金融代写|金融计量经济学Financial Econometrics代考|The Rigorous Lasso for Time-Series Data

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
金融代写|金融计量经济学Financial Econometrics代考|The Rigorous Lasso for Time-Series Data

金融代写|金融计量经济学Financial Econometrics代考|The Rigorous Lasso for Time-Series Data

We propose two estimators, the HAC-lasso and AC-lasso, that extend the rigorous lasso to the pure time-series setting. These estimators are, in effect, special cases of the rigorous lasso for dependent data presented in Chernozhukov et al. (2019).

We first present the HAC-lasso and then AC-lasso as a special case. For simplicity we consider the contemporaneous high-dimensional model, using $t$ to denote observations numbered $1, \ldots, n$ but not including lags:
y_{t}=\boldsymbol{x}{t}^{\prime} \boldsymbol{\beta}+\varepsilon{t}
The HAC-lasso uses the HAC (heteroskedastic- and autocorrelation-consistent) covariance estimator to estimate the variance of the $j$ th element of the score vector. The implementation we propose is a simplified version of the estimator in Chernozhukov et al. (2019). The simplification follows from the additional assumption that the score is autocorrelated up to order $q$ where $q$ is finite, fixed and known a priori. The form of autocorrelation of this $M A(q)$ process can be arbitrary. Denote the HAC sample autocovariance $s$ of the score for predictor $j$ hy $\Gamma_{j s}^{H A C}$ :
\Gamma_{j s}^{H A C}:=\frac{1}{n} \sum_{t=s+1}^{n}\left(x_{t j} \varepsilon_{t}\right)\left(x_{t-s, j} \varepsilon_{t-s}\right)
The sample variance of the score for predictor $j$ is
\Gamma_{j 0}^{H A C}:-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{t j} \varepsilon_{t}\right)^{2}
The variance of the $j$ th element of the score vector can be consistently estimated using the truncated kernel with bandwidth $q$ (Hayashi 2000 , p. 408), and hence the HAC ideal penalty loading is
\psi_{j}^{H A C}=\sqrt{\Gamma_{j 0}^{H A C}+2 \sum_{s=1}^{q} \Gamma_{j s}^{H A C}}

金融代写|金融计量经济学Financial Econometrics代考|Monte Carlo

In this section, we present results of Monte Carlo simulations to assess the performance of the HAC-lasso estimator. We focus attention on the HD-C model with only contemporaneous predictors and $p=K$; our motivation is that this resembles the nowcasting application we discuss in the next section. The underlying data generation process for the dependent variable with $p$ explanatory variables is:
y_{t}=\beta_{0}+\sum_{j=1}^{p} \beta_{j} x_{t j}+\varepsilon_{t} .

A total of $p=100$ predictors are generated, but only the first $s$ predictors are nonzero. Therefore, in all specifications, the coefficients on the predictors $\beta_{j}$ are defined as:
\beta_{j}=\mathbb{1}{j \leq s} \forall j=1, \ldots, p
where we set the number of non-zero predictors to $s=5 . \beta_{0}$ is a constant and set to 1 in all simulations.
The error component $\varepsilon_{t}$ for the dependent variable is an MA(q) process:
&\varepsilon_{t}=\sum_{r=0}^{q} \theta_{r} \eta_{t-r} \
&\eta_{t} \sim N\left(0, \sigma_{\eta}^{2}\right)
We use three DGPs with $q=0, q=4$, and $q=8$. For all DGPs, the MA coefficient $\theta_{r}$ is fixed such that $\theta_{r}=\theta=1, \quad \forall l=1, \ldots, q$. The standard deviation varies across $\sigma_{\eta}=[0.5 ; 1 ; 2 ; 4 ; 5]$.
The predictors $x_{t j}$ follow an $A R(1)$ process:
x_{i j}=\pi_{j} x_{t-1, j}+\xi_{t j}, \quad \forall j=1, \ldots, p
The AR coefficients across all predictors are the same with $\pi_{j}=\pi=0.8$.
The random component $\xi_{t}=\left(\xi_{t 1}, \ldots, \xi_{t p}\right)^{\prime}$ is multivariate normal, generated as:
\xi_{t}=M V N\left(0, \Sigma_{\xi}\right),
where $\Sigma_{\xi}$ is a $p \times p$ covariance matrix. In this approach, we specify error components that are independent over time, and that are either also contemporaneously independent or correlated across $p$. In a first step the Monte Carlo specifies uncorrelated error components for the predictors $x$ and $\Sigma_{\xi}$ is diagonal with elements $\sigma_{\xi^{(1)}}^{2}-\cdots-\sigma_{\xi^{(p)}}^{2}-1$.

金融代写|金融计量经济学Financial Econometrics代考|Application to Nowcasting

In this section, we illustrate how the properties of the HAC-lasso and AC-lasso estimators are particularly useful for model consistency for fore- and nowcasting and that it produces competitive nowcasts at low computational cost.

The objective of nowcast models is to produce ‘early’ forecasts of the target variable which exploits the real time data publication schedule of the explanatory data set. Such real time data sets are usually in higher frequency and are published with a considerably shorter lag than the target variable of interest. Nowcasting is particularly relevant for central banks and other policy environments where key economic indices such as GDP or inflation are published with a lag of up to 7 weeks

with respect to their reference period. ${ }^{12}$ In order to conduct informed forward-looking policy decisions, policy makers require accurate nowcasts where it is now common to combine, next to traditional macroeconomic data, ever more information from Big Data sources such as internet search terms, satellite data, scanner data, etc. (Buono et al. 2018).

A data source which has garnered much attention in the recent nowcast literature is Google Trends (GT), Google’s search term indices. GT provides on a scale of 1-100, for a given time frame and location, the popularity of certain search terms entered into the Google search engine. Due to their timeliness as compared to conventional macro data and ability to function as an index of sentiment of demand and supply (Scott and Varian 2014), they have celebrated wide spread use in nowcasting applications in many disparate fields of economics (see Choi and Varian (2012), and Li (2016) for surveys). They have proven especially useful in applications where searches are directly related to the variable of interest, such as unemployment data where internet search engines provide the dominant funnel through which job seekers find jobs (Smith 2016). Only recently has Google Trends been applied to nowcasting such aggregate economic variables as GDP (Kohns and Bhattacharjee 2019).

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金融代写|金融计量经济学Financial Econometrics代考|The Rigorous Lasso for Time-Series Data

我们提出了两个估计器,HAC-lasso 和 AC-lasso,将严格的 lasso 扩展到纯时间序列设置。实际上,这些估计器是 Chernozhukov 等人提出的依赖数据的严格套索的特殊情况。(2019)。

我们首先介绍 HAC-lasso,然后将 AC-lasso 作为一个特例。为简单起见,我们考虑同时期的高维模型,使用吨表示观察编号1,…,n但不包括滞后:

HAC-lasso 使用 HAC(heteroskedastic-and autocorrelation-consistent)协方差估计器来估计j分数向量的第 th 个元素。我们提出的实现是 Chernozhukov 等人的估计器的简化版本。(2019)。简化源于额外的假设,即分数是自相关的q在哪里q是有限的、固定的和先验已知的。这个自相关的形式米一个(q)过程可以是任意的。表示 HAC 样本自协方差s预测器的分数j他ΓjsH一个C :


的方差j可以使用带带宽的截断内核一致地估计得分向量的第 th 个元素q(Hayashi 2000 , p. 408),因此 HAC 的理想惩罚负载为


金融代写|金融计量经济学Financial Econometrics代考|Monte Carlo

在本节中,我们展示了蒙特卡罗模拟的结果,以评估 HAC-lasso 估计器的性能。我们将注意力集中在只有同时期预测变量的 HD-C 模型和p=ķ; 我们的动机是这类似于我们在下一节中讨论的临近预报应用程序。因变量的基础数据生成过程p解释变量是:



我们将非零预测变量的数量设置为s=5.b0是一个常数,在所有模拟中都设置为 1。
错误组件e吨因变量是一个 MA(q) 过程:

e吨=∑r=0qθr这吨−r 这吨∼ñ(0,σ这2)
我们使用三个 DGPq=0,q=4, 和q=8. 对于所有 DGP,MA 系数θr是固定的,使得θr=θ=1,∀l=1,…,q. 标准差因人而异σ这=[0.5;1;2;4;5].

所有预测变量的 AR 系数与圆周率j=圆周率=0.8.

在哪里ΣX是一个p×p协方差矩阵。在这种方法中,我们指定了随时间独立的误差分量,它们要么同时独立,要么相互关联。p. 在第一步中,蒙特卡罗为预测变量指定不相关的误差分量X和ΣX与元素对角线σX(1)2−⋯−σX(p)2−1.

金融代写|金融计量经济学Financial Econometrics代考|Application to Nowcasting

在本节中,我们将说明 HAC-lasso 和 AC-lasso 估计器的属性如何对预测和临近预报的模型一致性特别有用,并且它以低计算成本产生有竞争力的临近预报。

临近预报模型的目标是利用解释性数据集的实时数据发布时间表对目标变量进行“早期”预测。这种实时数据集的频率通常更高,并且发布的滞后时间比感兴趣的目标变量要短得多。临近预报尤其适用于中央银行和其他政策环境,在这些环境中,GDP 或通货膨胀等关键经济指标的发布延迟长达 7 周

关于他们的参考期。12为了做出明智的前瞻性政策决策,政策制定者需要准确的临近预报,除了传统的宏观经济数据之外,还需要结合来自大数据源的更多信息,例如互联网搜索词、卫星数据、扫描仪数据等。 .(Buono 等人,2018 年)。

在最近的临近预报文献中,一个备受关注的数据源是 Google 趋势 (GT),即 Google 的搜索词索引。GT 在 1-100 的范围内,针对给定的时间范围和位置,提供输入 Google 搜索引擎的某些搜索词的流行度。由于与传统宏观数据相比它们的及时性以及作为供需情绪指数的能力(Scott 和 Varian,2014 年),它们在许多不同的经济学领域的临近预报应用中得到了广泛的应用(参见 Choi 和 Varian (2012 年)和李(2016 年)进行调查)。事实证明,它们在搜索与感兴趣的变量直接相关的应用程序中特别有用,例如失业数据,其中互联网搜索引擎提供了求职者找到工作的主要渠道(Smith 2016)。

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术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。



有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。





随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。


多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。


MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。