surface enhanced Raman spectroscopy, the strength of localized surface plasmon resonances can be measured by the maximal enhancement factor (EF) defined as $\sup {\mathbf{x} \in \Omega}|\mathbf{E}|^{4} / E{0}^{4}$, where
$$
\mathbf{E}=\frac{1}{j \varepsilon_{r} \varepsilon_{0} \omega} \nabla \times\left(0,0, H_{z}\right)
$$
is the total electric field and $E_{0}=\sqrt{\mu_{0} / \varepsilon_{0}}$ is the amplitude of the electric wave corresponding to the incident magnetic wave. Then the design objective can be chosen to maximize the enhancement factor
$$
J=\left.\frac{1}{f_{e 0}} \frac{|\mathbf{E}|^{4}}{E_{0}^{4}}\right|{\mathbf{x}=\mathbf{x}{0}}=\frac{1}{f_{e 0}} \int_{\Omega} \frac{|\mathbf{E}|^{4}}{E_{0}^{4}} \delta\left(\text { dist }\left(\mathbf{x}, \mathbf{x}_{0}\right)\right) \mathrm{d} \Omega
$$ where the enhancement factor is normalized by $f_{e 0}$; and $f_{e 0}$ is the enhancement factor at $\mathbf{x}{0}$, corresponding to the nanostructure with metal material filled the design domain completely; $\mathbf{x}{0}$ is the reasonably chosen enhancement position in $\Omega ; \delta(\cdot)$ is the Dirac function; dist $\left(\mathbf{x}, \mathbf{x}{0}\right.$ ) is the Euclidean distance between the point $\forall \mathbf{x} \in \Omega$ and the specified position $\mathbf{x}{0}$. The enhancement position $\mathbf{x}_{0}$ should be presented at the surface or coupling position of nanostructures, because the maximal enhancement factor must be at the metal surface or coupling position in localized surface plasmon resonances.
光学代考
物理代写|光学代写Optics代考|Topology Optimization Problem
在二维情况下，表面等离子体激元由横向磁场（在和方向）极化波，由金属纳米结构散射。对于横向传播的磁波X−是平面，使用散射场公式以减少色散误差
∇⋅[er−1∇(H和s+H和一世)]+ķ02μr(H和s+H和一世)=0, 在 Ω
在哪里H和=H和s+H和一世是总场，H和s和H和一世分别是散射场和入射场；er和μr分别是相对介电常数和磁导率；ķ0=ωe0μ0是自由空间波数ω,e0和μ0分别表示角频率、自由空间介电常数和磁导率；Ω是计算域；场的时间依赖性由因子给出和jω吨， 和吨代表时间。入射场可以通过求解自由空间中的电磁方程得到，边界条件代表实际工作条件。
方程的边界条件。4.18通常包括一阶吸收条件、周期性边界条件和对称条件。一阶吸收条件通常用于截断无穷远处的场分布[46]
er−1∇Hs和⋅n+jķ0er−1μrHs和=0, 上 Γ一个b
在哪里j是虚数单位；n是边界处的单位外向法向量∂Ω计算域的；Γ一个b是包含在∂Ω. 纳米结构的周期性在调节光学响应中起着至关重要的作用；单个纳米结构可以近似为具有低体积比的纳米结构的周期性情况。因此，由周期性入射波引起的散射场的周期性边界条件通常被施加在包含在∂Ω
\left.\begin{array}{l} H_{s z}(\mathbf{x}+\mathbf{a})=H_{s z}(\mathbf{x}) e^{-j \mathbf{k} \cdot \mathbf{a}} \ \mathbf{n}(\mathbf{x}+\mathbf{a}) \cdot \nabla H_{s z}(\mathbf{x}+\mathbf{a})=- e^{-j \mathbf{k} \mathbf{a}} \mathbf{n}(\mathbf{x}) \cdot \nabla H_{s z}(\mathbf{x}) \end{array}\right } \text { for } \forall \mathbf{x} \in \Gamma_{p s}, \mathbf{x}+\mathbf{a} \in \Gamma_{p d}\left.\begin{array}{l} H_{s z}(\mathbf{x}+\mathbf{a})=H_{s z}(\mathbf{x}) e^{-j \mathbf{k} \cdot \mathbf{a}} \ \mathbf{n}(\mathbf{x}+\mathbf{a}) \cdot \nabla H_{s z}(\mathbf{x}+\mathbf{a})=- e^{-j \mathbf{k} \mathbf{a}} \mathbf{n}(\mathbf{x}) \cdot \nabla H_{s z}(\mathbf{x}) \end{array}\right } \text { for } \forall \mathbf{x} \in \Gamma_{p s}, \mathbf{x}+\mathbf{a} \in \Gamma_{p d}
在哪里Γpd和Γps组成一个分段周期性边界对，其中Γpd和Γps分别是目的地和源边界；ķ是波矢；一个是周期性纳米结构的晶格向量。入射波和材料分布的对称性导致散射的对称特性
场地。然后可以利用对称条件来降低计算成本，有效保证计算精度
er−1∇Hs和⋅n=0， 上 Γs米
物理代写|光学代写Optics代考|Adjoint analysis
在本节中，分析计算设计的变分问题，以获得用于迭代演化设计变量的梯度信息。根据参考文献。[38,41,64], 伴随方法是在偏微分方程约束变分问题中导出目标导数的有效方法。然后，伴随方程。4.18和4.21使用基于拉格朗日乘数的伴随方法获得（见附录4.4更多细节）
在哪里H¯和s∈H1∗(Ω)和ρ¯F∈H1∗(Ω)是状态变量的伴随变量H和s∈H1(Ω)和ρF∈H1(Ω)， 分别;H1(Ω)是一阶 Sobolev 空间，并且H1∗(Ω)是对偶空间H1(Ω); 对于复数，* 表示共轭运算。值得注意的是H¯和s和ρF比解决更方便H¯和s和ρF在伴随的方程式中。4.11和4.12. 因此，伴随方程。4.11和4.12用于解决H~和s和ρF， 和H¯和s和ρF可以通过共轭运算得到。计算设计问题的伴随导数为（见附录4.4更多细节）
dĴ^dρ=回覆(∂一个∂ρ−ρ¯F∗), 在 Ω在哪里ρ被重视大号2(Ω)，二阶勒贝格可积函数空间；回覆(⋅)是表达式的实部。在等式。4.26，只使用伴随导数的实部，因为设计变量ρ是在真实空间上定义的分布。
物理代写|光学代写Optics代考|Nanostructures for Localized Surface Plasmonic
局域表面等离子体共振是金属纳米结构与可见光之间通过传导电子集体振荡的共振激发的强相互作用。在局域表面等离子共振中，纳米结构附近的局域电磁场可以比入射场高出许多数量级，共振峰波长附近的入射场被强烈散射；增强的电场仅被限制在纳米结构表面附近的纳米长度尺度的微小区域内，然后显着衰减[79]。表面增强拉曼光谱 (SERS) 是局部表面等离子体共振的一种典型应用 [65]。在这个部分，
在表面增强拉曼光谱中，局域表面等离子体共振的强度可以通过定义为 $\sup {\mathbf{x} \in \Omega}|\mathbf{E}|^{4 } / E {0}^{4},在H和r和和=1jere0ω∇×(0,0,H和)一世s吨H和吨○吨一个l和l和C吨r一世CF一世和ld一个ndE_{0}=\sqrt{\mu_{0}/\varepsilon_{0}}一世s吨H和一个米pl一世吨在d和○F吨H和和l和C吨r一世C在一个在和C○rr和sp○nd一世nG吨○吨H和一世nC一世d和n吨米一个Gn和吨一世C在一个在和.吨H和n吨H和d和s一世Gn○bj和C吨一世在和C一个nb和CH○s和n吨○米一个X一世米一世和和吨H和和nH一个nC和米和n吨F一个C吨○rĴ=1F和0|和|4和04|X=X0=1F和0∫Ω|和|4和04d( 距离 (X,X0))dΩ在H和r和吨H和和nH一个nC和米和n吨F一个C吨○r一世sn○r米一个l一世和和db是f_{e 0};一个ndf_{e 0}一世s吨H和和nH一个nC和米和n吨F一个C吨○r一个吨\mathbf{x}{0},C○rr和sp○nd一世nG吨○吨H和n一个n○s吨r在C吨在r和在一世吨H米和吨一个l米一个吨和r一世一个lF一世ll和d吨H和d和s一世Gnd○米一个一世nC○米pl和吨和l是;\mathbf{x}{0}一世s吨H和r和一个s○n一个bl是CH○s和n和nH一个nC和米和n吨p○s一世吨一世○n一世n\欧米茄; \delta(\cdot)一世s吨H和D一世r一个CF在nC吨一世○n;d一世s吨\left(\mathbf{x}, \mathbf{x}{0}\right.)一世s吨H和和在Cl一世d和一个nd一世s吨一个nC和b和吨在和和n吨H和p○一世n吨\forall \mathbf{x} \in \Omega一个nd吨H和sp和C一世F一世和dp○s一世吨一世○n\mathbf{x}{0}.吨H和和nH一个nC和米和n吨p○s一世吨一世○n\mathbf{x}_{0}$ 应该出现在纳米结构的表面或耦合位置，因为在局部表面等离子体共振中，最大增强因子必须在金属表面或耦合位置。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。