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统计代写|数值分析和优化代写numerical analysis and optimazation代考|Cholesky Factorization
Let $A$ be an $n \times n$ symmetric matrix, i.e., $A_{i, j}=A_{j, i}$. We can take advantage of the symmetry by expressing $A$ in the form of $A=L D L^{T}$ where $L$ is lower triangular with ones on its diagonal and $D$ is a diagonal matrix. More explicitly, we can write the factorization which is known as Cholesky factorization as
$$
A=\left(\begin{array}{lll}
\mathbf{l}{1} & \ldots & \mathbf{l}{n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}
D_{1,1} & 0 & \cdots & 0 \
0 & D_{2,2} & \ddots & \vdots \
\vdots & \ddots & \ddots & 0 \
0 & \cdots & 0 & D_{n, n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\mathbf{l}{1}^{T} \ 1{2}^{T} \
\vdots \
1_{n}^{T}
\end{array}\right)=\sum_{k=1}^{n} D_{k, k} \mathbf{l}{k} 1{k}^{T}
$$
Again $l_{k}$ denotes the $k^{\text {th }}$ column of $L$. The analogy to the LU algorithm is obvious when letting $U=D L^{T}$. However, this algorithm exploits the symmetry and requires roughly half the storage. To be more specific, we let $A_{0}=A$ at the beginning and for $k=1, \ldots, n$ we let $1_{k}$ be the $k^{\text {th }}$ column of $A_{k-1}$ scaled such that $L_{k, k}=1$. Set $D_{k, k}=\left(A_{k-1}\right){k, k}$ and calculate $A{k}=A_{k-1}-D_{k, k} \mathbf{l}{k} \mathbf{l}{k}^{T}$.
An example of such a factorization is
$$
\left(\begin{array}{ll}
4 & 1 \
1 & 4
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \
\frac{1}{4} & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
4 & 0 \
0 & \frac{15}{4}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
1 & \frac{1}{4} \
0 & 1
\end{array}\right) .
$$
Recall that $A$ is positive definite if $\mathbf{x}^{T} A \mathbf{x}>0$ for all $\mathbf{x} \neq 0$.
统计代写|数值分析和优化代写numerical analysis and optimazation代考|QR Factorization
In the following we examine another way to factorize a matrix. However, first we need to recall a few concepts.
For all $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n}$, the scalar product is defined by
$$
\langle\mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle=\langle\mathbf{y}, \mathbf{x}\rangle=\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}=\mathbf{x}^{T} \mathbf{y}=\mathbf{y}^{T} \mathbf{x}
$$
The scalar product is a linear operation, i.e., for $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in \mathbb{R}^{n}$ and $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$
$$
\langle\alpha \mathbf{x}+\beta \mathbf{y}, \mathbf{z}\rangle=\alpha\langle\mathbf{x}, \mathbf{z}\rangle+\beta\langle\mathbf{y}, \mathbf{z}\rangle
$$
The norm or Euclidean length of $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$ is defined as
$$
|\mathbf{x}|=\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right)^{1 / 2}=\langle\mathbf{x}, \mathbf{x}\rangle^{1 / 2} \geq 0
$$
The norm of $\mathbf{x}$ is zero if and only if $\mathbf{x}$ is the zero vector.
Two vectors $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n}$ are called orthogonal to each other if
$$
\langle\mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle=0
$$
Of course the zero vector is orthogonal to every vector including itself.
A set of vectors $\mathbf{q}{1}, \ldots, \mathbf{q}{m} \in \mathbb{R}^{n}$ is called orthonormal if
$$
\left\langle\mathbf{q}{k}, \mathbf{q}{l}\right\rangle=\left{\begin{array}{ll}
1, & k=l, \
0, & k \neq l,
\end{array} \quad k, l=1, \ldots, m .\right.
$$
Let $Q=\left(\begin{array}{lll}\mathbf{q}{1} & \ldots & \mathbf{q}{n}\end{array}\right)$ be an $n \times n$ real matrix. It is called orthogonal if its columns are orthonormal. It follows from $\left(Q^{T} Q\right){k, l}=\left\langle\mathbf{q}{k}, \mathbf{q}_{l}\right\rangle$ that $Q^{T} Q=I$ where $I$ is the unit or identity matrix. Thus $Q$ is nonsingular and the inverse exists, $Q^{-1}=Q^{T}$. Furthermore, $Q Q^{T}=Q Q^{-1}=I$. Therefore the rows of an orthogonal matrix are also orthonormal and $Q^{T}$ is also an orthogonal matrix. Further, $1=\operatorname{det} I=\operatorname{det}\left(Q Q^{T}\right)=\operatorname{det} Q \operatorname{det} Q^{T}=(\operatorname{det} Q)^{2}$ and we deduce $\operatorname{det} Q=\pm 1$.
Lemma 2.1. If $P, Q$ are orthogonal, then so is $P Q$.
Proof. Since $P^{T} P=Q^{T} Q=I$, we have
$$
(P Q)^{T}(P Q)=\left(Q^{T} P^{T}\right)(P Q)=Q^{T}\left(P^{T} P\right) Q=Q^{T} Q=I
$$
and hence $P Q$ is orthogonal.
We will require the following lemma to construct orthogonal matrices.
统计代写|数值分析和优化代写numerical analysis and optimazation代考|Givens Rotations
Given a real $n \times m$ matrix $A$, we let $A_{0}=A$ and seek a sequence $\Omega_{1}, \ldots, \Omega_{k}$ of $n \times n$ orthogonal matrices such that the matrix $A_{i}:=\Omega_{i} A_{i-1}$ has more zeros below the diagonal than $A_{i-1}$ for $i=1, \ldots, k$. The insertion of zeros shall be in such a way that $A_{k}$ is upper triangular. We then set $R=A_{k}$. Hence $\Omega_{k} \cdots \Omega_{1} A=R$ and $Q=\left(\Omega_{k} \cdots \Omega_{1}\right)^{-1}=\left(\Omega_{k} \cdots \Omega_{1}\right)^{T}=\Omega_{1}^{T} \cdots \Omega_{k}^{T}$. Therefore $A=Q R$ and $Q$ is orthogonal and $R$ is upper triangular.
Definition 2.4 (Givens rotation). An $n \times n$ orthogonal matrix $\Omega$ is called a Givens rotation, if it is the same as the identity matrix except for four elements and we have det $\Omega=1$. Specifically we write $\Omega^{[p, q]}$, where $1 \leq p<q \leq n$, for a matrix such that
$$
\Omega_{p, p}^{[p, q]}=\Omega_{q, q}^{[p, q]}=\cos \theta, \quad \Omega_{p, q}^{[p, q]}=\sin \theta, \quad \Omega_{q, p}^{[p, q]}=-\sin \theta
$$
for some $\theta \in[-\pi, \pi]$.
Letting $n=4$ we have for example
Geometrically these matrices correspond to the underlying coordinate system being rotated along a two-dimensional plane, which is called a Euler rotation in mechanics. Orthogonality is easily verified using the identity $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=1$.
数值分析代写
统计代写|数值分析和优化代写numerical analysis and optimazation代考|Cholesky Factorization
让一种豆n×n对称矩阵，即一种一世,j=一种j,一世. 我们可以通过表达来利用对称性一种形式为一种=大号D大号吨在哪里大号是下三角形，对角线上有一个，并且D是对角矩阵。更明确地说，我们可以将称为 Cholesky 分解的分解写成
一种=(l1…ln)(D1,10⋯0 0D2,2⋱⋮ ⋮⋱⋱0 0⋯0Dn,n)(l1吨 12吨 ⋮ 1n吨)=∑ķ=1nDķ,ķlķ1ķ吨
再次lķ表示ķth 列大号. 与 LU 算法的类比在让在=D大号吨. 但是，该算法利用了对称性，并且需要大约一半的存储空间。更具体地说，我们让一种0=一种一开始和为了ķ=1,…,n我们让1ķ成为ķth 列一种ķ−1缩放使得大号ķ,ķ=1. 放Dķ,ķ=(一种ķ−1)ķ,ķ并计算一种ķ=一种ķ−1−Dķ,ķlķlķ吨.
这种分解的一个例子是
(41 14)=(10 141)(40 0154)(114 01).
回想起那个一种是肯定的，如果X吨一种X>0对全部X≠0.
统计代写|数值分析和优化代写numerical analysis and optimazation代考|QR Factorization
下面我们研究另一种分解矩阵的方法。但是，首先我们需要回顾一些概念。
对全部X,是∈Rn，标量积定义为
⟨X,是⟩=⟨是,X⟩=∑一世=1nX一世是一世=X吨是=是吨X
标量积是线性运算，即，对于X,是,和∈Rn和一种,b∈R
⟨一种X+b是,和⟩=一种⟨X,和⟩+b⟨是,和⟩
的范数或欧几里得长度X∈Rn定义为
|X|=(∑一世=1nX一世2)1/2=⟨X,X⟩1/2≥0
的规范X为零当且仅当X是零向量。
两个向量X,是∈Rn被称为相互正交，如果
⟨X,是⟩=0
当然，零向量与包括自身在内的每个向量都是正交的。
一组向量q1,…,q米∈Rn称为正交如果
$$
\left\langle\mathbf{q}{k}, \mathbf{q}{l}\right\rangle=\left{1,ķ=l, 0,ķ≠l,\quad k, l=1, \ldots, m .\right.
大号和吨$问=(q1…qn)$b和一种n$n×n$r和一种l米一种吨r一世X.一世吨一世sC一种ll和d这r吨H这G这n一种l一世F一世吨sC这l在米ns一种r和这r吨H这n这r米一种l.一世吨F这ll这在sFr这米$(问吨问)ķ,l=⟨qķ,ql⟩$吨H一种吨$问吨问=一世$在H和r和$一世$一世s吨H和在n一世吨这r一世d和n吨一世吨是米一种吨r一世X.吨H在s$问$一世sn这ns一世nG在l一种r一种nd吨H和一世n在和rs和和X一世s吨s,$问−1=问吨$.F在r吨H和r米这r和,$问问吨=问问−1=一世$.吨H和r和F这r和吨H和r这在s这F一种n这r吨H这G这n一种l米一种吨r一世X一种r和一种ls这这r吨H这n这r米一种l一种nd$问吨$一世s一种ls这一种n这r吨H这G这n一种l米一种吨r一世X.F在r吨H和r,$1=这一世=这(问问吨)=这问这问吨=(这问)2$一种nd在和d和d在C和$这问=±1$.大号和米米一种2.1.一世F$磷,问$一种r和这r吨H这G这n一种l,吨H和ns这一世s$磷问$.磷r这这F.小号一世nC和$磷吨磷=问吨问=一世$,在和H一种在和
(PQ)^{T}(PQ)=\left(Q^{T} P^{T}\right)(PQ)=Q^{T}\left(P^{T} P\right) Q= Q^{T} Q=I
$$
因此磷问是正交的。
我们将需要以下引理来构造正交矩阵。
统计代写|数值分析和优化代写numerical analysis and optimazation代考|Givens Rotations
给定一个真实的n×米矩阵一种，我们让一种0=一种并寻找一个序列Ω1,…,Ωķ的n×n正交矩阵使得矩阵一种一世:=Ω一世一种一世−1对角线下方的零点多于一种一世−1为了一世=1,…,ķ. 插入零的方式应为一种ķ是上三角形。然后我们设置R=一种ķ. 因此Ωķ⋯Ω1一种=R和问=(Ωķ⋯Ω1)−1=(Ωķ⋯Ω1)吨=Ω1吨⋯Ωķ吨. 所以一种=问R和问是正交的并且R是上三角形。
定义 2.4（考虑轮换）。一个n×n正交矩阵Ω称为 Givens 旋转，如果它与除四个元素外的单位矩阵相同并且我们有Ω=1. 具体我们写Ω[p,q]， 在哪里1≤p<q≤n, 对于这样的矩阵
Ωp,p[p,q]=Ωq,q[p,q]=因θ,Ωp,q[p,q]=罪θ,Ωq,p[p,q]=−罪θ
对于一些θ∈[−圆周率,圆周率].
让n=4例如
，在几何上，这些矩阵对应于沿二维平面旋转的基础坐标系，这在力学中称为欧拉旋转。使用身份很容易验证正交性因2θ+罪2θ=1.
统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。统计代写|python代写代考
随机过程代考
在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。
贝叶斯方法代考
贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
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机器学习代写
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多元统计分析代考
基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。