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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。
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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Background and Overview
The main theme of the present chapter is to discuss the process of coefficient extension for modules and its reverse, called descent. For example, imagine a ring $R$ and an $R$-module $M$ whose structure seems to be difficult to access. Then one can try to replace the coefficient domain $R$ by a bigger ring $R^{\prime}$ over which the situation might become easier to handle. In other words, we would select a certain extension homomorphism $R \longrightarrow R^{\prime}$ and use it in order to derive from $M$ a best possible $R^{\prime}$-module $M^{\prime}$ extending the $R$-module structure we are given on $M$. In particular, $M^{\prime}$ will respect all relations that are already present in $M$. The technical frame for such a construction is given by the socalled tensor product. Passing from $M$ to the tensor product $M^{\prime}=M \otimes_{R} R^{\prime}$ we say that $M^{\prime}$ is obtainèd from $M$ via coeefficient extension with respeect to $R \longrightarrow R^{\prime}$. Of course, the extension homomorphism $R \longrightarrow R^{\prime}$ must be chosen in an intelligent way so that the results obtained for $M^{\prime}$ can be descended to meaningful information on $M$.
Let us discuss an example from Linear Algebra. We consider a quadratic matrix with coefficients from $\mathbb{R}$, say $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ where $n>0$, and look at the $\mathbb{R}$-linear map
$$
\mathbb{R}^{n} \longrightarrow \mathbb{R}^{n}, \quad x \longmapsto A \cdot x .
$$
Recall that an element $\lambda \in \mathbb{R}$ is called an eigenvalue of $A$ if there exists an associated eigenvector, i.e. a vector $z \in \mathbb{R}^{n}-{0}$ such that $A z=\lambda z$. Note that the eigenvalues of $A$ are precisely the zeros of the characteristic polynomial $\chi_{A}(X)=\operatorname{det}(X \cdot$ id $-A)$ : Since the field $\mathbb{R}$ is nnt algebrairally rlnsed; it is possible that the set of eigenvalues of $A$ is empty.
However, if we assume $A$ to be symmetric, then the characteristic polynomial $\chi_{A}(X)$ decomposes completely into linear factors over $\mathbb{R}$ and, hence, the set of eigenvalues of $A$ cannot be empty. We want to explain how this result can be derived by means of coefficient extension from $\mathbb{R}$ to $\mathbb{C}$. Viewing $\mathbb{R}^{n}$ as an $\mathbb{R}$-vector space, a canonical candidate for its coefficient extension via $\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{C}$ is of course the $\mathbb{C}$-vector space $\mathbb{C}^{n}$. So we look at the $\mathbb{C}$-linear map
$$
\mathbb{C}^{n} \longrightarrow \mathbb{C}^{n}, \quad x \longmapsto A \cdot x .
$$
Furthermore, consider the canonical Hermitian form on $\mathbb{C}^{n}$ given by $\langle x, y\rangle=x^{t} \cdot \bar{y}$ for column vectors $x, y \in \mathbb{C}^{n}$, where $x^{t}$ means the transpose of $x$ and $\bar{y}$ the
complex conjugate of $y$. Then, since $A$ is a symmetric matrix with real entries, we get
$$
\langle A \cdot x, y\rangle=(A \cdot x)^{t} \cdot \bar{y}=x^{t} \cdot \overline{A \cdot y}=\langle x, A \cdot y\rangle
$$
for $x, y \in \mathbb{C}^{n}$. Now use the fact that the field $\mathbb{C}$ is algebraically closed. Therefore the characteristic polynomial $\chi_{A}(X)$ admits a zero $\lambda \in \mathbb{C}$ and there is a corresponding eigenvector $z \in \mathbb{C}^{n}-{0}$. Since $\langle z, z\rangle \neq 0$, the equation
$$
\lambda\langle z, z\rangle=\langle\lambda z, z\rangle=\langle A \cdot z, z\rangle=\langle z, A \cdot z\rangle=\langle z, \lambda z\rangle=\bar{\lambda}\langle z, z\rangle
$$
shows $\lambda=\bar{\lambda}$. Hence, all zeros of the characteristic polynomial $\chi_{A}(X)$ must be real and we are done. In our argument we can rely on the fact that the characteristic polynomial $\chi_{A}(X)$ is the same for $A$ as a matrix in $\mathbb{C}^{n \times n}$ or in $\mathbb{R}^{n \times n}$. This makes the descent from $\mathbb{C}$ to $\mathbb{R}$ particularly easy.
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Tensor Products
Let $M$ and $N$ be $R$-modules. Recall that a map $\Phi: M \times N \longrightarrow E$ to some $R$-module $E$ is called $R$-bilinear if, for all $x \in M$ and $y \in N$, the maps
$$
\begin{array}{ll}
\Phi(x, \cdot): N \longrightarrow E, & z \longmapsto \Phi(x, z), \
\Phi(\cdot, y): M \longrightarrow E, & z \longmapsto \Phi(z, y),
\end{array}
$$
are $R$-linear, by which we mean that they define morphisms of $R$-modules.
Definition 1. A tensor product of $M$ and $N$ over $R$ consists of an $R$-module $T$ together with an $R$-bilinear map $\tau: M \times N \longrightarrow T$ such that the following universal property holds:
For each $R$-bilinear map $\Phi: M \times N \longrightarrow E$ to some $R$-module $E$, there is a unique $R$-linear map $\varphi: T \longrightarrow E$ such that $\Phi=\varphi \circ \tau$, i.e. such that the diagram
Remark 2. Tensor products are uniquely determined by the defining universal property, up to canonical isomorphism.
The proof consists of a well-known standard argument which we would like to repeat once more. Let
$$
\tau: M \times N \longrightarrow T, \quad \tau^{\prime}: M \times N \longrightarrow T^{\prime}
$$
be tensor products of $M$ and $N$ over $R$. Then there is a diagram
with $R$-linear maps $\varphi, \psi$, where the existence of $\varphi$ satisfying $\tau^{\prime}=\varphi \circ \tau$ follows from the universal property of $\tau: M \times N \longrightarrow T$ and, likewise, the existence of $\psi$ satisfying $\tau=\psi \circ \tau^{\prime}$ from the universal property of $\tau^{\prime}: M \times N \longrightarrow T^{\prime}$. Then we have
$$
\mathrm{id}_{T} \circ \tau=\tau=\psi \circ \tau^{\prime}=(\psi \circ \varphi) \circ \tau
$$
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Flat Modules
Given two morphisms of $R$-modules $\varphi: M \longrightarrow M^{\prime}$ and $\psi: N \longrightarrow N^{\prime}$, their tensor product over $R$ is defined as the $R$-linear map
$$
\varphi \otimes \psi: M \otimes_{R} N \longrightarrow M^{\prime} \otimes_{R} N^{\prime}, \quad x \otimes y \longmapsto \varphi(x) \otimes \psi(y),
$$
which is well-defined, due to the fact that the map $M \times N \longrightarrow M^{\prime} \otimes_{R} N^{\prime}$, $(x, y) \longmapsto \varphi(x) \otimes \psi(y)$, is $R$-bilinear in $x$ and $y$. In particular, we can consider the tensor product
$$
\varphi \otimes \mathrm{id}{N}: M \otimes{R} N \longrightarrow M^{\prime} \otimes_{R} N
$$
of an $R$-linear map $\varphi: M \longrightarrow M^{\prime}$ with the identity map $\mathrm{id}_{N}: N \longrightarrow N$ on any $R$-module $N$. Thereby we tensor $\varphi$ with $N$ over $R$, as we will say. In the same way, we can tensor sequences of $R$-linear maps with $N$. As is easily seen, the process of tensoring $R$-linear maps with an $R$-module $N$ commutes with the composition of such maps.
Proposition 1. Let
$$
M^{\prime} \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} M \stackrel{\psi}{\longrightarrow} M^{\prime \prime} \longrightarrow 0
$$
be an exact sequence of $R$-modules. Then, for any $R$-module $N$, the sequence
$$
M^{\prime} \otimes_{R} N \stackrel{\varphi \otimes \mathrm{id}{N}}{\longrightarrow} M \otimes{R} N \stackrel{\psi \otimes \operatorname{id}{N}}{\longrightarrow} M^{\prime \prime} \otimes{R} N \longrightarrow 0
$$
obtained by tensoring with $N$ is exact. The property is referred to as the right exactness of tensor products.
Proof. First observe that $\operatorname{im}\left(\varphi \otimes \mathrm{id}{N}\right) \subset \operatorname{ker}\left(\psi \otimes \mathrm{id}{N}\right)$ since
$$
\left(\psi \otimes \mathrm{id}{N}\right) \circ\left(\varphi \otimes \mathrm{id}{N}\right)=(\psi \circ \varphi) \otimes \mathrm{id}{N}=0 . $$ ‘herefore $\psi \otimes \mathrm{id}{N}$ admits the factorization
and we see:
$$
\begin{aligned}
\operatorname{im}\left(\varphi \otimes \operatorname{id}{N}\right)=\operatorname{ker}\left(\psi \otimes \operatorname{id}{N}\right) & \Longleftrightarrow \bar{\Psi} \text { is injective } \
\psi \otimes \operatorname{id}_{N} \text { is surjective } & \Longleftrightarrow \bar{\Psi} \text { is surjective }
\end{aligned}
$$
交换代数代考
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Background and Overview
本章的主题是讨论模块的系数扩展过程及其逆过程，称为下降。例如，想象一个戒指R和R-模块米其结构似乎难以访问。然后可以尝试替换系数域R通过一个更大的环R′在这种情况下，情况可能会变得更容易处理。换句话说，我们会选择某个外延同态R⟶R′并使用它来导出米最好的R′-模块米′扩展R-我们给出的模块结构米. 尤其是，米′将尊重所有已经存在的关系米. 这种结构的技术框架由所谓的张量积给出。路过米到张量积米′=米⊗RR′我们说米′获得自米通过系数扩展相对于R⟶R′. 当然，外延同态R⟶R′必须以智能的方式选择，以便获得的结果米′可以归结为有意义的信息米.
让我们讨论一个来自线性代数的例子。我们考虑一个二次矩阵，其系数来自R， 说一个∈Rn×n在哪里n>0，并查看R- 线性地图
Rn⟶Rn,X⟼一个⋅X.
回想一下一个元素λ∈R被称为特征值一个如果存在关联的特征向量，即向量和∈Rn−0这样一个和=λ和. 注意特征值一个正是特征多项式的零点χ一个(X)=这(X⋅ID−一个): 自领域R是 nnt 代数计算的；的特征值集可能是一个是空的。
但是，如果我们假设一个是对称的，那么特征多项式χ一个(X)完全分解成线性因子R因此，特征值的集合一个不能为空。我们想解释如何通过系数扩展从R至C. 查看Rn作为一个R-向量空间，其系数扩展的规范候选者R⟶C当然是C-向量空间Cn. 所以我们看C- 线性地图
Cn⟶Cn,X⟼一个⋅X.
此外，考虑规范 Hermitian 形式Cn由⟨X,是⟩=X吨⋅是¯对于列向量X,是∈Cn， 在哪里X吨意味着转置X和是¯这
的复共轭是. 那么，由于一个是具有实数的对称矩阵，我们得到
⟨一个⋅X,是⟩=(一个⋅X)吨⋅是¯=X吨⋅一个⋅是¯=⟨X,一个⋅是⟩
为了X,是∈Cn. 现在使用该领域的事实C是代数闭的。因此特征多项式χ一个(X)承认零λ∈C并且有一个对应的特征向量和∈Cn−0. 自从⟨和,和⟩≠0, 方程
λ⟨和,和⟩=⟨λ和,和⟩=⟨一个⋅和,和⟩=⟨和,一个⋅和⟩=⟨和,λ和⟩=λ¯⟨和,和⟩
节目λ=λ¯. 因此，特征多项式的所有零点χ一个(X)必须是真实的，我们完成了。在我们的论证中，我们可以依赖于特征多项式χ一个(X)是一样的一个作为矩阵Cn×n或在Rn×n. 这使得下降C至R特别容易。
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Tensor Products
让米和ñ是R-模块。回想一下地图披:米×ñ⟶和对一些R-模块和叫做R-双线性如果，对于所有X∈米和是∈ñ, 地图
披(X,⋅):ñ⟶和,和⟼披(X,和), 披(⋅,是):米⟶和,和⟼披(和,是),
是R-linear，我们的意思是它们定义了的态射R-模块。
定义 1. 的张量积米和ñ超过R由一个R-模块吨连同一个R- 双线性映射τ:米×ñ⟶吨使得以下普遍性质成立：
对于每个R- 双线性映射披:米×ñ⟶和对一些R-模块和, 有一个独特的R- 线性地图披:吨⟶和这样披=披∘τ，即这样的图
备注 2. 张量积由定义的通用属性唯一确定，直到规范同构。
证明由一个众所周知的标准论证组成，我们想再重复一次。让
τ:米×ñ⟶吨,τ′:米×ñ⟶吨′
是的张量积米和ñ超过R. 然后有一个
图表R- 线性地图披,ψ, 其中存在披令人满意的τ′=披∘τ从普遍性质得出τ:米×ñ⟶吨同样，存在ψ令人满意的τ=ψ∘τ′从普遍的性质τ′:米×ñ⟶吨′. 然后我们有
一世d吨∘τ=τ=ψ∘τ′=(ψ∘披)∘τ
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Flat Modules
给定两个态射R-模块披:米⟶米′和ψ:ñ⟶ñ′, 他们的张量积超过R被定义为R- 线性地图
披⊗ψ:米⊗Rñ⟶米′⊗Rñ′,X⊗是⟼披(X)⊗ψ(是),
这是明确定义的，因为地图米×ñ⟶米′⊗Rñ′, (X,是)⟼披(X)⊗ψ(是)， 是R-双线性X和是. 特别是，我们可以考虑张量积
披⊗一世dñ:米⊗Rñ⟶米′⊗Rñ
一个R- 线性地图披:米⟶米′与身份图一世dñ:ñ⟶ñ任何R-模块ñ. 因此我们张量披和ñ超过R，正如我们将要说的。同理，我们可以张量R- 线性地图ñ. 很容易看出，张量的过程R- 线性映射R-模块ñ通勤与此类地图的组成。
命题 1. 让
米′⟶披米⟶ψ米′′⟶0
是一个精确的序列R-模块。那么，对于任何R-模块ñ， 序列
米′⊗Rñ⟶披⊗一世dñ米⊗Rñ⟶ψ⊗IDñ米′′⊗Rñ⟶0
通过张量获得ñ是准确的。该性质被称为张量积的正确精确度。
证明。首先观察到在里面(披⊗一世dñ)⊂克尔(ψ⊗一世dñ)自从
(ψ⊗一世dñ)∘(披⊗一世dñ)=(ψ∘披)⊗一世dñ=0.’因此ψ⊗一世dñ承认因式分解
，我们看到：
在里面(披⊗IDñ)=克尔(ψ⊗IDñ)⟺Ψ¯ 是内射的 ψ⊗IDñ 是主观的 ⟺Ψ¯ 是主观的
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
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