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贝叶斯统计学是一个使用概率的数学语言来描述认识论的不确定性的系统。在 “贝叶斯范式 “中，对自然状态的相信程度是明确的；这些程度是非负的，而对所有自然状态的总相信是固定的。
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统计代写|贝叶斯统计代写beyesian statistics代考|The Bayes theorem for probability
The Bayes theorem allows us to calculate probabilities of events when additional information for some other events is available. For example, a person may have a certain disease whether or not they show any symptoms of it. Suppose a randomly selected person is found to have the symptom. Given this additional information, what is the probability that they have the disease? Note that having the symptom does not fully guarantee that the person has the disease.
To formally state the Bayes theorem, let $B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{k}$ be a set of mutually exclusive and exhaustive events and let $A$ be another event with positive probability (see illustration in Figure 4.1). The Bayes theorem states that for any $i, i=1, \ldots, k$,
$$
P\left(B_{i} \mid A\right)=\frac{P\left(B_{i} \cap A\right)}{P(A)}=\frac{P\left(A \mid B_{i}\right) P\left(B_{i}\right)}{\sum_{j=1}^{k} P\left(A \mid B_{j}\right) P\left(B_{j}\right)}
$$
Example 4.1. We can understand the theorem using a simple example. Consider a rare disease that is thought to occur in $0.1 \%$ of the population. Using a particular blood test a physician observes that out of the patients with disease $99 \%$ possess a particular symptom. Also assume that $1 \%$ of the population without the disease have the same symptom. A randomly chosen person from the population is blood tested and is shown to have the symptom. What is the conditional probability that the person has the disease?
Here $k=2$ and let $B_{1}$ be the event that a randomly chosen person has the disease and $B_{2}$ is the complement of $B_{1}$. Let $A$ be the event that a randomly chosen person has the symptom. The problem is to determine $P\left(B_{1} \mid A\right)$.
We have $P\left(B_{1}\right)=0.001$ since $0.1 \%$ of the population has the disease, and $P\left(B_{2}\right)=0.999$. Also, $P\left(A \mid B_{1}\right)=0.99$ and $P\left(A \mid B_{2}\right)=0.01$. Now
$$
\begin{aligned}
P(\text { disease } \mid \text { symptom })=P\left(B_{1} \mid A\right) &=\frac{P\left(A \mid B_{1}\right) P\left(B_{1}\right)}{P\left(A \mid B_{1}\right) P\left(B_{1}\right)+P\left(A \mid B_{2}\right) P\left(B_{2}\right)} \
&=\frac{0.99 \times 0.001}{0.99 \times 0.001+0.999 \times 0.01} \
&=\frac{99}{99+999}=0.09 .
\end{aligned}
$$
The probability of disease given symptom here is very low, only $9 \%$, since the
disease is a very rare disease and there will be a large percentage of individuals in the population who have the symptom but not the disease, highlighted by the figure 999 as the second last term in the denominator above.
It is interesting to see what happens if the same person is found to have the same symptom in another independent blood test. In this case, the prior probability of $0.1 \%$ would get revised to $0.09$ and the revised posterior probability is given by:
$$
P(\text { disease } \mid \text { twice positive })=\frac{0.99 \times 0.09}{0.99 \times 0.09+0.91 \times 0.01}=0.908 .
$$
As expected, this probability is much higher since it combines the evidence from two independent tests. This illustrates an aspect of the Bayesian world view: the prior probability gets continually updated in the light of new evidence.
统计代写|贝叶斯统计代写beyesian statistics代考|Bayes theorem for random variables
The Bayes theorem stated above is generalized for two random variables instead of two events $A$ and $B_{i}$ ‘s as noted above. In the generalization, $B_{i}$ ‘s will be replaced by the generic parameter $\theta$ which we want to estimate and $A$ will be replaced by the observation random variable denoted by $Y$. Also, the probabilities of events will be replaced by the probability (mass or density) function of the argument random variable. Thus, $P\left(A \mid B_{i}\right)$ will be substituted by $f(y \mid \theta)$ where $f(\cdot$ ) denotes the probability (mass or density) function of the random variable $X$ given a particular value of $\theta$. The replacement for $P\left(B_{i}\right)$ is $\pi(\theta)$, which is the prior distribution of the unknown parameter $\theta$. If $\theta$ is
a discrete parameter taking only finite many, $k$ say, values, then the summation in the denominator of the above Bayes theorem will stay as it is since $\sum_{j=1}^{k} \pi\left(\theta_{j}\right)$ must be equal to 1 as the total probability. If, however, $\theta$ is a continuous parameter then the summation in the denominator of the Bayes theorem must be replaced by an integral over the range of $\theta$, which is generally taken as the whole of the real line.
The Bayes theorem for random variables is now stated as follows. Suppose that two random variables $Y$ and $\theta$ are given with probability density functions (pdfs) $f(y \mid \theta)$ and $\pi(\theta)$, then
$$
\pi(\theta \mid y)=\frac{f(y \mid \theta) \pi(\theta)}{\int_{-\infty}^{\infty} f(y \mid \theta) \pi(\theta) d \theta},-\infty<\theta<\infty .
$$
The probability distribution given by $\pi(\theta)$ captures the prior beliefs about the unknown parameter $\theta$ and is the prior distribution in the Bayes theorem. The posterior distribution of $\theta$ is given by $\pi(\theta \mid y)$ after observing the value $y$ of the random variable $Y$. We illustrate the theorem with the following example.
Example 4.2. Binomial Suppose $Y \sim \operatorname{binomial}(n, \theta)$ where $n$ is known and we assume $\operatorname{Beta}(\alpha, \beta)$ prior distribution for $\theta$. Here the likelihood function is
$$
f(y \mid \theta)=\left(\begin{array}{l}
n \
y
\end{array}\right) \theta^{y}(1-\theta)^{n-y}
$$
for $0<\theta<1$. The function $f(y \mid \theta)$ is to be viewed as a function of $\theta$ for a given value of $y$, although its argument is written as $y \mid \theta$ instead of $\theta \mid y$. This is because we use the probability density function of $Y$, which is more widely known, and we avoid introducing further notation for the likelihood function e.g. $L(\theta ; y)$.
Suppose that the prior distribution is the beta distribution (A.22) having density
$$
\pi(\theta)=\frac{1}{B(\alpha, \beta)} \theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}, \quad 0<\theta<1 .
$$
统计代写|贝叶斯统计代写beyesian statistics代考|Sequential updating of the posterior distribution
Consider the denominator in the posterior distribution. The denominator, given by, $\int_{-\infty}^{\infty} f(y \mid \theta) \pi(\theta) d \theta$ or $\int_{-\infty}^{\infty} f\left(y_{1}, \ldots, y_{n} \mid \theta\right) \pi(\theta) d \theta$ is free of the unknown parameter $\theta$ since $\theta$ is only a dummy in the integral, and it has been integrated out in the expression. The posterior distribution $\pi\left(\theta \mid y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$ is to be viewed as a function of $\theta$ and the denominator is merely a constant. That is why, we often ignore the constant denominator and write the posterior distribution $\pi\left(\theta \mid y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$ as
$$
\pi\left(\theta \mid y_{1}, \ldots, y_{n}\right) \propto f\left(y_{1}, \ldots, y_{n} \mid \theta\right) \times \pi(\theta)
$$
By noting that $f\left(y_{1}, \ldots, y_{n} \mid \theta\right)$ provides the likelihood function of $\theta$ and $\pi(\theta)$ is the prior distribution for $\theta$, we write:
Posterior $\propto$ Likelihood $\times$ Prior.
Hence we always know the posterior distribution up-to a normalizing constant. Often we are able to identify the posterior distribution of $\theta$ just by looking at the numerator as in the two preceding examples.
The structure of the Bayes theorem allows sequential updating of the posterior distribution. By Bayes theorem we “update” the prior belief $\pi(\theta)$ to $\pi(\theta \mid \mathbf{y})$. Note that $\pi\left(\theta \mid y_{1}\right) \propto f\left(y_{1} \mid \theta\right) \pi(\theta)$ and if $Y_{2}$ is independent of $Y_{2}$ given the parameter $\theta$, then:
$$
\begin{aligned}
\pi\left(\theta \mid y_{1}, y_{2}\right) & \propto & f\left(y_{2} \mid \theta\right) f\left(y_{1} \mid \theta\right) \pi(\theta) \
& \propto f\left(y_{2} \mid \theta\right) \pi\left(\theta \mid y_{1}\right)
\end{aligned}
$$
Thus, at the second stage of data collection, the first stage posterior distribution, $\pi\left(\theta \mid y_{1}\right)$ acts as the prior distribution to update our belief about $\theta$ after. Thus, the Bayes theorem shows how the knowledge about the state of nature represented by $\theta$ is continually modified as new data becomes available. There is another strong point that jumps out of this sequential updating. It is possible to start with a very weak prior distribution $\pi(\theta)$ and upon observing data sequentially the prior distribution gets revised to a stronger one, e.g. $\pi\left(\theta \mid y_{1}\right)$ when just one observation has been recorded – of course, assuming that data are informative about the unknown parameter $\theta$.
贝叶斯统计代写
统计代写|贝叶斯统计代写beyesian statistics代考|The Bayes theorem for probability
当某些其他事件的附加信息可用时，贝叶斯定理允许我们计算事件的概率。例如，一个人可能患有某种疾病，无论他们是否表现出任何症状。假设一个随机选择的人被发现有症状。鉴于这些额外信息，他们患此病的概率是多少？请注意，出现症状并不能完全保证该人患有该疾病。
为了正式陈述贝叶斯定理，让乙1,乙2,…,乙ķ是一组互斥且穷举的事件，让一种是另一个具有正概率的事件（参见图 4.1 中的说明）。贝叶斯定理指出，对于任何一世,一世=1,…,ķ,
磷(乙一世∣一种)=磷(乙一世∩一种)磷(一种)=磷(一种∣乙一世)磷(乙一世)∑j=1ķ磷(一种∣乙j)磷(乙j)
例 4.1。我们可以通过一个简单的例子来理解这个定理。考虑一种被认为发生在0.1%的人口。使用特定的血液测试，医生观察到在患有疾病的患者中99%具有特定的症状。还假设1%没有疾病的人群有相同的症状。从人群中随机选择一个人进行血液检查，并显示有症状。这个人得病的条件概率是多少？
这里ķ=2然后让乙1是一个随机选择的人患有这种疾病的事件，并且乙2是的补码乙1. 让一种是随机选择的人有症状的事件。问题是要确定磷(乙1∣一种).
我们有磷(乙1)=0.001自从0.1%的人口患有这种疾病，并且磷(乙2)=0.999. 还，磷(一种∣乙1)=0.99和磷(一种∣乙2)=0.01. 现在
磷( 疾病 ∣ 症状 )=磷(乙1∣一种)=磷(一种∣乙1)磷(乙1)磷(一种∣乙1)磷(乙1)+磷(一种∣乙2)磷(乙2) =0.99×0.0010.99×0.001+0.999×0.01 =9999+999=0.09.
这里出现症状的概率很低，只有9%，因为
疾病是一种非常罕见的疾病，人口中将有很大比例的个体有症状但没有疾病，在上面分母中的倒数第二个数字 999 中突出显示。
有趣的是，如果同一个人在另一次独立验血中被发现有相同的症状会发生什么。在这种情况下，先验概率0.1%将被修改为0.09修改后的后验概率由下式给出：
磷( 疾病 ∣ 两次阳性 )=0.99×0.090.99×0.09+0.91×0.01=0.908.
正如预期的那样，这个概率要高得多，因为它结合了来自两个独立测试的证据。这说明了贝叶斯世界观的一个方面：先验概率根据新证据不断更新。
统计代写|贝叶斯统计代写beyesian statistics代考|Bayes theorem for random variables
上述贝叶斯定理被推广到两个随机变量而不是两个事件一种和乙一世’ 如上所述。概括来说，乙一世’s 将被通用参数替换θ我们要估计和一种将由表示为的观察随机变量替换是. 此外，事件的概率将被参数随机变量的概率（质量或密度）函数替换。因此，磷(一种∣乙一世)将被F(是∣θ)在哪里F(⋅) 表示随机变量的概率（质量或密度）函数X给定一个特定的值θ. 替换为磷(乙一世)是圆周率(θ)，这是未知参数的先验分布θ. 如果θ是
一个离散参数，只取有限多个，ķ比如说，值，那么上述贝叶斯定理的分母中的总和将保持不变，因为∑j=1ķ圆周率(θj)必须等于 1 作为总概率。然而，如果，θ是一个连续参数，那么贝叶斯定理的分母中的总和必须用以下范围内的积分代替θ，一般取整条实线。
随机变量的贝叶斯定理现在陈述如下。假设两个随机变量是和θ用概率密度函数 (pdfs) 给出F(是∣θ)和圆周率(θ)， 然后
圆周率(θ∣是)=F(是∣θ)圆周率(θ)∫−∞∞F(是∣θ)圆周率(θ)dθ,−∞<θ<∞.
由下式给出的概率分布圆周率(θ)捕获关于未知参数的先验信念θ是贝叶斯定理中的先验分布。的后验分布θ是（谁）给的圆周率(θ∣是)观察值后是随机变量是. 我们用下面的例子来说明这个定理。
例 4.2。二项式假设是∼二项式(n,θ)在哪里n是已知的，我们假设贝塔(一种,b)事先分配θ. 这里似然函数是
F(是∣θ)=(n 是)θ是(1−θ)n−是
为了0<θ<1. 功能F(是∣θ)被视为一个函数θ对于给定的值是, 虽然它的论点写成是∣θ代替θ∣是. 这是因为我们使用了概率密度函数是，这是更广为人知的，我们避免为似然函数引入进一步的符号，例如大号(θ;是).
假设先验分布是具有密度的 beta 分布 (A.22)
圆周率(θ)=1乙(一种,b)θ一种−1(1−θ)b−1,0<θ<1.
统计代写|贝叶斯统计代写beyesian statistics代考|Sequential updating of the posterior distribution
考虑后验分布中的分母。分母由下式给出，∫−∞∞F(是∣θ)圆周率(θ)dθ或者∫−∞∞F(是1,…,是n∣θ)圆周率(θ)dθ没有未知参数θ自从θ在积分中只是一个哑元，在表达式中已经被积分出来了。后验分布圆周率(θ∣是1,…,是n)被视为一个函数θ分母只是一个常数。这就是为什么，我们经常忽略常数分母而写出后验分布圆周率(θ∣是1,…,是n)作为
圆周率(θ∣是1,…,是n)∝F(是1,…,是n∣θ)×圆周率(θ)
通过注意到F(是1,…,是n∣θ)提供似然函数θ和圆周率(θ)是先验分布θ，我们写：
后∝可能性×事先的。
因此，我们总是知道直到归一化常数的后验分布。通常我们能够识别θ只需查看前面两个示例中的分子即可。
贝叶斯定理的结构允许后验分布的顺序更新。通过贝叶斯定理，我们“更新”了先验信念圆周率(θ)到圆周率(θ∣是). 注意圆周率(θ∣是1)∝F(是1∣θ)圆周率(θ)而如果是2独立于是2给定参数θ， 然后：
圆周率(θ∣是1,是2)∝F(是2∣θ)F(是1∣θ)圆周率(θ) ∝F(是2∣θ)圆周率(θ∣是1)
因此，在数据收集的第二阶段，第一阶段后验分布，圆周率(θ∣是1)作为先验分布来更新我们的信念θ后。因此，贝叶斯定理显示了关于自然状态的知识如何表示为θ随着新数据的出现而不断修改。这种顺序更新还有另一个优点。可以从非常弱的先验分布开始圆周率(θ)并且在顺序观察数据后，先验分布被修改为更强的分布，例如圆周率(θ∣是1)当只记录一次观察时——当然，假设数据是关于未知参数的信息θ.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。