物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|PHY300

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理论力学是研究物质的运动和导致这种运动的力量。它被应用于分析任何动态系统,从原子到太阳系。薄壁管的应力、变形和稳定性分析是物理学和工程学的一个经典课题。

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物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|PHY300

物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|The wave function Ψ and its physical relevance

Dynamical description of a quantum system is performed in terms of the so-called the wave function $\Psi$ (12). For example, such as the frequency $\omega$ and wave vector $\mathbf{k}$ observed in electron diffraction experiments are related to dynamical variables as energy $E$ and momentum $p$ in terms of de Broglie’s relations (2). Accordingly, the wave function $\Psi(\mathbf{q}, t)$ associated with a free microparticle (as the electrons in a beam with very low intensity) behaves as follows:
$$
\Psi(\mathbf{q}, t)=C \exp [-i(E t-\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}) / \hbar]
$$
Historically, de Broglie proposed the relations (2) as a direct generalization of quantum hypothesis of light developed by Planck and Einstein for any kind of microparticles (14). The experimental confirmation of these wave-particle duality for any kind of matter revealed the unity of material world. In fact, wave-particle duality is a property of matter as universal as the fact that any kind of matter is able to produce a gravitational interaction.

While the state of a system in classical mechanics is determined by the knowledge of the positions $\mathbf{q}$ and momenta $\mathbf{p}$ of all its constituents, the state of a system in the framework of quantum mechanics is determined by the knowledge of its wave function $\Psi(\mathbf{q}, t)$ (or its generalization $\Psi\left(\mathbf{q}^{1}, \mathbf{q}^{2}, \ldots, \mathbf{q}^{n}, t\right)$ for a system with many constituents, notation that is omitted hereafter for the sake of simplicity). In fact, the knowledge of the wave function $\Psi\left(\mathbf{q}, t_{0}\right)$ in an initial instant $t_{0}$ allows the prediction of its future evolution prior to the realization of a measurement (12). The wave function $\Psi(\mathbf{q}, t)$ is a complex function whose modulus $|\Psi(\mathbf{q}, t)|^{2}$ describes the probability density, in an absolute or relative sense, to detect a microparticle at the position $\mathrm{q}$ as a result of a measurement at the time $t$ (15). Such a statistical relevance of the wave function $\Psi(\mathbf{q}, t)$ about its relation with the experimental results is the most condensed expression of complementarity of quantum phenomena.

Due to its statistical relevance, the reconstruction of the wave function $\Psi(\mathbf{q}, t)$ from a given experimental situation demands the notion of statistical ensemble (12). In electron diffraction experiments, each electron in the beam manifests undulatory properties in its dynamical behavior. However, the interaction of this microparticle with a measuring instrument (a classical object as a photographic plate) radically affects its initial state, e.g.: electron is forced to localize in a very narrow region (the spot). In this case, a single measuring process is useless to reveal the wave properties of its previous quantum state. To rebuild the wave function $\Psi$ (up to the precision of an unimportant constant complex factor $e^{i \phi}$ ), it is necessary to perform infinite repeated measurements of the quantum system under the same initial conditions. Abstractly, this procedure is equivalent to consider simultaneous measurements over a quantum statistical ensemble: such as an infinite set of identical copies of the quantum system, which have been previously prepared under the same experimental procedure ${ }^{2}$. Due to the important role of measurements in the knowledge state of quantum systems, quantum mechanics is a physical theory that allows us to predict the results of certain experimental measurements taken over a quantum statistical ensemble that it has been previously prepared under certain experimental criteria (12).

物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|The superposition principle

To explains interference phenomena observed in the double-slit experiments, the wave function $\Psi(\mathbf{q}, t)$ of a quantum system should satisfy the superposition principle (12):
$$
\Psi(\mathbf{q}, t)=\sum_{a} a_{i t} \Psi_{a t}(\mathbf{q}, t) .
$$
Here, $\Psi_{a}(\mathbf{q}, t)$ represents the normalized wave function associated with the $\alpha$-th independent state. As example, $\Psi_{a}(\mathbf{q}, t)$ could represent the wave function contribution associated with each slit during electron interference experiments; while the modulus $\left|a_{i c}\right|^{2}$ of the complex amplitudes $a_{\alpha}$ are proportional to incident beam intensities $I_{\alpha}$, or equivalently, the probability $p_{\alpha}$ that a given electron crosses through the $\alpha$-th slit.

Superposition principle is the most important hypothesis with a positive content of quantum theory. In particular, it evidences that dynamical equations of the wave function $\Psi(\mathbf{q}, t)$ should exhibit a linear character. By itself, the superposition principle allows to assume linear algebra as the mathematical apparatus of quantum mechanics. Thus, the wave function $\Psi(\mathbf{q}, t)$ can be regarded as a complex vector in a Hilbert space $\mathcal{H}$. Under this interpretation, the superposition formula (5) can be regarded as a decomposition of a vector $\Psi$ in a basis of independent vectors $\left{\Psi_{\alpha}\right}$. The normalization of the wave function $\Psi$ can be interpreted as the vectorial norm:
$$
|\Psi|^{2}=\int \Psi^{}(\mathbf{q}, t) \Psi(\mathbf{q}, t) d \mathbf{q}=\sum_{\alpha \beta} g_{\alpha \beta} a_{i}^{} a_{\beta}=1 .
$$
Here, the matrix elements $g_{\alpha \beta}$ denote the scalar product (complex) between different basis elements:
$$
g_{\alpha \beta}=\int \Psi_{\alpha}^{}(\mathbf{q}, t) \Psi_{\beta}(\mathbf{q}, t) d \mathbf{q} $$ which accounts for the existence of interference effects during the experimental measurements. As expected, the interference matrix, $g_{\alpha \beta}$, is a hermitian matrix, $g_{\alpha \beta}=g_{\beta a}^{}$. The basis $\left{\Psi_{\alpha}(\mathbf{q}, t)\right}$ is said to be orthonormal if their elements satisfy orthogonality condition:
$$
\int \Psi_{\alpha}^{}(\mathbf{q}, t) \Psi_{\beta}(\mathbf{q}, t) d \mathbf{q}=\delta_{\alpha \beta} $$ where $\delta_{\alpha \beta}$ represents Kroneker delta (for a basis with discrete elements) or a Dirac delta functions (for the basis with continuous elements). The basis of independent states is complete if any admissible state $\Psi \in \mathcal{H}$ can be represented with this basis. In particular, a basis with independent orthogonal elements is complete if it satisfies the completeness condition: $$ \sum_{\alpha} \Psi_{a}^{}(\tilde{\mathbf{q}}, t) \Psi_{\alpha}(\mathbf{q}, t)=\delta(\tilde{\mathbf{q}}-\mathbf{q})
$$

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理论力学代写

物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|The wave function Ψ and its physical relevance

量子系统的动态描述是根据所谓的波函数进行的 $\Psi(12)$ 。例如,如频率 $\omega$ 和波矢量 $\mathbf{k}$ 在电子衍射实验中观察到的动 态变量与能量有关 $E$ 和势头 $p$ 根据德布罗意的关系 (2)。因此,波函数 $\Psi(\mathbf{q}, t)$ 与自由微粒相关的 (作为强度非常低 的光束中的电子) 表现如下:
$$
\Psi(\mathbf{q}, t)=C \exp [-i(E t-\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}) / \hbar]
$$
从历史上看,德布罗意提出了关系 (2) 作为普朗克和爱因斯坦为任何类型的微粒 (14) 开发的光的量子假设的直 接推广。对任何物质的波粒二象性的实验证实,揭示了物质世界的统一性。事实上,波粒二象性是物质的一种普遍 性,就像任何一种物质都能够产生引力相互作用一样。
而经典力学中系统的状态是由位置的知识决定的 $\mathbf{q}$ 和动量 $\mathbf{p}$ 在其所有组成部分中,量子力学框架中系统的状态取决 于对其波函数的了解 $\Psi(\mathbf{q}, t)$ (或其概括 $\Psi\left(\mathbf{q}^{1}, \mathbf{q}^{2}, \ldots, \mathbf{q}^{n}, t\right)$ 对于具有许多组成部分的系统,为简单起见,以 下省略符号) 。其实波函数的知识 $\Psi\left(\mathbf{q}, t_{0}\right)$ 在最初的瞬间 $t_{0}$ 允许在实现测量之前预测其末来的演变 (12)。波函数 $\Psi(\mathbf{q}, t)$ 是一个复函数,其模 $|\Psi(\mathbf{q}, t)|^{2}$ 在绝对或相对意义上描述了在该位置检测微粒的概率密度 $\mathbf{q}$ 作为当时测量 的结果 $t(15)$ 。波函数的这种统计相关性 $\Psi(\mathbf{q}, t)$ 关于它与实验结果的关系是量子现象互补性的最浓缩表达。
由于其统计相关性,波函数的重建 $\Psi(\mathbf{q}, t)$ 从给定的实验情况需要统计集成的概念 (12) 。在电子衍射实验中,光 束中的每个电子在其动力学行为中都表现出波动特性。然而,这种微粒与测量仪器 (作为照相底片的经典物体) 的 相互作用从根本上影响了它的初始状态,例如:电子被白定位在一个非常狭窄的区域 (光点)。在这种情况下,单 个测量过程无法揭示其先前量子态的波动特性。重建波函数 $\Psi$ (直到不重要的常数复因子的精度 $e^{i \phi}$ ),需要在相同 的初始条件下对量子系统进行无限重复测量。抽象地说,这个过程等效于考虑对量子统计集合的同时测量: 例如量 子系统的无限组相同副本,这些副本先前已在相同的实验程序下准备好 ${ }^{2}$. 由于测量在量子系统的知识状态中的重要 作用,量子力学是一种物理理论,它使我们能够预测对先前在某些实验标准下准备的量子统计集合进行的某些实验 测量的结果 (12) 。

物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|The superposition principle

为了解释在双缝实验中观察到的干涉现象,波函数 $\Psi(\mathbf{q}, t)$ 一个量子系统应该满足敺加原理 (12):
$$
\Psi(\mathbf{q}, t)=\sum_{a} a_{i t} \Psi_{a t}(\mathbf{q}, t) .
$$
这里, $\Psi_{a}(\mathbf{q}, t)$ 表示与相关的归一化波函数 $\alpha$-第一个独立国家。例如, $\Psi_{a}(\mathbf{q}, t)$ 可以表示在电子干涉实验中与每 个狭峰相关的波函数贡献;而模数 $\left|a_{i c}\right|^{2}$ 复振幅 $a_{\alpha}$ 与入射光束强度成正比 $I_{\alpha}$ ,或者等价地,概率 $p_{\alpha}$ 一个给定的电 子穿过 $\alpha$-th 狭峰。
叠加原理是量子理论中最重要的具有正面内容的假设。特别是,它证明了波函数的动力学方程 $\Psi(\mathbf{q}, t)$ 应该表现出 线性特征。就其本身而言,叠加原理允许将线性代数假设为量子力学的数学工具。因此,波函数 $\Psi(\mathbf{q}, t)$ 可以看作 是希尔伯特空间中的复向量 $\mathcal{H} \mathrm{~ . ~ 在 这 种 解 释 下 , 叒}$ Veft{{Psi_{{alpha}|right}. 波函数的归一化 $\Psi$ 可以解释为向量范数:
$$
|\Psi|^{2}=\int \Psi(\mathbf{q}, t) \Psi(\mathbf{q}, t) d \mathbf{q}=\sum_{\alpha \beta} g_{\alpha \beta} a_{i} a_{\beta}=1 .
$$
这里,矩阵元素 $g_{\alpha \beta}$ 表示不同基元素之间的标量积(复数):
$$
g_{\alpha \beta}=\int \Psi_{\alpha}(\mathbf{q}, t) \Psi_{\beta}(\mathbf{q}, t) d \mathbf{q}
$$
这说明了在实验测量过程中存在干扰效应。正如所料,干扰矩阵, $g_{\alpha \beta}$, 是厄米矩阵, $g_{\alpha \beta}=g_{\beta a}$. 基础 Uleft{{Psi_{{alpha}(Imathbf{q}, t)\right } } \text { 如果它们的元素满足正交性条件,则称它们是正交的: }
$$
\int \Psi_{\alpha}(\mathbf{q}, t) \Psi_{\beta}(\mathbf{q}, t) d \mathbf{q}=\delta_{\alpha \beta}
$$
在哪里 $\delta_{\alpha \beta}$ 表示 Kroneker delta(对于具有离散元素的基)或 Dirac delta 函数(对于具有连续元素的基)。如果 有任何可接受的状态,则独立状态的基础是完整的 $\Psi \in \mathcal{H}$ 可以用这个基础来表示。特别是,如果满足完备性条 件,则具有独立正交元素的基是完备的:
$$
\sum_{\alpha} \Psi_{a}(\tilde{\mathbf{q}}, t) \Psi_{\alpha}(\mathbf{q}, t)=\delta(\tilde{\mathbf{q}}-\mathbf{q})
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

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