物理代写|热力学代写thermodynamics代考|AMME2262

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热力学是对热、功、温度和能量之间关系的研究。热力学定律描述了一个系统中的能量如何变化,以及该系统是否能对其周围环境进行有用的工作。

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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|AMME2262

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|The Problem of Equilibration for Physical Observables

The statistical ensemble $\rho(t)$ is not stationary at short $t$ if $\rho(0)$ is out of equilibrium. Yet, if the right-hand side of (1.14) initially depends on $t$, it cannot approach at large $t$ any time-independent “equilibrium ensemble.” Furthermore, any mixed state $\rho(t)$ returns arbitrarily “near” its initial state $\rho(0)$ at certain times $t$ (analogously, but not identically, to pure-state Poincaré recurrences). In what follows, we examine the apparent contradiction of such recurrences with equilibration.
According to (1.14), there exists at least one $\rho_{\operatorname{mn}}(0) \neq 0$ with
$$
\omega:=\left(E_{n}-E_{m}\right) / \hbar \neq 0 .
$$
We consider observables represented by Hermitian operators
$$
X=\sum_{m, n} X_{m n}|m\rangle\langle n|, \quad X_{m n}:=\langle m|X| n\rangle,
$$
with expectation values
$$
\langle X\rangle(t):=\operatorname{Tr}[\rho(t) X] .
$$
For the observable that represents an interlevel transition,
$$
X=\hat{X}+\hat{X}^{\dagger}, \quad \hat{X}:=|m\rangle\langle n| / \rho_{m n}(0),
$$
we find from (1.14) that
$$
\operatorname{Tr}[\rho(t) X]=2 \cos (\omega t) .
$$
Thus, the mean value of $X$ in the ensemble $\rho(t)$ exhibits permanent oscillations, allowing us to conclude that quantum mechanics and equilibration are, in general,incompatible. Nevertheless, as shown below, equilibration can approximately hold true for a restricted class of observables $X$ and initial conditions $\rho(0)$.

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Equilibration Conditions

The key requirement on the initial condition $\rho(0)$ is that the ensemble-averaged level populations $p_{n}$ can be split into a locally averaged level population density $h(E)$ and “unbiased fluctuations” $\delta p_{n}$, whose average within the interval around $E$ is vanishingly small compared to $h(E)$,
$$
p_{n}=h\left(E_{n}\right)+\delta p_{n} .
$$
This requirement should hold within any energy interval, which contains many levels $E_{n}$, but is still exceedingly small on any experimentally resolvable scale.

This initial condition is the result of a preparation process, during which the system was still entangled with the outside world. The reduced initial state (at $t=0$ ) of the system (obtained by tracing out the outside world) must therefore be a mixed state. Any time-dependent system Hamiltonian will cause the spreading of occupation probabilities over neighboring energy levels. Since the levels are so dense, the spreading randomizes the $p_{n}$ ‘s in accordance with (1.25). This preparation process stands in contrast to a “sudden” (discontinuous) parametric change of the Hamiltonian, dubbed quantum quench.
1.2.2 Energy Density
Let us define the ensemble-averaged energy density
$$
\rho(E):=\langle\delta(E-H)\rangle,
$$
$\rho(E) d E$ being the probability to find an energy value between $E$ and $E+d E$. From (1.16) it follows that
$$
\rho(E)=\sum_{n} p_{n} \delta\left(E-E_{n}\right)
$$

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热力学代写

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|The Problem of Equilibration for Physical Observables

统计集合 $\rho(t)$ 短期内不是静止的 $t$ 如果 $\rho(0)$ 是不平衡的。然而,如果 (1.14) 的右手边最初取决于 $t$, 它不能在大范 围内接近 $t$ 任何与时间无关的“平衡系综”。此外,任何混合状态 $\rho(t)$ 任意“接近”其初始状态 $\rho(0)$ 在某些时候t (与 纯状态庞加莱递归类似,但不完全相同)。在下文中,我们将检验这种重复与平衡之间的明显矛盾。 根据(1.14),至少存在一个 $\rho_{\mathrm{mn}}(0) \neq 0$ 和
$$
\omega:=\left(E_{n}-E_{m}\right) / \hbar \neq 0 .
$$
我们考虑由 Hermitian 算子代表的 observables
$$
X=\sum_{m, n} X_{m n}|m\rangle\langle n|, \quad X_{m n}:=\langle m|X| n\rangle,
$$
具有期望值
$$
\langle X\rangle(t):=\operatorname{Tr}[\rho(t) X] .
$$
对于表示层间转换的 observable,
$$
X=\hat{X}+\hat{X}^{\dagger}, \quad \hat{X}:=|m\rangle\langle n| / \rho_{m n}(0)
$$
我们从 (1.14) 中发现
$$
\operatorname{Tr}[\rho(t) X]=2 \cos (\omega t) .
$$
因此,平均值 $X$ 在合奏中 $\rho(t)$ 表现出永久振荡,使我们能够得出结论,量子力学和平衡通常是不相容的。然而, 如下所示,平衡对于有限的可观察对象类可以近似成立 $X$ 和初始条件 $\rho(0)$.

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Equilibration Conditions

初始条件的关键要求 $\rho(0)$ 是整体平均水平的人口 $p_{n}$ 可以拆分为局部平均水平的人口密度 $h(E)$ 和“无偏见的波动” $\delta p_{n}$ ,其平均值在区间内 $E$ 与 $h(E)$ ,
$$
p_{n}=h\left(E_{n}\right)+\delta p_{n} .
$$
此要求应在包含许多能级的任何能量区间内保持 $E_{n}$ ,但在任何实验可分辨的尺度上仍然非常小。
这个初始条件是一个准备过程的结果,在这个过程中系统仍然与外界纠缠在一起。减少的初始状态 $($ 在 $t=0)$ 系 统 (通过追踪外部世界获得) 因此必须是混合状态。任何与时间相关的系统哈密顿量都会导致占据概率在相邻能 级上的扩散。由于水平如此密集,因此传播随机化 $p_{n}$ 符合 (1.25)。这种制备过程与哈密顿量的”突然” (不连续) 参数变化形成对比,称为量子猝灭。
$1.2 .2$ 能量密度
让我们定义整体平均能量密度
$$
\rho(E):=\langle\delta(E-H)\rangle
$$
$\rho(E) d E$ 是找到介于两者之间的能量值的概率 $E$ 和 $E+d E$. 从 (1.16) 可以得出
$$
\rho(E)=\sum_{n} p_{n} \delta\left(E-E_{n}\right)
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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