物理代写|广义相对论代写General relativity代考|PHYS4123

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广义相对论是阿尔伯特-爱因斯坦在1907至1915年间提出的引力理论。广义相对论说,观察到的质量之间的引力效应是由它们对时空的扭曲造成的。

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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
物理代写|广义相对论代写General relativity代考|PHYS4123

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Volume Elements

In general relativity we often need the integral of a scalar function, which itself is a scalar. The integral of a vector or tensor will not in general have a well-defined transformation law since it is not a quantity defined at a single point. Our task in this section is to obtain an expression for a volume element to be used when integrating a scalar function over all or part of a space.

The appropriate expression for a volume element in a general Riemann space can be obtained by first considering the special case of a diagonal metric and then generalizing to any metric using invariance arguments. For a diagonal metric in any number of dimensions we may write the line element as
$$
\mathrm{d} s^{2}=\sum_{i} g_{i i}\left(\mathrm{~d} x^{i}\right)^{2}, \quad \mathrm{~d} \ell_{i} \equiv \sqrt{g_{i i}} \mathrm{~d} x^{i}=\text { physical distance in } i \text { direction. }
$$
That is, as we discussed in Sect. $4.3$, the $\mathrm{d} \ell_{i}$ is a physical distance interval. (We assume for the moment that $g_{i i}$ is positive.) What is particularly nice is that this allows us to define a physically meaningful $n$-volume element in a clear and obvious

way, as the product of the physical distances,
$$
\mathrm{d} V_{n} \equiv \mathrm{d} \ell \ldots \mathrm{d} \ell_{n}=\sqrt{g_{11 \ldots g_{n n}}} \mathrm{~d} x^{1} \ldots \mathrm{d} x^{n}=\sqrt{|g|} d^{n} x, \ldots
$$
where $|g|$ denotes the determinant of the metric tensor. This last expression turns out to be general, except that one must use the absolute value of the determinant if the signature is negative.

To show that the expression $(4.76)$ is the correct volume element we prove the following theorem.

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Differential Manifolds

The term manifold occurs in more mathematically oriented work. A manifold is an open collection of points $P$ with useful properties for physics applications; because the collection is open there will be by definition a region around each point that is also in the manifold. The points in a 1 -dimensional manifold are in one to one correspondence with an open set of the reals; an open set of the reals is defined as a union of open intervals. Similarly the points in a 2 -dimensional manifold are in one to one correspondence with a pair of reals, and so forth for any dimension $n$. Thus an $n$-dimensional manifold is an open set of points that can be labeled by an $n$-tuple of reals in an open region, that is by coordinates.

A function of the manifold points $P$ can be defined in terms of a function of the coordinates as $f(P)=f\left(x^{k}\right)$. Continuous and differentiable functions are naturally of particular usefulness.

In general the labeling of the points in a manifold is not unique and several coordinate systems may be used to label a region of the manifold; they are often denoted as unprimed and primed, or unbarred and barred as we have done. If there is a differentiable and invertible transformation $\bar{x}^{k}=\bar{x}^{k}\left(x^{i}\right)$ between any two such coordinate systems we say that the manifold is differentiable. This means that a differentiable function of the points in the manifold corresponds to a continuous function in both coordinate systems.

Thus, in short, a manifold is simply the kind of space physics has used for centuries, defined a bit more carefully with an emphasis on coordinate systems and open sets.

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|The Signature Theorem in Two Dimensions

The Signature Theorem states that one can find a linear transformation to a coordinate system in which the metric tensor is diagonal and has $1,-1$, or 0 as diagonal elements. We will illustrate the proof in two dimensions with signature $(1,1)$ for simplicity. This is clearly a matrix problem so we will use matrix notation rather than index notation. We need deal only with a single point. The transformation between the original system and a new barred system we write in matrix form as
$$
x=D \bar{x},
$$
where $D$ is a matrix to be determined. The metric $G$ transforms as a second rank tensor so its transformation in matrix form is
$$
\bar{G}=D^{\mathrm{T}} G D, \quad G=\left(\begin{array}{ll}
g_{11} & g_{12} \
g_{12} & g_{22}
\end{array}\right)
$$
We first make the metric diagonal by choosing the transformation matrix $D$ with a single parameter $b$ to be determined,
$$
D=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \
b & 1
\end{array}\right)
$$
After the transformation the metric becomes
$$
\bar{G}=\left(\begin{array}{cc}
g_{11}+2 b g_{12}+b^{2} g_{22} & g_{12}+b g_{22} \
g_{12}+b g_{22} & g_{22}
\end{array}\right)
$$
We make this diagonal by choosing $b=-g_{12} / g_{22}$. Then we have

$$
\bar{G}=\left(\begin{array}{cc}
g_{11}-\left(g_{12}\right)^{2} / g_{22} & 0 \
0 & g_{22}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\bar{g}{11} & 0 \ 0 & \bar{g}{22}
\end{array}\right)
$$
Notice that the 1,1 element of the matrix $\bar{G}$ is the determinate of $G$ divided by $g_{22}$; we will assume this is positive so that the signature will be $(1,1)$. (The reader should work out the case where it is negative and the signature is (1, -1) as in Exercise 4.7)
We next apply a second linear transformation to stretch the coordinates and make both diagonal elements of the metric equal to 1 . Specifically this is done with the obvious stretching matrix
$$
\left(\begin{array}{cc}
\sqrt{g}{11} & 0 \ 0 & \sqrt{\bar{g}{22}}
\end{array}\right)
$$

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|PHYS4123

广义相对论代考

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Volume Elements

在广义相对论中,我们经常需要标量函数的积分,它本身就是一个标量。向量或张量的积分通常没有明确定义的变换定律,因为它不是在单个点上定义的量。我们在本节中的任务是获得在对全部或部分空间进行标量函数积分时要使用的体积元素的表达式。

一般黎曼空间中体积元素的适当表达式可以通过首先考虑对角度量的特殊情况,然后使用不变参数推广到任何度量来获得。对于任意维数的对角线度量,我们可以将线元素写为

ds2=∑一世G一世一世( dX一世)2, dℓ一世≡G一世一世 dX一世= 物理距离 一世 方向。 
也就是说,正如我们在 Sect 中讨论的那样。4.3, 这dℓ一世是物理距离间隔。(我们暂时假设G一世一世是积极的。)特别好的是这允许我们定义一个物理上有意义的n- 体积元素清晰明了

方式,作为物理距离的乘积,

d在n≡dℓ…dℓn=G11…Gnn dX1…dXn=|G|dnX,…
在哪里|G|表示度量张量的行列式。最后一个表达式被证明是通用的,除了如果签名为负,则必须使用行列式的绝对值。

显示表达式(4.76)是正确的体积元素,我们证明以下定理。

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Differential Manifolds

术语流形出现在更多以数学为导向的工作中。流形是点的开放集合磷具有对物理应用有用的特性;因为集合是开放的,所以根据定义,每个点周围都会有一个区域,该区域也在流形中。一维流形中的点与实数的开集一一对应;实数的开集定义为开区间的并集。类似地,二维流形中的点与一对实数一一对应,对于任何维度,依此类推n. 因此一个n维流形是一组开放的点,可以用一个n- 开放区域中的实数元组,即坐标。

流形点的函数磷可以根据坐标的函数定义为F(磷)=F(Xķ). 连续可微函数自然特别有用。

一般来说,流形中点的标记不是唯一的,可以使用多个坐标系来标记流形的一个区域;正如我们所做的那样,它们通常被表示为无底漆和底漆,或无禁止和禁止。如果存在可微且可逆的变换X¯ķ=X¯ķ(X一世)在任何两个这样的坐标系之间,我们说流形是可微的。这意味着流形中点的可微函数对应于两个坐标系中的连续函数。

因此,简而言之,流形只是几个世纪以来一直使用的那种空间物理学,定义得更加仔细,强调坐标系和开集。

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|The Signature Theorem in Two Dimensions

签名定理指出,可以找到到坐标系的线性变换,其中度量张量是对角线并且具有1,−1, 或 0 作为对角线元素。我们将用签名在两个维度上说明证明(1,1)为简单起见。这显然是一个矩阵问题,因此我们将使用矩阵表示法而不是索引表示法。我们只需要处理一个点。原始系统与新的禁止系统之间的转换,我们用矩阵形式写为

X=DX¯,
在哪里D是待确定的矩阵。指标G变换为二阶张量,因此其矩阵形式的变换为

G¯=D吨GD,G=(G11G12 G12G22)
我们首先通过选择变换矩阵来制作度量对角线D使用单个参数b待定,

D=(10 b1)
转换后指标变为

G¯=(G11+2bG12+b2G22G12+bG22 G12+bG22G22)
我们通过选择来制作这个对角线b=−G12/G22. 然后我们有

G¯=(G11−(G12)2/G220 0G22)=(G¯110 0G¯22)
注意矩阵的 1,1 元素G¯是确定的G除以G22; 我们将假设这是肯定的,因此签名将是(1,1). (读者应该算出它是负数且签名为 (1, -1) 的情况,如练习 4.7 所示)
接下来我们应用第二个线性变换来拉伸坐标并使度量的两个对角线元素都等于 1 。具体来说,这是通过明显的拉伸矩阵完成的

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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