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金融数学是将数学方法应用于金融问题。(有时使用的同等名称是定量金融、金融工程、数学金融和计算金融）。它借鉴了概率、统计、随机过程和经济理论的工具。传统上，投资银行、商业银行、对冲基金、保险公司、公司财务部和监管机构将金融数学的方法应用于诸如衍生证券估值、投资组合结构、风险管理和情景模拟等问题。依赖商品的行业（如能源、制造业）也使用金融数学。 定量分析为金融市场和投资过程带来了效率和严谨性，在监管方面也变得越来越重要。
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金融代写|金融数学作业代写Financial Mathematics代考|INTRODUCTION
The valuation of credit derivatives has for a long time been based on default-free counterparties (i.e., contractual partners), as this allows a risk-free valuation of the payments made under credit derivatives. Even though financial institutions own subsidiaries, which could act as counterparties in OTC derivatives (over-the-counter derivatives), and reach strong ratings of “AAA”, Ammann (2001) shows that less than half of the market participants have a rating of “A” or above. Moreover, no exchange traded credit derivatives exist up to now. Following these arguments, the consideration of counterparty risk is essential for a correct and consistent valuation of credit derivatives.
Given the stated findings and reasoning, this chapter discusses the valuation of credit derivatives with defaultable counterparties.* Especially, we focus on the modeling of joint default risks of risk buyers and reference parties. The following section concentrates on the valuation of standard credit derivatives, i.e., credit default swaps (CDSs). As described in Hull and White (2000), a CDS is a contract that provides protection against the default of a particular company. This company is referred to as reference entity and the default of the reference entity is the credit event. The buyer of protection has the right to sell to the protection seller at par a specified bond issued by the reference entity when a credit event occurs. That bond is commonly referred to as the reference obligation and the total volume of the bond that can be sold is the notional of the CDS.
The most important aspect of modeling counterparty risk is the treatment of correlations between the credit risk of the underlying asset and the credit risk of the counterparty. If, for example, perfect correlation is assumed, one can easily see the importance of correlation for valuation purposes. If a financial institution with an AAA-rating sells CDSs (risk buyer, protection seller) and the reference asset is its own bond, then the swap with an assumed recovery rate of zero is worthless. This is due to the fact that in the event of default of the reference entity, which triggers the credit event under the CDS, the risk buyer-being identical to the reference entity-defaults as well. If, in contrast, the risk buyer is solvent, i.e., no credit event occurs, the risk buyer will not be drawn on. Tavakoli (2001) summarizes these results as follows: “Counterintuitive as it may seem, it is better to buy credit protection from an uncorrelated lower-rated protection seller than from a protection seller that is highly correlated with the reference asset one is trying to hedge” (Tavakoli 2001, p. 25).
This chapter is organized as follows: Section $2.2$ presents the approach of Hull and White (2001). The authors define variables that are directly or indirectly observable from market data as endogenous and all other variables as exogenous. In Section 2.3, we review how defaultable CDSs can be evaluated based on Merton (1974). Sections $2.4$ and $2.5$ present the models of Jarrow and Yu (2001) and Lando (2000), respectively. Both approaches focus on a joint default process, which explicitly incorporates the reciprocal action between both obligors. Therefore, the latter concepts abandon the conditional independencies of default events. Section $2.6$ concludes the chapter.
金融代写|金融数学作业代写Financial Mathematics代考|VALUATION BASED ON OBSERVABLE MARKET DATA
The approach of Hull and White (2001) defines both directly and indirectly observable market data as exogenous. Because of this approach, the model is commonly considered as rather practical and applicable. The valuation of CDSs follows a three-stage procedure:
- Calculation of risk-neutral default probabilities of the relevant contractual agents (i.e., protection seller and reference entity). To accomplish this, one can either draw on listed bonds issued by the reference entity or bonds from companies with the same risk of default as the reference entity.
- Calculation of the default correlation between the protection seller and the reference entity. Hull and White (2001) suggest the usage of market data.
- Calculation of the expected future stream of payments, which are linked with the default swap (i.e., premium payments and loss compensations at default).
It should be noted that the model of Hull and White (2001) cannot be solved analytically. Instead, one has to use a simulation-based approach, e.g., Monte Carlo simulation.
金融代写|金融数学作业代写Financial Mathematics代考|Assumptions
Hull and White (2001) base the modeling of the default on a first-passage-time approach. Given this methodology, the default occurs, if the (obligor-specific) default barrier variable $\tilde{G}{t}^{j}$ (where $j$ represents the index of the analysed obligor) reaches the default barrier $\tilde{g}{t}^{j} . \tilde{G}{t}^{j}$ is referred to as the credit index for company $j$ at time $t$. Hull and White (2001) propose two different interpretations of this variable. First, they define this variable as a function of the value of the total firm assets and second as a discrete credit rating. A more specific valuation is not important as the default probability will not be calculated within this model. Instead, it is an exogenous input parameter taken from observable market data. The risk-neutral default probability is used to calibrate the default barrier $\tilde{g}{t}^{j}$.
To determine the correct default barrier $\tilde{g}{t}^{j}$, the following assumptions have to be considered. First, it has to be assumed that the risk-neutral process for $\tilde{G}{t}^{j}$ follows a geometric Brownian motion with zero drift and variance of one per year. Second, the default occurs at discrete points of time referred to as $t_{i}$ (where $1 \leq i \leq n$ ). Therefore, the cumulative default probability of company $j$ till time $t_{i}$ could be expressed as follows, if no default occurs before $t_{i-1}$ :
$$
\mathrm{P}^{}\left{\tau_{j}=t_{i} \mid \tau_{j}>t_{i-1}\right}=1-\int_{\bar{g}{i}^{j}}^{\infty} f{i}^{j}(x) \mathrm{d} x
$$
where
$\tau_{j}$ is the default time of the company $j$
$f_{i}^{j}$ is the (conditional) density function of the credit index $\tilde{G}{t}^{j}$ with $\tau{j}>t_{i-1}$
If the (unconditional) default probability $p_{i}^{j}=\mathrm{P}^{}\left{\tau_{j}=t_{i}\right}$ is known, the conditional density function, $f_{1}^{j}(x)$, and default barrier, $p_{i}^{j}$, can be calculated as follows:
For $i=1$
$$
\begin{aligned}
f_{1}^{j}(x) &=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \Delta_{1}}} \mathrm{e}^{-x^{2} / 2 \Delta_{1}} \
p_{1}^{j} &=\Phi\left(\frac{\tilde{g}{1}^{j}}{\sqrt{\Delta{1}}}\right)
\end{aligned}
$$
with $\Delta_{i}=t_{i}-t_{i-1}, 1 \leq i \leq n$ and $t_{0}=0 . \Phi$ is the standard normal distribution function.
From Equation $2.1$ and $\tilde{g}{1}^{j}=\sqrt{\Delta{1}} \Phi^{-1}\left(p_{1}^{j}\right)$, the default barrier for $i=1$ can be determined. On the basis of this result, the default barrier for $2 \leq i \leq n$ can be calculated as follows:
$$
p_{i}^{j}=\int_{\bar{g}{i-1}^{j}}^{\infty} f{i-1}^{j}(x) \Phi\left(\frac{\tilde{g}{i}^{j}-x}{\sqrt{\Delta{1}}}\right) \mathrm{d} x
$$
The conditional density function $f_{i}^{j}(x), x>\tilde{g}{i}^{j}$ can be calculated by solving the following equation: $$ f{i}^{j}(x)=\int_{\bar{g}{i-1}^{j}}^{\infty} f{i-1}^{j}(u) \frac{1}{\sqrt{2 \pi \Delta_{i}}} \mathrm{e}^{-(x-u)^{2} / 2 \Delta_{i}} \mathrm{~d} u
$$
The inductive calculated default barriers $\tilde{g}_{i}^{j}$ are not constant over time, but are time dependent. This is due to the usage of observable (risk-neutral) default probabilities for the calibration process.
金融数学代写
金融代写|金融数学作业代写Financial Mathematics代考|INTRODUCTION
长期以来，信用衍生品的估值一直基于无违约交易对手（即合同伙伴），因为这允许对信用衍生品下的支付进行无风险估值。尽管金融机构拥有子公司，可以作为场外衍生品（场外衍生品）的交易对手，并达到“AAA”的强评级，但 Ammann（2001）表明，只有不到一半的市场参与者的评级为“A”或以上。此外，到目前为止，还没有交易所交易的信用衍生品。根据这些论点，交易对手风险的考虑对于信用衍生品的正确和一致估值至关重要。
鉴于上述发现和推理，本章讨论了信用衍生品与可违约交易对手的估值。* 特别是，我们关注风险购买者和参考方的共同违约风险建模。下一节重点介绍标准信用衍生品的估值，即信用违约掉期 (CDS)。如 Hull 和 White (2000) 所述，CDS 是一种针对特定公司的违约提供保护的合同。该公司被称为参考实体，参考实体的违约是信用事件。当信用事件发生时，保护的买方有权以面值向保护卖方出售参考实体发行的指定债券。
交易对手风险建模最重要的方面是处理标的资产信用风险与交易对手信用风险之间的相关性。例如，如果假设完全相关，则可以很容易地看到相关性对于估值的重要性。如果一家拥有 AAA 评级的金融机构出售 CDS（风险买方，保护卖方）并且参考资产是其自己的债券，那么假设回收率为零的掉期是毫无价值的。这是因为如果参考实体违约，触发 CDS 下的信用事件，风险买方（与参考实体相同）也会违约。相反，如果风险买方有偿付能力，即没有发生信用事件，则风险买方将不会被利用。Tavakoli (2001) 将这些结果总结如下：
本章组织如下： 节2.2介绍了 Hull 和 White (2001) 的方法。作者将可以从市场数据中直接或间接观察到的变量定义为内生变量，将所有其他变量定义为外生变量。在第 2.3 节中，我们回顾了如何根据 Merton (1974) 评估可违约 CDS。部分2.4和2.5分别介绍 Jarrow 和 Yu (2001) 和 Lando (2000) 的模型。两种方法都侧重于联合违约过程，该过程明确包含两个义务人之间的互惠行为。因此，后者的概念放弃了默认事件的条件独立性。部分2.6结束本章。
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Hull 和 White (2001) 的方法将直接和间接可观察的市场数据定义为外生的。由于这种方法，该模型通常被认为是相当实用和适用的。CDS 的估值遵循三个阶段的程序：
- 计算相关合同代理人（即保护卖方和参考实体）的风险中性违约概率。为此，可以利用参考实体发行的上市债券或与参考实体具有相同违约风险的公司的债券。
- 计算保护卖方和参考实体之间的默认相关性。Hull and White (2001) 建议使用市场数据。
- 计算与违约掉期相关的预期未来支付流（即违约时的保费支付和损失补偿）。
需要注意的是，Hull 和 White (2001) 的模型无法解析求解。相反，必须使用基于模拟的方法，例如蒙特卡罗模拟。
金融代写|金融数学作业代写Financial Mathematics代考|Assumptions
Hull 和 White (2001) 基于首次通过时间方法对违约进行建模。鉴于这种方法，如果（特定于债务人的）默认障碍变量会发生默认G~吨j（在哪里j代表被分析债务人的指数）达到默认障碍G~吨j.G~吨j被称为公司的信用指数j有时吨. Hull 和 White (2001) 对这个变量提出了两种不同的解释。首先，他们将此变量定义为公司总资产价值的函数，其次将其定义为离散的信用评级。更具体的估值并不重要，因为在此模型中不会计算违约概率。相反，它是从可观察的市场数据中获取的外生输入参数。风险中性违约概率用于校准违约障碍G~吨j.
确定正确的默认障碍G~吨j，必须考虑以下假设。首先，必须假设风险中性过程G~吨j遵循几何布朗运动，漂移为零，方差为每年一次。其次，默认发生在离散的时间点，称为吨一世（在哪里1≤一世≤n）。因此，公司累计违约概率j直到时间吨一世可以表示如下，如果之前没有发生违约吨一世−1 :
\mathrm{P}^{}\left{\tau_{j}=t_{i} \mid \tau_{j}>t_{i-1}\right}=1-\int_{\bar{g}{ i}^{j}}^{\infty} f{i}^{j}(x) \mathrm{d} x\mathrm{P}^{}\left{\tau_{j}=t_{i} \mid \tau_{j}>t_{i-1}\right}=1-\int_{\bar{g}{ i}^{j}}^{\infty} f{i}^{j}(x) \mathrm{d} x
在哪里
τj是公司的默认时间j
F一世j是信用指数的（条件）密度函数G~吨j和τj>吨一世−1
如果（无条件）违约概率p_{i}^{j}=\mathrm{P}^{}\left{\tau_{j}=t_{i}\right}p_{i}^{j}=\mathrm{P}^{}\left{\tau_{j}=t_{i}\right}已知，条件密度函数，F1j(X), 和默认障碍,p一世j, 可计算如下：
为了一世=1
F1j(X)=12圆周率Δ1和−X2/2Δ1 p1j=披(G~1jΔ1)
和Δ一世=吨一世−吨一世−1,1≤一世≤n和吨0=0.披是标准正态分布函数。
从方程2.1和G~1j=Δ1披−1(p1j)，默认障碍为一世=1可以确定。基于此结果，默认障碍为2≤一世≤n可以计算如下：
p一世j=∫G¯一世−1j∞F一世−1j(X)披(G~一世j−XΔ1)dX
条件密度函数F一世j(X),X>G~一世j可以通过求解以下方程来计算：F一世j(X)=∫G¯一世−1j∞F一世−1j(在)12圆周率Δ一世和−(X−在)2/2Δ一世 d在
归纳计算的默认障碍G~一世j不是随时间恒定的，而是与时间相关的。这是由于在校准过程中使用了可观察的（风险中性）默认概率。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。