金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|MTH5520

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Vasicek利率模型一词是指一种对利率的运动和演变进行建模的数学方法。它是一种基于市场风险的单因素短利率模型。瓦西克利率模型常用于经济学中,以确定利率在未来的移动方向。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|MTH5520

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Bootstrapping the Zero-Coupon Yields

The determination of the zero-coupon yield curve (or discount curve) based on the yields of the on-the-run issues is an under-determined problem: we need to solve for infinitely many unknowns based on a few inputs. To define a meaningful solution, one must parameterize the zero-coupon yield curve. The simplest parameterization that is financially acceptable is to assume piecewise constant functional forms for the zero-coupon yield curve. Under such a parameterization, the zero-coupon yield curve can be derived sequentially. Such a procedure is often called bootstrapping in finance. Next, we describe the bootstrapping procedure with the construction of the zero-coupon yield curve for U.S. Treasuries.

Let $\left{B_{j}^{c}, T_{j}\right}_{j=1}^{7}$ be the prices and maturities of the seven on-the-run issues. Let $T_{0}=0$ and $\Delta T=0.5$. We assume that the zero-coupon yield for maturities between $\left[T_{0}, T_{7}\right]$ is a piecewise linear function. The determination of the YTMs is done sequentially. Because the first two on-the-run issues are zero-coupon bonds, we first back out $y(0.25)$ and $y(0.5)$, the zero yields for $\left(0, T_{1}\right]$ and $\left(T_{1}, T_{2}\right]$, using formula $3.18$. This will require a root-finding procedure. Once $y(0.5)$ is found, we proceed to determining $y(i \Delta T), i=2,3,4$ from the following equation:
$$
B_{3}^{c}=\frac{c_{3} \Delta T}{(1+y(\Delta T) \Delta T)^{i}}+\sum_{i=2}^{4} \frac{c_{3} \Delta T}{(1+y(i \Delta T) \Delta T)^{i}}+\frac{1}{(1+y(4 \Delta T) \Delta T)^{4}}
$$
where
$$
y(i \Delta T)=y(0.5)+\alpha \times(i \Delta T-0.5), \quad i=2,3,4
$$
So, our zero-coupon yield is a linear function over $T \in\left[T_{2}, T_{3}\right]$. Equation $9.20$ become the equation for $\alpha$, which can be determined through a root-finding procedure. This procedure can continue all the way to $j=7$. The entire A zero-coupon yield curve implies a discount curve. Suppose that the $y_{T}$ is the zero-coupon yield for maturity $T$. Then the corresponding zerocoupon bond price is calculated according to Equation 3.18. With discount bond prices, we can value any coupon bond using Equation 3.19.

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Forward Rates and Forward-Rate Agreements

A

A forward-rate agreement (FRA) is a contract between two parties to lend and borrow a certain amount of money for some future period of time with a pre-specified interest rate. The agreement is so structured that neither party needs to make an upfront payment. This is equivalent to saying that, as a financial instrument, the value of the contract is zero when the agreement is entered. The key to such a contract lies in the lending rate that should be fair to both parties. Fortunately, this fair rate can be determined through arbitrage arguments.

Let the time now be $t$ and the fair lending rate for a future period, $[T, T+\Delta T]$, be $f_{\Delta T}(t, T)$. To finance the lending, the lender may short $P(t, T) / P(t, T+\Delta T)$ units of the $(T+\Delta T)$-maturity zero-coupon bond, and then long one unit of the $T$-maturity zero-coupon bond. At time $T$, the proceeds from the $T$-maturity zero are lent out for a period of $\Delta T$ with the interest rate $f_{\Delta T}(t, T)$. At time $T+\Delta T$, the loan is paid back from the borrower and the short position of $(T+\Delta T)$-maturity zero-coupon bond (which just matures) is covered, yielding a net cash flow of
$$
V=1+\Delta T f_{\Delta T}(t, T)-\frac{P(t, T)}{P(t, T+\Delta T)}
$$
Because this is a set of zero net transactions initially, in the absence of arbitrage, $V$ must be zero, which leads to the following expression of the fair lending rate:
$$
f_{\Delta T}(t, T)=\frac{1}{\Delta T}\left(\frac{P(t, T)}{P(t, T+\Delta T)}-1\right) .
$$
Hence, the arbitrage free or fair forward lending rate is totally determined by the prices of zero-coupon bonds. We call $f_{\Delta T}(t, T)$ the simple forward rate for the period $(T, T+\Delta T)$ seen at time $t$, or simply a forward rate.

Consider now the limiting case, $\Delta T \rightarrow 0$, for the forward rate. There is
$$
\begin{aligned}
f(t, T) & \triangleq \lim {\Delta T \rightarrow 0} f{\Delta T}(t, T) \
&=\lim {\Delta T \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta T}\left(\frac{P(t, T)}{P(t, T+\Delta T)}-1\right) \ &=\frac{-1}{P(t, T)} \frac{\partial P(t, T)}{\partial T} \ &=-\frac{\partial \ln P(t, T)}{\partial T} \end{aligned} $$ We call $f(t, T)$ an instantaneous forward rate. According to Equation $3.23$, we can express the price of a $T$-maturity zero-coupon bond in terms of $f(t, s), t \leq$ $s \leq T$ : $$ P(t, T)=\mathrm{e}^{-\int{t}^{T} f(t, s) \mathrm{d} s}
$$

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Duration and Convexity

In the bond market, bond prices change unpredictably on a daily basis. The changes in bond prices can be interpreted as the consequence of unpredictable changes in yields. The duration of a bond is a measure of risk exposure with respect to a possible change in the bond yield. It has been observed that the prices of long-maturity bonds are more sensitive to change in yields than are the prices of short-maturity bonds, and the impact of yield changes on bond prices seems proportional to the cash flow dates of the bonds. Intuitively, Macaulay (1938) introduced the weighted average of the cash flow dates as a measure of price sensitivity with respect to the bond yield:
$$
\begin{aligned}
D_{\text {mac }}=& \frac{\operatorname{Pr}}{B_{t}^{c}}\left[\sum_{i, T_{i}>t}^{n} \Delta T \cdot c(1+y \Delta T)^{-\left(T_{i}-t\right) / \Delta T}\left(T_{i}-t\right)\right.\
&\left.+(1+y \Delta T)^{-\left(T_{n}-t\right) / \Delta T}\left(T_{n}-t\right)\right] .
\end{aligned}
$$
This measure is called the Macaulay duration in the bond market. Note that, for a zero-coupon bond, the duration is simply its maturity. It was later understood that the Macaulay duration is closely related to the derivative of the bond price with respect to its yield. In fact, differentiating Equation $3.13$ with

respect to $y$ yields
$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d} B_{t}^{c}}{\mathrm{~d} y}=&-\frac{\operatorname{Pr}}{1+y \Delta T}\left[\sum_{i ; T_{i}>t}^{n} \Delta T \cdot c(1+y \Delta T)^{-\left(T_{i}-t\right) / \Delta T}\left(T_{i}-t\right)\right.\
&\left.+(1+y \Delta T)^{-\left(T_{n}-t\right) / \Delta T}\left(T_{n}-t\right)\right]
\end{aligned}
$$
In terms of $D_{\operatorname{mac}}$, the Macaulay duration just defined, we have
$$
\frac{\mathrm{d} B_{t}^{c}}{B_{t}^{c}}=-\frac{D_{\mathrm{mac}}}{1+y \Delta T} \mathrm{~d} y \quad \text { or } \quad \frac{1}{B_{t}^{c}} \frac{\mathrm{d} B_{t}^{c}}{\mathrm{~d} y}=-\frac{D_{\operatorname{mac}}}{1+y \Delta T}
$$
According to Equation 3.25, the Macaulay duration is essentially the rate of change with respect to the yield for each dollar of market value of the bond. After multiplying by the change in the yield, the Macaulay duration gives the percentage change in the value of the bond. For convenience, we define
$$
D_{\text {mod }}=\frac{D_{\text {mac }}}{1+y \Delta T},
$$
and call it the modified duration. Then the first equation of Equation $3.25$ can be written in the following simple form:
$$
\frac{\mathrm{d} B_{t}^{c}}{B_{t}^{c}}=-D_{\bmod } \mathrm{d} y
$$
Both $D_{\text {mac }}$ and $D_{\text {mod }}$ are called duration measures of bonds.
By using Equation 3.17, the succinct bond formula, we can obtain the following formula for the modified duration:
$$
D_{\text {mod }}=\frac{\operatorname{Pr}}{B^{c}}\left[\frac{c}{y^{2}}\left(1-\frac{1}{(1+y \Delta T)^{n}}\right)+\left(1-\frac{c}{y}\right) \frac{n \Delta T}{(1+y \Delta T)^{n+1}}\right]
$$
The above expression is simplified for par bonds. When $c=y$ and $B^{c}=\operatorname{Pr}$, we have
$$
D_{\mathrm{mod}}=\frac{1}{y}\left[1-(1+y \Delta T)^{-n}\right] .
$$
Note that Treasury bonds are quoted in yields and that recent issues are usually traded close to par, so Equation $3.28$ gives us an approximate value of the durations for bonds being traded close to par.

The next example shows how much the dollar value of a bond changes given its duration.

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|MTH5520

利率建模代考

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Bootstrapping the Zero-Coupon Yields

根据运行中问题的收益率确定零息票收益率曲线(或贴现曲线)是一个未确定问题:我们需要基于少量输入解决无限多的未知数。要定义一个有意义的解决方案,必须参数化零息票收益率曲线。财务上可接受的最简单的参数化是假设零息票收益率曲线的分段常数函数形式。在这样的参数化下,可以依次推导出零息票收益率曲线。这样的过程在金融中通常被称为引导。接下来,我们将描述构建美国国债零息票收益率曲线的引导程序。

让\left{B_{j}^{c}, T_{j}\right}_{j=1}^{7}\left{B_{j}^{c}, T_{j}\right}_{j=1}^{7}是七个在运行的问题的价格和到期日。让吨0=0和Δ吨=0.5. 我们假设到期日的零息票收益率介于[吨0,吨7]是分段线性函数。YTM 的确定是按顺序进行的。因为前两个在运行的问题是零息债券,我们首先退出是(0.25)和是(0.5),零收益率(0,吨1]和(吨1,吨2], 使用公式3.18. 这将需要一个寻根程序。一次是(0.5)找到了,我们继续确定是(一世Δ吨),一世=2,3,4从以下等式:

乙3C=C3Δ吨(1+是(Δ吨)Δ吨)一世+∑一世=24C3Δ吨(1+是(一世Δ吨)Δ吨)一世+1(1+是(4Δ吨)Δ吨)4
在哪里

是(一世Δ吨)=是(0.5)+一个×(一世Δ吨−0.5),一世=2,3,4
所以,我们的零息票收益率是一个线性函数吨∈[吨2,吨3]. 方程9.20成为方程一个,这可以通过寻根程序来确定。这个程序可以一直持续到j=7. 整个 A 零息票收益率曲线意味着一条贴现曲线。假设是吨是到期的零息票收益率吨. 然后根据公式 3.18 计算相应的零息债券价格。通过折扣债券价格,我们可以使用公式 3.19 对任何息票债券进行估值。

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Forward Rates and Forward-Rate Agreements

一个

远期利率协议 (FRA) 是两方之间以预先指定的利率在未来一段时间内借入和借入一定数量资金的合同。该协议的结构如此之好,任何一方都无需支付预付款。这相当于说,作为一种金融工具,在签订协议时,合同的价值为零。这种合同的关键在于对双方都应该公平的贷款利率。幸运的是,这个公平的利率可以通过套利论据来确定。

让现在的时间吨以及未来一段时间的公平贷款利率,[吨,吨+Δ吨], 是FΔ吨(吨,吨). 为了融资贷款,贷方可以卖空磷(吨,吨)/磷(吨,吨+Δ吨)的单位(吨+Δ吨)-到期零息债券,然后做多一个单位吨- 到期零息债券。当时吨,收益来自吨-到期时间为零被借出一段时间Δ吨与利率FΔ吨(吨,吨). 当时吨+Δ吨, 贷款由借款人偿还,空头头寸(吨+Δ吨)-到期零息债券(刚刚到期)被覆盖,产生的净现金流为

在=1+Δ吨FΔ吨(吨,吨)−磷(吨,吨)磷(吨,吨+Δ吨)
因为这是一组最初的零净交易,在没有套利的情况下,在必须为零,这导致公平贷款利率的表达式如下:

FΔ吨(吨,吨)=1Δ吨(磷(吨,吨)磷(吨,吨+Δ吨)−1).
因此,无套利或公平的远期贷款利率完全由零息债券的价格决定。我们称之为FΔ吨(吨,吨)该期间的简单远期利率(吨,吨+Δ吨)当时看到吨,或者只是一个远期利率。

现在考虑极限情况,Δ吨→0, 为远期利率。有

F(吨,吨)≜林Δ吨→0FΔ吨(吨,吨) =林Δ吨→01Δ吨(磷(吨,吨)磷(吨,吨+Δ吨)−1) =−1磷(吨,吨)∂磷(吨,吨)∂吨 =−∂ln⁡磷(吨,吨)∂吨我们称之为F(吨,吨)瞬时远期汇率。根据方程3.23,我们可以表示a的价格吨-到期零息债券F(吨,s),吨≤ s≤吨 :

磷(吨,吨)=和−∫吨吨F(吨,s)ds

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Duration and Convexity

在债券市场上,债券价格每天都会发生不可预测的变化。债券价格的变化可以解释为收益率变化不可预测的结果。债券的久期是衡量债券收益率可能变化的风险敞口。据观察,长期债券的价格对收益率的变化比短期债券的价格更敏感,收益率变化对债券价格的影响似乎与债券的现金流量日期成正比。直观地说,Macaulay (1938) 引入了现金流量日期的加权平均值作为对债券收益率的价格敏感度的衡量标准:

D苹果电脑 =公关乙吨C[∑一世,吨一世>吨nΔ吨⋅C(1+是Δ吨)−(吨一世−吨)/Δ吨(吨一世−吨) +(1+是Δ吨)−(吨n−吨)/Δ吨(吨n−吨)].
这个度量在债券市场被称为麦考利久期。请注意,对于零息债券,久期只是其到期日。后来了解到,麦考利久期与债券价格对收益率的导数密切相关。实际上,微分方程3.13和

尊重是产量

d乙吨C d是=−公关1+是Δ吨[∑一世;吨一世>吨nΔ吨⋅C(1+是Δ吨)−(吨一世−吨)/Δ吨(吨一世−吨) +(1+是Δ吨)−(吨n−吨)/Δ吨(吨n−吨)]
按照D苹果电脑,刚刚定义的麦考利持续时间,我们有

d乙吨C乙吨C=−D米一个C1+是Δ吨 d是 或者 1乙吨Cd乙吨C d是=−D苹果电脑1+是Δ吨
根据公式 3.25,麦考利久期本质上是债券每 1 美元市场价值的收益率相对于收益率的变化率。在乘以收益率的变化后,麦考利久期给出了债券价值的百分比变化。为方便起见,我们定义

D反对 =D苹果电脑 1+是Δ吨,
并将其称为修改后的持续时间。那么方程的第一个方程3.25可以写成以下简单的形式:

d乙吨C乙吨C=−D反对d是
两个都D苹果电脑 和D反对 称为债券的久期度量。
通过使用公式 3.17,简洁的债券公式,我们可以得到修正久期的以下公式:

D反对 =公关乙C[C是2(1−1(1+是Δ吨)n)+(1−C是)nΔ吨(1+是Δ吨)n+1]
上述表达式对于面值债券进行了简化。什么时候C=是和乙C=公关, 我们有

D米○d=1是[1−(1+是Δ吨)−n].
请注意,国债以收益率报价,并且最近发行的债券通常以接近面值的价格交易,因此等式3.28为我们提供了接近面值交易的债券久期的近似值。

下一个例子显示了债券的美元价值在其久期的情况下发生了多少变化。

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考 请认准statistics-lab™

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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