统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Pricing and hedging without tears

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在概率论中,鞅理论是一个随机变量序列(即一个随机过程),对它来说,在某一特定时间,序列中下一个值的条件期望值等于现值,而不考虑所有先验值。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Pricing and hedging without tears

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|An insurance viewpoint

Let us assume that we have sold an option (at $t=0$ ) at the price $C$. An option, with payoff $F_{T}$, gives the right to the holder to exercise the payoff at a maturity $T$. Its gain at $T$ is $F_{T}$. For example, $F_{T}=\left(S_{T}-K\right)^{+}$for a call and $F_{T}=\left(K-S_{T}\right)^{+}$for a put where $S_{T}$ is the asset price at $T$ and $K$ is called the strike. Although in this part we will focus mainly on call options as a simple example, our discussion remains valid for a general (non American) option with payoff $F_{T} \equiv F\left(S_{T}\right)$. From $t=0$ up to the maturity $T$, we do not apply any hedging strategy (see Section 1.2). The cash $C$ is invested (at $t=0$ ) into a bank account with a fixed interest rate $r$. The value of our portfolio at $T$, composed of only our bank account, is $C e^{r T}$. At $T$, the client exercises his option and our portfolio value becomes finally
$$
\pi_{T} \equiv e^{r T} C-F_{T}
$$

which is equivalent to the discounted portfolio value:
$$
e^{-r T} \pi_{T}=C-e^{-r T} F_{T}
$$
How should we fix $C$ ?

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Utility preference

A first approach is to choose $C$ such that the expectation of $\pi_{T}$ vanishes, $\mathbb{E}^{P^{\text {hint }}}\left[\pi_{T}\right]=0$, i.e.,
$$
C_{\mathrm{ins}}=e^{-r T} \mathbb{E}^{\mathrm{P}^{\text {hiwt }}}\left[F_{T}\right]
$$
The expectation is taken under a probability phist that describes the (historical) fluctuations of $S_{T}$. More precisely, uncertainty is described by a probability space $\left(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}^{\text {hist }}\right)$ where $\Omega$ is the set of possible outcomes, $\mathcal{F}$ is a $\sigma$-algebra that describes the set of all possible events (an event is a subset of $\Omega$ ) and $\mathbb{P}^{\text {hist }}$ is a probability describing the likelihoods of the various events.

Note that $S_{T}$ is a positive random variable, in principle atomic as $S_{T}$ take discrete values. Leaving apart the atomic nature of the distribution of $S_{T}$, we choose here for the sake of simplicity a log-normal density
$$
p\left(S_{T}=K\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2} T} K} \exp -\frac{\left(\ln \frac{K}{S_{0}}+\frac{1}{2} \sigma^{2} T-\mu T\right)^{2}}{2 \sigma^{2} T}
$$
Here $S_{0}$ denotes the asset value at $t=0$ (which is known). This density depends on two parameters: a drift $\mu$ and a (log-normal) volatility $\sigma$. Note that $\mu T$ and $\sigma \sqrt{T}$ are dimensionless and satisfies
$\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{\text {hixt }}}\left[\frac{S_{T}}{S_{0}}\right]=e^{\mu T}$
$-\frac{2}{T} \mathbb{E}^{\mathbb{P h}^{\text {hït }}}\left[\ln \frac{S_{T}}{S_{0}}\right]=\sigma^{2}-2 \mu$
By direct integration of $(1.2)$ with $F_{T}=\left(S_{T}-K\right)^{+}$, we obtain for a call option with strike $K$ and maturity $T$ :
$$
C_{\text {ins }}(T, K)=e^{(\mu-r) T} S_{0} N\left(d_{1}\right)-K e^{-r T} N\left(d_{2}\right)
$$
with
$$
d_{1}=\frac{1}{\sigma \sqrt{T}}\left(\ln \frac{S_{0}}{K}+\left(\mu+\frac{1}{2} \sigma^{2}\right) T\right), \quad d_{2}=d_{1}-\sigma \sqrt{T}
$$
$N(x) \equiv \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{y^{2}}{2}} d y$ is the Gaussian cumulative distribution. Note that this formula depends here on the drift $\mu$ (see the scaling $e^{(\mu-r) T}$ and the expression of $\left.d_{1}\right)$, a priori different from $r$. It is at least debatable whether the drift is really observable or even statistically measurable. At this point, the price $C$ is strongly model-dependent as it depends on our choice of the density (through the two parameters $\mu$ and $\sigma$ ).

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|A trader viewpoint

At this point, the seller of our previous option (with payoff $F_{T}$ ) learns from his management that it can buy and sell the asset on the market. If we denote by $H$ the initial number of assets bought by the trader, the portfolio value at $t=0$ is
$$
\pi_{0}=-H S_{0}+C
$$
$H S_{0}$ corresponds to the price of a portfolio consisting of $H$ assets with unit price $S_{0}$ at $t=0$. Note that $H$ could be positive or negative. If $H>0$, we say that we have a long position, this means that the trader has bought $H$ shares. How to achieve $H<0$ (we say that we have a short position) as the trader does not hold the asset at $t=0$ ? The trader borrows at $t=0$ the share from a counterparty and sell it on the market at $t=0$, generating a profit $-H S_{0}>0$. He gives back the share to the counterparty at the maturity $T$ at the price $S_{T}$ with a small premium, called the repo. For the sake of simplicity, we consider here that the repo is null. The portfolio value at $T$ is then
$$
\pi_{T} \equiv\left(-H S_{0}+C\right) e^{r T}+H S_{T}-F_{T}
$$
which is equivalent to
$$
e^{-r T} \pi_{T}=H\left(S_{T} e^{-r T}-S_{0}\right)+C-e^{-r T} F_{T}
$$
$\left(-H S_{0}+C\right) e^{r T}$ is the value of our bank account, $H S_{T}$ the value of $H$ units of our asset (at the price $S_{T}$ ) and $F_{T}$ the payoff exercised at the maturity $T$. Note that in comparison with Equation (1.1), we have the additional term $H\left(S_{T} e^{-r T}-S_{0}\right)$, generated from our delta-hedging strategy.

In the next section, we focus first on question (A). As in the previous section, the price will be fixed by maximizing an utility function depending of our portfolio value $\pi_{T}$. These different optimizations will be framed as linear, quadratic and convex programming problems. As in the first section, we assume that.

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离散时间鞅理论代考

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|An insurance viewpoint

假设我们卖出了一个期权(在吨=0) 价格C. 一种选择,有回报F吨, 赋予持有人在到期时行使收益的权利吨. 它的增益在吨是F吨. 例如,F吨=(小号吨−ķ)+通话和F吨=(ķ−小号吨)+放在哪里小号吨是资产价格吨和ķ称为罢工。尽管在这一部分中,我们将主要关注看涨期权作为一个简单的例子,但我们的讨论对于具有收益的一般(非美式)期权仍然有效F吨≡F(小号吨). 从吨=0直至到期吨,我们不应用任何对冲策略(见第 1.2 节)。现金C被投资(在吨=0) 存入固定利率的银行账户r. 我们投资组合的价值吨,仅由我们的银行帐户组成,是C和r吨. 在吨,客户行使他的选择权,我们的投资组合价值最终变为

圆周率吨≡和r吨C−F吨

这相当于折现的投资组合价值:

和−r吨圆周率吨=C−和−r吨F吨
我们应该如何解决C ?

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Utility preference

第一种方法是选择C这样的期望圆周率吨消失,和磷暗示 [圆周率吨]=0, IE,

C一世ns=和−r吨和磷希特 [F吨]
期望是在描述(历史)波动的概率phist下进行的小号吨. 更准确地说,不确定性由概率空间描述(Ω,F,磷历史 )在哪里Ω是一组可能的结果,F是一个σ-描述所有可能事件集合的代数(事件是Ω) 和磷历史 是描述各种事件的可能性的概率。

注意小号吨是一个正随机变量,原则上是原子的小号吨取离散值。抛开原子分布的性质小号吨,为了简单起见,我们在这里选择对数正态密度

p(小号吨=ķ)=12圆周率σ2吨ķ经验−(ln⁡ķ小号0+12σ2吨−μ吨)22σ2吨
这里小号0表示资产价值吨=0(这是已知的)。该密度取决于两个参数:漂移μ和(对数正态)波动率σ. 注意μ吨和σ吨是无量纲的并且满足
和磷希斯特 [小号吨小号0]=和μ吨
ï−2吨和磷H打 [ln⁡小号吨小号0]=σ2−2μ
通过直接整合(1.2)和F吨=(小号吨−ķ)+, 我们得到一个有行使价的看涨期权ķ和成熟吨 :

C插件 (吨,ķ)=和(μ−r)吨小号0ñ(d1)−ķ和−r吨ñ(d2)

d1=1σ吨(ln⁡小号0ķ+(μ+12σ2)吨),d2=d1−σ吨
ñ(X)≡∫−∞X和−是22d是是高斯累积分布。请注意,此公式在此处取决于漂移μ(见缩放和(μ−r)吨和表达d1), 先验不同于r. 漂移是否真的可以观察到,甚至可以在统计上测量,至少还有待商榷。此时,价格C强烈依赖于模型,因为它取决于我们对密度的选择(通过两个参数μ和σ ).

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|A trader viewpoint

此时,我们之前期权的卖方(有收益F吨) 从他的管理层获悉,它可以在市场上买卖该资产。如果我们表示H交易者购买的初始资产数量,投资组合价值吨=0是

圆周率0=−H小号0+C
H小号0对应于由以下组成的投资组合的价格H单价资产小号0在吨=0. 注意H可以是正面的或负面的。如果H>0,我们说我们有一个多头头寸,这意味着交易者已经买入H分享。如何实现H<0(我们说我们有空头头寸)因为交易者不持有资产吨=0? 交易者借入吨=0从对手方获得的份额,并在市场上以吨=0, 产生利润−H小号0>0. 他在到期时将股份返还给交易对手吨以价格小号吨以少量溢价,称为回购。为了简单起见,我们在这里认为 repo 是空的。投资组合价值吨那么是

圆周率吨≡(−H小号0+C)和r吨+H小号吨−F吨
这相当于

和−r吨圆周率吨=H(小号吨和−r吨−小号0)+C−和−r吨F吨
(−H小号0+C)和r吨是我们银行账户的价值,H小号吨的价值H我们资产的单位(按价格小号吨) 和F吨到期行使的收益吨. 请注意,与等式(1.1)相比,我们有附加项H(小号吨和−r吨−小号0),由我们的 delta 对冲策略生成。

在下一节中,我们首先关注问题(A)。与上一节一样,价格将通过最大化效用函数来固定,具体取决于我们的投资组合价值圆周率吨. 这些不同的优化将被定义为线性、二次和凸规划问题。与第一节一样,我们假设。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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