统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Model-independent options

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在概率论中,鞅理论是一个随机变量序列(即一个随机过程),对它来说,在某一特定时间,序列中下一个值的条件期望值等于现值,而不考虑所有先验值。

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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Model-independent options

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Probabilistic setup

This chapter requires some basic knowledge in stochastic analysis (not so much, mainly stochastic integration and Itô’s formula).

As in Chapter 2, we assume a zero interest rate (non-zero rates are briefly considered in Section 3.3.4). The price of an asset at time $t,\left(S_{t}\right){t \in[0, T]}$, will be modeled by a continuous semi-martingales. The semi-martingale property is imposed as we want to give a meaning to the limit when $n \rightarrow \infty$ of the discrete delta-hedging $$ \sum{t_{0}=0}^{T} H_{t_{i}}\left(S_{t_{i+1}}-S_{t_{i}}\right) \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \int_{0}^{T} H_{t} d S_{t}
$$
Good integrator processes are precisely provided by semi-martingales. Below, we describe our probabilistic framework.

Let $\Omega \equiv\left{\omega \in C\left([0, T], \mathbb{R}{+}\right): \omega{0}=0\right}$ be the canonical space equipped with the uniform norm $|\omega|_{\infty} \equiv \sup {0 \leq t \leq T}|\omega(t)|, B$ the canonical process, i.e., $B{t}(\omega) \equiv \omega(t)$ and $\mathcal{F} \equiv\left{\mathcal{F}{t}\right}{0 \leq t \leq T}$ the filtration generated by $B$ : $\mathcal{F}{t}=$ $\sigma\left{B{s}, s \leq t\right} . \mathbb{P O}$ is the Wiener measure. $S_{0}$ is some given initial value in $\mathbb{R}{+}$, and we denote $$ S{t} \equiv S_{0}+B_{t} \text { for } t \in[0, T] .
$$
For any $\mathcal{F}$-adapted process $\sigma$ and satisfying $\int_{0}^{T} \sigma_{s}^{2} d s<\infty, \mathbb{P}^{0}$-a.s., we define the probability measure on $(\Omega, \mathcal{F})$ :
$$
\mathbb{P}^{\sigma} \equiv \mathbb{P}^{0} \circ\left(S^{\sigma}\right)^{-1} \text { where } S_{t}^{\sigma} \equiv S_{0}+\int_{0}^{t} \sigma_{r} d B_{r}, t \in[0, T], \mathbb{P}^{0}-\text { a.s. }
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Variance swaps

It is well-known that the process $\ln S_{t}+\frac{1}{2}\langle\ln S\rangle_{t}$ is a martingale. As an important consequence in finance, this leads to the exact replication of a

variance swap (within the class $\mathcal{M}^{c}$ ) in terms of a log-contract. A discretemonitoring variance swap pays at a maturity $T$ the sum of daily squared log-returns, mainly
$$
\frac{1}{T} \sum_{i=0}^{n-1}\left(\ln \frac{S_{t_{i+1}}}{S_{t_{i}}}\right)^{2}, \quad t_{0}=0, \quad t_{n}=T
$$
and $\Delta t=t_{i+1}-t_{i}=$ one day. In the limit $n \rightarrow \infty$, it converges $\mathbb{P}$-almost surely to the quadratic variation $\langle\ln S\rangle_{T}$ of $\ln S$ :
$$
\frac{1}{T} \sum_{i=0}^{n-1}\left(\ln \frac{S_{t_{i+1}}}{S_{t_{i}}}\right)^{2} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \frac{1}{T}\langle\ln S\rangle_{T}
$$
REMARK 3.1 Note that in practice, $t_{k+1}-t_{k}=1$ day and the approximation of a discrete-monitored variance swap by its continuous-time version is valid. Indeed,
$$
\mathrm{VS} \equiv \frac{1}{T} \sum_{i=0}^{n-1} \mathbb{E}\left[\left(\ln \frac{S_{t_{i+1}}}{S_{t_{i}}}\right)^{2}\right]=\frac{1}{T} \sum_{i=0}^{n-1} \mathbb{E}\left[\left(-\frac{1}{2}\left(\sigma_{t_{i}}^{\mathrm{LN}}\right)^{2} \Delta t+\sigma_{t_{i}}^{\mathrm{LN}} \Delta B_{t_{i}}\right)^{2}\right]
$$
where $\sigma_{t_{i}}^{\mathrm{LN}}$ is the realized (log-normal) volatility between $\left[t_{i}, t_{i+1}\right], \Delta B_{t_{i}} \equiv$ $B_{t_{i+1}}-B_{t_{i}}$ and $T=n \Delta t$. This gives
$$
\mathrm{VS} \equiv \frac{1}{T} \sum_{i=0}^{n-1} \mathbb{E}\left[\left(\frac{1}{4}\left(\sigma_{t_{i}}^{\mathrm{LN}}\right)^{4}(\Delta t)^{2}+\left(\sigma_{t_{i}}^{\mathrm{LN}}\right)^{2} \Delta t\right)\right]
$$
By taking $\sigma_{t_{i}}^{\mathrm{LN}}=\sigma^{\mathrm{LN}}$ constant, we get
$$
\sqrt{\mathrm{VS}} \equiv\left(\sigma^{\mathrm{LN}}\right)\left(1+\frac{1}{4}\left(\sigma^{\mathrm{LN}}\right)^{2} \Delta t\right)^{\frac{1}{2}}
$$
If we impose a relative error of $10^{-3}$ between the continuous and the discrete version, we obtain $\Delta t=810^{-3} /\left(\sigma^{\mathrm{LN}}\right)^{2}$. For $\sigma^{\mathrm{LN}} \sim 100 \%$, we get $\Delta t \approx 3$ days.

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Covariance options

We consider two liquid European options with payoffs $F_{1}$ and $F_{2}$ and maturity $T$, possibly depending on different assets. We denote $\mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right]$ (resp. $\mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right]$ ) the $t$-value of this option quoted on the market. The market uses a priori two (different) risk-neutral probability measures $\mathbb{P}^{1}$ and $\mathbb{P}^{2}$. We will assume

that they coincide and belong to $\mathcal{M}^{c}$. $\mathbb{P}$ is not known, we have only a partial characterization through the values $\mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right]$ and $\mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right]$. We assume also that the payoff $F_{1} F_{2}$ with maturity $T$ can be bought at $t=0$ with market prices $\mathbb{E}^{\mu}\left[F_{1} F_{2}\right]$

A covariance option pays at a maturity $T$ the daily realized covariance between the prices $\mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right]$ and $\mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right]$ :
$$
\sum_{i=0}^{n-1}\left(\mathbb{E}{t{i+1}}^{\mathbb{P}}\left[F_{1}\right]-\mathbb{E}{t{i}}^{\mathbb{P}}\left[F_{1}\right]\right)\left(\mathbb{E}{t{i+1}}^{P}\left[F_{2}\right]-\mathbb{E}{t{i}}^{\mathbb{P}}\left[F_{2}\right]\right)
$$
In the limit $n \rightarrow \infty$, it converges to
$$
\int_{0}^{T} d\left\langle\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[F_{1}\right], \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[F_{2}\right]\right\rangle_{t}
$$
From Itô’s lemma, we have for all $\mathbb{P} \in \mathcal{M}^{c}$ :
$$
\begin{array}{r}
\int_{0}^{T} d\left\langle\mathbb{E}^{\mathrm{P}}\left[F_{1}\right], \mathbb{E}^{\mathrm{P}}\left[F_{2}\right]\right\rangle_{t}=\left(F_{1} F_{2}-\mathbb{E}^{\mu}\left[F_{1} F_{2}\right]\right) \
+\left(\mathbb{E}^{\mu}\left[F_{1} F_{2}\right]-\mathbb{E}{0}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right] \mathbb{E}{0}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right]\right) \
-\int_{0}^{T} \mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right] d \mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right]-\int_{0}^{T} \mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right] d \mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right]
\end{array}
$$
As observed in $[76]$, this equality indicates that a covariance option can be replicated by doing a delta-hedging on $\mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right]$ (resp. $\mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right]$ ) with $H_{t}^{1} \equiv$ $-\mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right]$ (resp. $H_{t}^{2} \equiv-\mathbb{E}{t}^{\mathrm{P}}\left[F{1}\right]$ ) and statically holding the $T$-European payoff $F_{1} F_{2}$ with market price $\mathbb{E}^{\mu}\left[F_{1} F_{2}\right]$. The model-independent price of this option is therefore
$$
\begin{aligned}
\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\int_{0}^{T} d\left\langle\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[F_{1}\right], \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[F_{2}\right]\right\rangle_{t}\right]=& \mathbb{E}^{\mu}\left[F_{1} F_{2}\right]-\mathbb{E}{0}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right] \mathbb{E}{0}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right] \
& \forall \mathbb{P} \in \mathcal{M}^{c} \cap\left{\mathbb{P}: \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[F_{1} F_{2}\right]=\mathbb{E}^{\mu}\left[F_{1} F_{2}\right]\right}
\end{aligned}
$$

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离散时间鞅理论代考

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Probabilistic setup

本章需要一些随机分析的基础知识(不多,主要是随机积分和伊藤公式)。

与第 2 章一样,我们假设利率为零(第 3.3.4 节简要考虑了非零利率)。资产当时的价格吨,(小号吨)吨∈[0,吨], 将由一个连续的半鞅建模。半鞅属性是强加的,因为我们想给极限一个意义,当n→∞离散 delta 对冲

∑吨0=0吨H吨一世(小号吨一世+1−小号吨一世)⟶n→∞∫0吨H吨d小号吨
半鞅精确地提供了良好的积分器过程。下面,我们描述我们的概率框架。

让\Omega \equiv\left{\omega \in C\left([0, T], \mathbb{R}{+}\right): \omega{0}=0\right}\Omega \equiv\left{\omega \in C\left([0, T], \mathbb{R}{+}\right): \omega{0}=0\right}是具有统一范数的规范空间|ω|∞≡支持0≤吨≤吨|ω(吨)|,乙规范过程,即乙吨(ω)≡ω(吨)和\mathcal{F} \equiv\left{\mathcal{F}{t}\right}{0 \leq t \leq T}\mathcal{F} \equiv\left{\mathcal{F}{t}\right}{0 \leq t \leq T}产生的过滤乙 : F吨= \sigma\left{B{s}, s \leq t\right} 。\mathbb{PO}\sigma\left{B{s}, s \leq t\right} 。\mathbb{PO}是维纳度量。小号0是一些给定的初始值R+,我们表示

小号吨≡小号0+乙吨 为了 吨∈[0,吨].
对于任何F-适应过程σ并且令人满意∫0吨σs2ds<∞,磷0-as,我们将概率度量定义为(Ω,F) :

磷σ≡磷0∘(小号σ)−1 在哪里 小号吨σ≡小号0+∫0吨σrd乙r,吨∈[0,吨],磷0− 作为 

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Variance swaps

众所周知,这个过程ln⁡小号吨+12⟨ln⁡小号⟩吨是鞅。作为金融领域的一个重要结果,这导致了

方差交换(类内米C) 根据对数合同。离散监控方差掉期在到期时支付吨每日对数回报的平方和,主要是

1吨∑一世=0n−1(ln⁡小号吨一世+1小号吨一世)2,吨0=0,吨n=吨
和Δ吨=吨一世+1−吨一世=一天。在极限n→∞, 它收敛磷- 几乎肯定是二次变分⟨ln⁡小号⟩吨的ln⁡小号 :

1吨∑一世=0n−1(ln⁡小号吨一世+1小号吨一世)2⟶n→∞1吨⟨ln⁡小号⟩吨
备注 3.1 请注意,在实践中,吨ķ+1−吨ķ=1天,并且离散监控方差交换与其连续时间版本的近似是有效的。的确,

在小号≡1吨∑一世=0n−1和[(ln⁡小号吨一世+1小号吨一世)2]=1吨∑一世=0n−1和[(−12(σ吨一世大号ñ)2Δ吨+σ吨一世大号ñΔ乙吨一世)2]
在哪里σ吨一世大号ñ是之间的已实现(对数正态)波动率[吨一世,吨一世+1],Δ乙吨一世≡ 乙吨一世+1−乙吨一世和吨=nΔ吨. 这给

在小号≡1吨∑一世=0n−1和[(14(σ吨一世大号ñ)4(Δ吨)2+(σ吨一世大号ñ)2Δ吨)]
通过采取σ吨一世大号ñ=σ大号ñ常数,我们得到

在小号≡(σ大号ñ)(1+14(σ大号ñ)2Δ吨)12
如果我们施加一个相对误差10−3在连续版本和离散版本之间,我们得到Δ吨=810−3/(σ大号ñ)2. 为了σ大号ñ∼100%,我们得到Δ吨≈3天。

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Covariance options

我们考虑两种具有回报的流动欧式期权F1和F2和成熟吨,可能取决于不同的资产。我们表示和吨磷[F1](分别。和吨磷[F2]) 这吨-该期权在市场上报价的价值。市场使用先验的两个(不同的)风险中性概率测度磷1和磷2. 我们将假设

他们重合并且属于米C. 磷未知,我们仅通过值进行部分表征和吨磷[F1]和和吨磷[F2]. 我们还假设收益F1F2成熟的吨可以在吨=0以市场价格和μ[F1F2]

协方差期权在到期时支付吨价格之间每日实现的协方差和吨磷[F1]和和吨磷[F2] :

∑一世=0n−1(和吨一世+1磷[F1]−和吨一世磷[F1])(和吨一世+1磷[F2]−和吨一世磷[F2])
在极限n→∞,它收敛到

∫0吨d⟨和磷[F1],和磷[F2]⟩吨
根据伊藤引理,我们有磷∈米C:

∫0吨d⟨和磷[F1],和磷[F2]⟩吨=(F1F2−和μ[F1F2]) +(和μ[F1F2]−和0磷[F1]和0磷[F2]) −∫0吨和吨磷[F1]d和吨磷[F2]−∫0吨和吨磷[F2]d和吨磷[F1]
正如观察到的[76], 这个等式表明协方差选项可以通过对和吨磷[F1](分别。和吨磷[F2]) 和H吨1≡ −和吨磷[F2](分别。H吨2≡−和吨磷[F1]) 并静态地持有吨-欧洲回报F1F2以市场价和μ[F1F2]. 因此,该选项的与模型无关的价格为

\begin{对齐} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\int_{0}^{T} d\left\langle\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left [F_{1}\right], \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[F_{2}\right]\right\rangle_{t}\right]=& \mathbb{E}^ {\mu}\left[F_{1} F_{2}\right]-\mathbb{E}{0}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right] \mathbb{E} {0}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right] \ & \forall \mathbb{P} \in \mathcal{M}^{c} \cap\left{\mathbb{P }: \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[F_{1} F_{2}\right]=\mathbb{E}^{\mu}\left[F_{1} F_{2 }\right]\right} \end{对齐}\begin{对齐} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\int_{0}^{T} d\left\langle\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left [F_{1}\right], \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[F_{2}\right]\right\rangle_{t}\right]=& \mathbb{E}^ {\mu}\left[F_{1} F_{2}\right]-\mathbb{E}{0}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right] \mathbb{E} {0}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right] \ & \forall \mathbb{P} \in \mathcal{M}^{c} \cap\left{\mathbb{P }: \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[F_{1} F_{2}\right]=\mathbb{E}^{\mu}\left[F_{1} F_{2 }\right]\right} \end{对齐}

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
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MATLAB代写方差分析与试验设计代写
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